數(shù)據(jù)背后的秘密

樊德國

筆者先前對在校的1000多名高三學生進行了調(diào)查，了解他們對統(tǒng)計知識的認識，結(jié)果令人吃驚，多數(shù)學生片面地認為統(tǒng)計就是一個考點，就是計算和讀圖.這一普遍現(xiàn)象表明，當前高中統(tǒng)計教學的重點仍在數(shù)據(jù)的計算上，高考的“導向”作用使得統(tǒng)計教學也淪為了“考算術(shù)”，沒有達到課程預設的目標.

數(shù)字是統(tǒng)計的語言，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的原料.教育者應該思考如何培養(yǎng)學生良好的統(tǒng)計意識，這不僅是一種數(shù)的感覺，更是一種思維方式.換句話說是當學生遇到實際問題時，想到為什么需要去、怎樣去收集數(shù)據(jù).收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，并結(jié)合實際作出推斷和決策.

1數(shù)據(jù)從何而來

收集數(shù)據(jù)是解決統(tǒng)計問題的第一個步驟.思考數(shù)據(jù)從何而來，認識抽樣的必要性和有效性至關(guān)重要，它是培養(yǎng)學生良好統(tǒng)計意識的一大法寶.

1.1大、小樣本之爭

先談抽樣的必要性.對于收集數(shù)據(jù)，很多學生都有疑問“為什么不看全部（總體）？”.為此，抽樣起始課有必要向?qū)W生介紹一下普查.普查是一種企圖把總體納入樣本的調(diào)查方式，它不進行抽樣直接調(diào)查分析總體.經(jīng)典實例是“人口普查”，新中國先后進行了六次全國人口普查，統(tǒng)計每個人的性別、年齡、學歷、體征等信息，并匯總整理分析，為我國今后制定人口政策提供了依據(jù).普查在現(xiàn)實生活中意義重大，尤其是調(diào)查研究容量較小的總體時.

有的學生誤以為“普查總比抽查好”.都知道使用普查或較大容量的樣本（大樣本）隨機誤差是微不足道的.但對總體了解越仔細、越全面，所要付出的“成本”就越高，有時反而會“得不償失”.當總體包含個體很多甚至無限，逐一調(diào)查是很難的，甚至是不可能的；還有一類，例如要了解燈泡的使用壽命、牛奶的質(zhì)量等，不能帶有破壞性地逐個檢驗.俗語“你不必吃完整頭牛，才知道肉是老的”，有些調(diào)查有必要甚至必須抽樣，并據(jù)此作為依據(jù)推測總體.

1.2好、壞樣本之辯

再談抽樣的有效性.“樣本能完全反映總體嗎？如何降低抽樣過程中帶來的誤差？”這是學生的另一大疑惑.比較經(jīng)典的反例是“1936年蘭登、羅斯福總統(tǒng)之爭”，樣本選擇了蘭登，而選民心里卻想著羅斯福，產(chǎn)生巨大誤差的原因是通過電話調(diào)查的對象不能真正代表選民，它們在經(jīng)濟上富有，對共和黨候選人蘭登有較強的訴求，嚴重偏離了總體.只要抽樣，總體中的部分個體就會未納入調(diào)查，這時就容易出現(xiàn)樣本代表性偏差的問題.甚至，對于同一總體，不同的人用同樣的抽樣方法，組成的樣本也不盡相同（即使同一個人做兩次，結(jié)果也不會完全一樣），不同樣本得到的統(tǒng)計結(jié)果也會不相同.要讓學生明白抽樣具有隨機性，統(tǒng)計結(jié)果也具有隨機性.

估計總體必須使用有代表性的樣本.盡管抽樣帶來的偏差不可避免，學習不同的抽樣方法意在降低抽樣帶來的誤差，樣本的隨機性是滿足樣本有效性的根本保證.怎樣獲得一個好樣本呢？抽樣成功的檢驗標準是：保證總體中的每個個體等可能（機會均等）入選樣本，使樣本成為隨機樣本.隨機并不是隨意，樣本要客觀地反映總體，事實上強調(diào)抽樣保證隨機性恰是保證抽樣有效性的前提.具體來說，在抽簽法中“攪拌均勻”以使每個個體入樣的機會相同，確保了抽樣的隨機性；在隨機數(shù)表法中要保證選取的第一個隨機數(shù)是隨機抽取的，取數(shù)方式也是隨機的；在系統(tǒng)抽樣中要保證第一個個體入選樣本的隨機性，分組要嚴格按照隨機方法進行分組，可以認定加上間隔后得到的這組樣本是隨機選取的；分層抽樣成比例縮小取樣空間，在相對容量小的每層中進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，保證了隨機性.

下面談一下抽樣方法的適用范圍.簡單隨機抽樣理論上能有足夠把握保證隨機性，但它同樣存在著缺陷，當總體數(shù)量過大均勻攪拌難度很大，獲得這種樣本十分昂貴，以至于單純的經(jīng)濟考慮就會剔除這種方法.當總體容量很大，個體差異不大的前提下，分組等間隔的系統(tǒng)抽樣可有效降低抽樣的難度.而對于個體差異較大的總體，為了確保準確性有效性，最有效的辦法是準備在每一層（性質(zhì)相同的個體整體）中，以隨機抽取的方式構(gòu)成樣本，即在各層內(nèi)部獲得層樣本形成總樣本.顯然分層抽樣是一個更經(jīng)濟的替代品，它在現(xiàn)實生活的市場研究和民意調(diào)查等領(lǐng)域中得到了廣泛的應用.

抽樣的教育價值在于讓學生學會用手中少量數(shù)據(jù)，對重大問題做出明智的決策.大、小樣本之爭告訴我們，要得到“手中少量的數(shù)據(jù)”，這就需要抽樣了，使用容量足夠小的樣本（小樣本）——甚至不需要多少成本，抽樣調(diào)查要比普查劃算.好、壞樣本之辯告訴我們統(tǒng)計結(jié)果具有“可錯性”，不存在“最優(yōu)解”，根據(jù)不同客觀情景使用抽樣調(diào)查、選擇合適的抽樣方法相當重要.建議教師在教學中幫助學生理解不同抽樣方法的適用范圍，揭示各操作步驟之間的聯(lián)系，在具體操作時不要漏掉某些關(guān)鍵步驟.如果不把這一點說清楚，只單純地介紹三種抽樣方法就講偏了.

2功能強大的“統(tǒng)計圖表”

抽到的原始數(shù)據(jù)一般是雜亂無章的，需要加以整理.整合數(shù)據(jù)是解決統(tǒng)計問題的第二個步驟，是統(tǒng)計的一個強有力的工具.整合數(shù)據(jù)的方式有兩種：一是圖、表；二是統(tǒng)計量.高中數(shù)學主要涉及三種統(tǒng)計圖：頻率分布直方圖、莖葉圖和散點圖，包括制作和理解兩個方面的要求.根據(jù)實際，用什么樣的圖表來展示數(shù)據(jù)？ 在圖表中，數(shù)據(jù)表現(xiàn)出了怎樣的趨勢和性狀？ 能從圖表中得到什么樣的結(jié)論？這是學生的疑惑.調(diào)查反映出學生容易混淆頻率分布直方圖、莖葉圖和散點圖的適用范圍，辨不清它們各自功能的異同；學生對統(tǒng)計圖的錯誤觀念突出表現(xiàn)為兩點：錯誤的選用統(tǒng)計圖表；統(tǒng)計圖視覺上的誤解.

2.1頻率分布直方圖

當收集到的數(shù)據(jù)容量偏大時，逐個分析計算變得很困難，繪制頻率分布直方圖是個不錯的選擇.繪制頻率分布直方圖需要一定的功底，一是要保證分組等寬度，組界明確，不出現(xiàn)遺漏數(shù)據(jù)和重復統(tǒng)計的情形；二是保證組距、組數(shù)合理，分組太少就像蓋摩天大樓，所有數(shù)據(jù)都落在少數(shù)組；分組太多，就像攤煎餅，大部分組中僅有一個幾個觀測值，甚至沒有觀測值；這兩種情形都不能有效描述數(shù)據(jù)的分布情況.事實上，作為高中生來講，這是易錯點不是重點，要幫助學生明確畫統(tǒng)計圖不是目的，畫統(tǒng)計圖的目的是幫助我們了解數(shù)據(jù)背后的信息.頻率分布直方圖功能強大，俗語“濃縮的是精品”，要確立畫完直方圖后的一句話“我看到了什么？”，首先看到的是小矩形間面積的差異，這正好對應各組數(shù)據(jù)間頻數(shù)、頻率間的差異；其次要強調(diào)審圖的策略：注意力的重點是找中心、看散度（集中、分散的程度）.找中心（直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)），其中眾數(shù)是分布中“尖峰”的中值，中位數(shù)是分布的中間點，把觀測數(shù)據(jù)（面積）對半分；再說直方圖的散度，看圖像的起伏程度，它對應于數(shù)據(jù)的方差.

事實上，繪制頻率分布直方圖是以丟失一部分信息為代價的，當然數(shù)據(jù)容量大時丟失的數(shù)據(jù)可能對我們要處理的問題沒用，頻率分布直方圖無法恢復原來的數(shù)據(jù).當樣本容量足夠大組數(shù)增多組距逐步減小，頻率分布直方圖就從折線圖演變?yōu)槔硐牖恼龖B(tài)分布.當數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布時，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)“三位一體”，取同一數(shù)值.

2.2莖葉圖

頻率分布直方圖并不是唯一選擇，莖葉圖的應用也非常廣泛，如體育賽事等應急情況.使用莖葉圖解決統(tǒng)計問題有兩個突出的優(yōu)點：一是繪制圖形沒有損失信息，它保留了原始的觀測數(shù)據(jù)；其二，莖葉圖可以隨測隨錄，可以表示兩個人以上的比賽結(jié)果，簡便易操作.繪制莖葉圖時區(qū)分莖、葉是為了方便登錄數(shù)據(jù)，規(guī)定數(shù)據(jù)的頭一位或頭幾位為莖就等于自動選擇了組距.有時莖葉圖也顯得力不從心，當統(tǒng)計數(shù)據(jù)容量過大時，每個莖都有很多葉（數(shù)據(jù)），繪制、讀取及解讀很困難；當數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖只能表示“兩位”整數(shù)，莖葉圖的組（莖）沒得選擇，表示的記錄就會不直觀不清晰.

同樣，和頻率分布直方圖一樣，解讀莖葉圖應該要看圖形的整體形態(tài)，說白了莖葉圖就像側(cè)躺的直方圖，莖葉圖是枝繁葉茂還是一枝獨秀，反映數(shù)據(jù)的散度截然不同.

2.3散點圖

為了清晰認識散點圖，我們從散點圖與折線圖的區(qū)別談起.散點圖反映的是兩個關(guān)聯(lián)變量間的相關(guān)關(guān)系，而折線圖主要反映兩個變量間的變化趨勢.解讀散點圖的關(guān)鍵在于觀察樣本點形成圖象的整體形態(tài)、走向，進而區(qū)分正負相關(guān)，事實上，求解回歸方程，使用最小二乘法及計算相關(guān)系數(shù)都不是重點，應關(guān)注方程的意義和合理性.如在圓上隨機取一組點，用這組點的坐標套用公式仍可求得一個回歸直線方程，這樣的直線顯然是沒意義的，所以不關(guān)注圖形的計算是“不合理的”.

統(tǒng)計圖表的教學一定要注意的是“不要把統(tǒng)計圖表講成如何畫圖表、根據(jù)公式運算”， 而應側(cè)重于幫助學生挖掘不同統(tǒng)計圖表的功能及優(yōu)劣，并能根據(jù)不同情境選擇合適的圖表.上述三種圖表都可以“找出中心和看出散度”，這些都直觀地展現(xiàn)在眼前.統(tǒng)計圖表的教育價值在于思考圖表能告訴我們何種信息，以及體會用圖形形態(tài)呈現(xiàn)信息、輔助做出統(tǒng)計推斷進行決策的過程.

3數(shù)“聚”力量

數(shù)據(jù)本身沒有價值，數(shù)據(jù)的價值在數(shù)據(jù)背后.收集數(shù)據(jù)、繪制圖表固然重要，但更重要的是解讀數(shù)據(jù)，這剛好對應統(tǒng)計問題的第三步統(tǒng)計推斷.統(tǒng)計推斷能力是學生使用很簡單的方法，也能很睿智地解讀數(shù)據(jù).從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息說明問題，在這個過程中，形成對數(shù)據(jù)的意識，養(yǎng)成會拿數(shù)據(jù)“說事”的習慣，這種能力已經(jīng)成為高中數(shù)學課程要培養(yǎng)學生形成的一個基本能力.

3.1驚喜從認識“統(tǒng)計量”開始

每個統(tǒng)計量都有規(guī)則合法的計算方法，統(tǒng)計量不是單純的數(shù)字，它是有“內(nèi)容”的，每種數(shù)據(jù)都代表著不同的意義.盡管現(xiàn)實生活中使用的統(tǒng)計量很多，但應用廣泛的僅是少數(shù)，高中數(shù)學我們主要關(guān)心兩個指標，即集中趨勢和離散程度.描述集中趨勢的有平均數(shù)（期望、均值）、眾數(shù)、中位數(shù)等；描述離散程度的統(tǒng)計量有方差、極值等.

平均數(shù)是刻畫集中趨勢最普遍的代表數(shù)，具有較大的可靠性，但它的缺點是易受極端數(shù)據(jù)的影響.中位數(shù)的優(yōu)點是不受極端數(shù)據(jù)的影響，即使兩端存在未知數(shù)據(jù)時，中位數(shù)依然可以求得.眾數(shù)的出現(xiàn)只與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，也不受極端數(shù)據(jù)的影響.在這三個特征數(shù)中，最有價值、用得最多的無疑是平均數(shù).如平均速度、平均身高、平均工資、平均壽命、平均溫度、平均降雨量、平均能耗等，人們早已耳熟能詳.學校也經(jīng)常用班級的平均分來對各班成績進行衡量.而用中位數(shù)或眾數(shù)來給各班的成績定優(yōu)劣、給各個教師的教學質(zhì)量定高低之舉，人們卻鮮有耳聞.這是為什么呢？首先，這是因為平均數(shù)具有另兩個特征數(shù)都不具備的獨特優(yōu)點：它用到了組內(nèi)所有數(shù)據(jù)的信息.平均數(shù)既然是由全體數(shù)據(jù)“糅合”而成，那么用它來刻畫這組數(shù)據(jù)的集中程度和整體水平，當然就最合理、最可靠、最令人信服.其次，平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)影響的缺點可以借助一些技術(shù)手段予以克服.例如，在比賽中，人們常常在計算平均數(shù)時不考慮極端數(shù)據(jù)的情況，賽手的成績就是通過從評分中去掉一到兩個最高分和最低分得出來的.

人們習慣用極差、方差（標準差）來描述一組數(shù)據(jù)的波動程度（離散程度），它們越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大；反之，越小.在分析數(shù)據(jù)時，當平均水平一致時，為了更好地根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果作出合理的判斷和預測，往往會根據(jù)極差和方差來判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，從而作出正確決策.

統(tǒng)計量的核心價值就是從量化的數(shù)據(jù)中找出信息，并得出結(jié)論，完成統(tǒng)計推斷.建議教師多采用案例教學的方法，一切從實際出發(fā)培養(yǎng)學生運用多重數(shù)據(jù)指標（統(tǒng)計量），做出正確的推斷.

3.2理解數(shù)學期望，離不開“權(quán)重”

調(diào)查表明約1/3的學生表示對數(shù)學期望的認識僅局限于計算，學生只知道用公式將隨機變量與概率值連接起來得到數(shù)學期望值，對其定義的理解表現(xiàn)為“沒有什么實際的意義”或“不可理解”.如：隨機拋擲一枚骰子，所得點數(shù)的期望Eξ=35，很多學生反映對這一結(jié)果難以理解.因為骰子的點數(shù)只存在6個整數(shù)，不可能出現(xiàn)35這樣一個帶有小數(shù)點的數(shù)字結(jié)果，那么35這一數(shù)值到底是什么含義？它與實際值之間有何種聯(lián)系呢？事實上，計算結(jié)果應該是多次實驗后出現(xiàn)的實際值的平均數(shù)，剛好反映了數(shù)學期望值的確定性與實際值不確定性之間的聯(lián)系.這樣數(shù)學期望與平均數(shù)建立了聯(lián)系，它反映的是隨機變量取值的平均水平.

數(shù)學期望本質(zhì)是一種加權(quán)的平均，學生理解加權(quán)平均數(shù)中“權(quán)”的涵義也是比較困難的.事實上，數(shù)學期望概念中概率擔當?shù)慕巧褪羌訖?quán)平均數(shù)中“權(quán)重”的角色.盡管數(shù)學期望和平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)都是一個具體的數(shù)，它反映的是平均值.而數(shù)學期望表示的是一種“可能性”的大小，是對“未來”的預見.意思是說在若干次試驗后，該數(shù)值（數(shù)學期望）或相近值出現(xiàn)的可能性最大，但并不能確切的說平均值是多少.

從算術(shù)平均數(shù)到加權(quán)平均數(shù)，再到數(shù)學期望，其實是一個很大的跨越.從內(nèi)容上講，是一個逐步深入的螺旋上升的過程，從方法上講，是科學性不斷加強的過程.筆者建議教師在進行數(shù)學期望（方差）的教學之前，要符合學生的認知規(guī)律，先借助一些簡單的實際問題復習之前學過的加權(quán)平均數(shù)（如：混合糖果的單價問題等），復習“權(quán)重”在計算平均數(shù)中的作用，使之自然地過渡到對數(shù)學期望概念的教學，幫助學生更好地理解數(shù)學期望和加權(quán)平均數(shù)之間的聯(lián)系，從而能較好地解決實際應用問題，學會用數(shù)據(jù)回答我們面對的問題.