從2013年一道高考題產生聯想

李昭平 汪和平

2013年陜西省高考數學理科卷第20題是：已知動圓過定點A（4，0）， 且在y軸上截得的弦MN的長為8. （Ⅰ） 求動圓圓心的軌跡C的方程； （Ⅱ） 已知點B（-1，0）， 設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q. 若x軸是∠PBQ的角平分線， 證明直線l過定點.

解析（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為（x，y），則（4-x）2+（0-y）2=42+x2.整理得，y2=8x.故所求動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.

（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，聯立[JB（{][HL（1]y2=8x

對高考題的第（Ⅱ）問作逆向思考，題設與結論互換得到聯想1.

聯想1已知點B（-1，0）， 設過定點（1，0）且不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=8x交于不同的兩點P，Q， 證明x軸是∠PBQ的角平分線.

說明只要在第（Ⅱ）問的證明中將b換為-k，就可以得到kQB+kPB=0，則x軸是∠PBQ的角平分線.

4混合聯想

對聯想4進行逆向思考、類比猜測、合情推理等混合聯想得到聯想6.

說明聯想9的證明與聯想8類似， 略去.

以上我們從一道高考題出發，通過多方聯想得到9條新結論. 在整個探究過程中， 融觀察、猜想、證明于一體，數學規律的和諧美和統一美盡現其中. 這給我們的啟示是： 高考題往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，備考復習中重視對高考題的聯想，必能收到良好的復習效果.