口算學習：磨礪思維的重要平臺

馮桂群

2011版的《數學課程標準》中特別強調了課程內容組織時要處理好的三個關系，即“要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系”。[1]在日常口算教學中，如何處理好以上的三種關系，讓學生在直接經驗的基礎上，經歷算法的建構過程，抽象概括出具有普遍意義的口算模型，同時又能提升數學思維能力，從而在口算教學中落實數學基礎知識、數學基本技能、數學活動經驗和數學基本思想的四基目標呢？下面結合蘇教版一年級的口算教學談談筆者在這方面的探索。

一、 在有序分層的動手操作中實現由直觀算理到抽象算法的提升

蘇霍姆林斯基曾說過，兒童的智慧在他的指尖上。動手操作是新課改積極倡導的學習方式。筆者以為，小學數學學習中的動手操作，不僅包括動手擺弄實物、比劃手勢、活動肢體的學具操作活動，還包括借助于符號、文字和圖表等數學語言動手畫圖、畫批、列表、列舉、摘錄、列算式、寫關系式等逐步抽象化的語言操作活動。借助于擺弄學具到組織語言的有序過渡，或在語言操作中由直觀的畫圖到抽象的畫批、列式等的逐層展開，可以高效地幫助學生跨越從形象到抽象的思維障礙，實現由直觀算理到抽象算法的有效聯結與及時提升。

如教學蘇教版一年級下冊的“兩位數加整十數、一位數的口算”，有教師在教學了45+30后，立刻要求學生“脫離計數器，利用頭腦中建立的表象支撐進行口算”。因為“從‘撥珠計算到直接口算，思維的難度發生了‘飛躍”， [2]學生的計算必然受阻。如何解決這一問題呢？我并沒有先讓學生練習“撥珠計算”到熟練化、自動化的程度，再想象撥珠過程，最后抽象地直接口算。練習撥珠計算到熟練程度是要花費大量時間的，還要每人準備計數器，成本太高，效率太低。我引領學生經歷了一段循序漸進而又簡約高效的內化歷程，具體如下：

第一，先讓學生觀察算式30+4，想象小棒圖，然后在四人小組里用手勢合作比劃出30和4（3雙合掌的小手，加伸出的4個手指，這比擺小棒省事有效多了），算出結果是34。再出示30+40，讓學生在頭腦中想象出是幾捆小棒加幾捆小棒，之后與教師同步用食指在空中畫出想象的小棒圖，算出結果是70。最后借助畫撥珠過程和畫線批注，進一步明確這兩個算式的各自算理與不同點，即：+4表示加4個一，所以在30的個位上再添4個珠子，+40表示加4個十，所以在30的十位上再添4個珠子，從而為后面較復雜的口算學習做好了算理、算法及策略等方面的準備。

第二，教學45+30時，仍采用上面的想象、畫圖、撥珠、畫批、說思路流程，先讓學生看算式想小棒圖，然后師生共畫（比劃）小棒圖，觀察撥珠過程，之后在算式旁用符號畫批口算思路，最后讓學生具體說出口算思路。

第三，讓學生用同樣的方法自主計算45+3。在對比45+30和45+3的不同點時，結合畫批的弧線追問：45+30中的30表示3個什么？（3個十）所以要跟45哪一位上的數相加？（十位）如果是45加3呢？

第四，在之后的鞏固練習中，學生根本不需要直觀操作的支撐，除極個別思維水平較差的學生需要借助詳細畫批來口算外，其余學生只要用弧線將幾十和幾十連線（兩位數加整十數），幾和幾連線（兩位數加一位數），再說思路，就會做了。

借助做手勢、想小棒圖、畫小棒圖、畫計數器、符號畫批等有序分層、逐步抽象化的動手操作和動口表述活動，教師不著痕跡地引領學生完成了直觀算理與抽象算法之間的及時聯結和有效推進，達到了事半功倍的效果。可以說，以上由直觀到抽象的操作過程是流暢而完美的，是助推學生的思維拾階而上的腳手架，哪一步都不能少。而其中抽象的符號畫批與口頭表述是思維活動發生質變的關鍵因子，是學生能順暢地掌握抽象算法的外在行為表征，也是實際教學中教師急需引起重視的學習途徑。

二、 在建構與遷移結構化的口算模型中實現數學思維的生長和數學思想的滲透

布魯納說過：“獲得知識如果沒有完美的結構將它聯系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的結論在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”在數學學習過程中，我們非常重視引導學生將知識點連成線，知識線結成網，知識網聯成片，最終構建成知識大廈。口算內容之間同樣具有較強的系統性、連貫性，新知識往往是舊知識的延伸與組合，利用結構的相似性可以很好地促進學生進行知識、方法及策略的正遷移，促進數學知識與思維的自主生長，巧妙滲透轉化、數形結合、抽象推理建模等數學思想。

如教學9加幾的進位加法（如9+6），我引領學生看小棒圖想算法、標注思路明算理，著重讓學生掌握湊十法的思路與符號表征。之后，我引導學生將表示湊十法的思路簡化，如9+6的思路由圖1簡化為圖2。因為學習過程就是要經歷由繁到簡、由多到少、由慢到快的過程。這樣學生就能方便快捷地表示出湊十法的思路，更好地鞏固相應的算理與算法，強化9加幾的進位加法與連加算式9+1+（ ）之間的內在聯系。同時，我還帶領學生將抽象的口算過程用手勢操作表示出來。如計算9+6，9記心上，用手指比劃出6，彎下一個手指表示1與9湊十，剩5就是15。上課結束前，帶領學生邊做手勢邊報算式，從9+2算到9+9，學生特別有興致。

由于有了對“9加幾”這節課的深耕細作，之后的8加幾、7加幾等等口算，學生就能完全自主順暢地將湊十法的思路遷移過來，探討出相應的算理與算法，畫圖、做手勢和畫批思路等策略也越用越熟練。

同樣，在學生學習一年級下冊的20以內的退位口算以及兩位數加減整十數或一位數的口算中，我都有意識地引領學生借助于做手勢、想小棒圖、畫小棒圖、畫撥珠圖、畫批口算思路、口述思路等由直觀到抽象的操作方式來理解算理、掌握算法，并引導學生建構了前后統一的、極具遷移性的思路畫批模型。如，計算兩位數加減整十數和沒有進退位的兩位數加減一位數，借助于畫弧線突顯口算思路，同時也滲透了“相同數位上的數相加減”的位值原則，為后面列豎式時的數位對齊打下伏筆。而在學習難度較大的兩位數加減一位數的進退位口算時，我引領學生建構了畫2弧、寫2數的畫批思路，既與之前的畫批思路保持了一致性，又有了新的拓展，很好地訓練了學生的有序思維能力與符號表征能力。

有了教師對口算教學在結構關聯、系統思維等方面的整體策劃，學生所學的知識、方法與策略就有了遷移與生長的力量，為后續學習做了充分的準備與滲透，從而使學生在“主動發展的意愿、結構遷移的能力、研究方法的把握、思維品質的提升、思想文化的感悟以及我們數學學科獨特的思維方式的形成”[3]等方面都有了明顯的進步。

三、 在分享互動的對話中實現算法多樣與算法優化的兼得

由于學生生活經驗、認知水平和思維方式的不同，其算法肯定是多樣的，而且不同算法之間還存在不小的差距，有的算得巧，有的算得繁，有的算法有特殊性，有的算法有普遍性，有的算法直觀性強，有的算法比較抽象。借助于獨立思考之后的互動與對話，不僅可以讓學生分享到他人的思維成果，拓寬思維的視野，感受算法的多樣性，還能在傾聽、對比、選擇、吸納中理解同伴的算法，改造自己的算法，實現算法的優化，培養開放思維和聚合思維能力。

如教學十幾減9的例題：13-9，學生在獨立思考后進行對話交流，一共交流了以下6種算法：

想加算減法：9+（4）=13，13-9=4；

多減了加，13-10=3，3+1=4；

連減法，13-3=10，10-6=4；

破十法：10-9=1，3+1=4；

聯想法：12-9=3，13-9=4；

做手勢倒著一個一個地數數：伸出9個手指，從13起倒著數數，彎下一個手指就倒數一下，依次是12、11、10、9、8、7、6、5、4。

學生的出色表現讓我十分欣喜，我當場讓大家給發言的學生送去熱烈的掌聲，同時又啟發大家說說更喜歡哪一種方法，為什么？在各抒己見的平等交流中，大家比較認同想加算減法和破十法，因為9加幾的進位加法上學期就學了，加法算熟了，很容易想到相應的減法，而破十法中，10-9=1，口算時只要用1加上減號前面那個數（被減數）個位上的數就行了，也算得很快。在舉手表決更喜歡破十法還是想加算減法時，人數幾乎各占一半。我發現，9加幾的口算已練得很熟的學生，大多喜歡想加算減，而9加幾口算不熟的學生則喜歡破十法。在算法優化中，我尊重了學生的選擇，沒有強求統一用破十法或是想加算減。而對于班上極少數仍處于動作思維水平的數學潛力生，我則允許或鼓勵他們借助于比劃手勢來計算，當手勢做多了，在頭腦中生成了相應的表象，他們也就懶得再撥弄手指了。畢竟，最適合的才是最好的。算法多樣與算法優化同樣要遵循學生的認知規律，確立真正的“兒童立場”。

四、 在開放性的口算情境中培養數學思維的靈活性與創新性

情境教育的創始人李吉林老師說，教育就是要將不太聰明的孩子教聰明，讓聰明的孩子學得更聰明。那什么才是聰明、富有智慧的表現呢？有人認為，智慧就是在具體情境中的游刃有余，即能夠對各種問題情境作出相應的準確判斷，并能根據各自的具體情境選擇恰當、合理的方法靈活地解決問題。在口算學習中，只能說有一般算法與特殊算法之分，而沒有什么最簡便算法，因為在這種情況下這樣算比較方便，到另一種情形中可能又有所改變。所以，在學生掌握了基本算法并了解了多樣化算法之后，要有意識地創設開放性的口算運用情境，讓學生學會靈活地運用所學算法方便快捷地解決實際問題，提高口算思維的靈活性與創新性，培養創新思維和實踐運用能力，滲透辯證地看待問題的思維方式。

如在十幾減9的練習課上，當完成了練習一的第2題后，我要求學生仔細觀察并發現其中的規律。通過橫向、縱向及整體觀察后，學生發現減號前面的數越大，結果也越大；減號前面的數越小，結果也越小；單數—單數=雙數，雙數—單數=單數；結果比第一個數個位上的數多1等等。這時，班上曾被評為創造之星的小洲突然驚喜地叫起來：“老師，我還發現，計算十幾減9，只要將最前面數的兩個數字加起來就行了，11-9，11個位和十位上的數字1和1加起來是2，結果就是2。”大家一聽，頓時眼前一亮，迫不及待地用小洲的算法計算第二題的其他題目，如：16-9=1+6=7，18-9=1+8=9，結果都是正確的。看到學生還想好好算一把，教師就鼓勵他們用小洲的算法完成書上的第4題。有了神奇算法的幫助，大部分學生不到半分鐘就算出來了。在交流時，我讓學生從中找出不適合用小洲算法的題目，并追問為什么？（9-9=0，19-10=9，因不是十幾減9）之后又啟發學生深入地思考：這樣巧合的算法為什么只適用于十幾減9？在互相啟發與交流之后，學生最終明白了：這是破十法的簡算法，11-9，先用10-9=1，這個1與十位上的數字1正好相同，就可以借用十位上的1，加上個位上的1。所以這一算法只能用在十幾減9中。我順勢啟發學生：那11減8，該用幾加上前面個位上的數呢？減7呢？借助10的分成及合情推理，學生很快找到了答案，減9、8、7、6、5、4、3、2、1，只要用前面數個位上的數加1、2、3、4、5、6、7、8、9。當我順勢把答案寫下來之后，思維敏捷的小寧又有了新的發現：11-2可以變成11-1-1，這樣算得更快；而11-1，直接用個位上的1去減，不要自找麻煩。大家對小寧的發言非常贊同，真切地體會到口算方法運用的靈活性與巧妙性，很好地培養了開放情境中的應變力。

總之，只要教師能參透口算知識的本質內涵，遵循學生的認知規律，創造性地優化教法與學法，學生就一定能在算法模型的建立與運用過程中培養口算技能、發展數學思考、積累數學活動經驗、感悟數學思想、提升數學素養，真正實現新課標中的四基目標。

參考文獻

[1] 義務教育數學課程標準（2011年版）.北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 李建梅.跨越從形象到抽象的思維障礙.教育研究與評論，2012（4）.

[3] 吳亞萍.在教學轉化中促進學生素質養成.人民教育，2012（10）.