“一例貫通”在高三數學章節復習中的應用

金陳

一、問題提出

著名數學教育家波利亞曾說過：“一個有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的結論和見解，可以打開通向一門新的學科，甚至通向一個科學新紀元的門戶.”在高三數學的章節復習中，能否避免題海戰術費時費力又低效的做法，另辟蹊徑，找到一種“解一題，通一章”、符合新課標“輕負高質”精神的復習方法呢？為此，筆者嘗試了“一例貫通”法.

二、概念界定

所謂“一例貫通”，就是指在高三數學章節復習中，針對新課程對某一章節提出的相關學習目標，精心設計一個例題，并對該題進行全方位、多角度的挖掘和轉換，從不同的角度來設計變式，讓學生在逐一對例題和變式的思考和解決中，把零散的知識點串成線、連成面，以達到對該章節知識、能力融會貫通的目的.

三、實踐操作

（一）“一例貫通”設計原則

常規性原則.習題的常規解法，往往能更好地突出教材、課程標準以及考綱所要求的基本數學思想和方法.因此，在“一例貫通”例題和變式的設計中，不要一味追求新、奇、巧，而忽略了學生對常規習題及其解法的掌握.

典型性原則.所選擇的例題，要有典型性和可變性.這里的例題相當于一個母題，經過變式后能覆蓋本章絕大部分的知識點，同時，也能通過該例題及變式的分析和解答，使學生牢固掌握常用的技能技巧、思維方法以及注意事項等.

梯度性原則.圍繞母題設計的變式，要有梯度，要按照“最近發展區”理論，盡可能注意到學生原有知識和技能方面的儲備，由淺入深、由易到難、由簡單到復雜、由特殊到一般層層遞進，讓學生在問題的解決中找到知識之間的聯系，并生成新的數學思維和能力，從而達到復習鞏固的目的.

（二）“一例貫通”設計步驟

“一例貫通”在章節復習中，一般分“三步走”.

第一，“內容學情一張網”，即盡可能全面地了解課程標準或高考考綱對本章節的教學要求，以確保學生在對例題和變式的解決中，掌握本章絕大部分的知識點；同時，也要整體了解學生對該章節知識點的掌握情況.

第二，“例題設計一個點”.這里的例題相當于一個原點，具有一定的發散性和生發性，圍繞這個原點能生發出大量的變式.

第三，“變式生成一把尺”.變式生成的難易要有“度”，要圍繞新課程對本章節的教學要求和具體學情，由淺入深、層層遞進地呈現給學生.

下面以《線性規劃》章節復習為例，談一談“一例貫通”的設計.

第一步：以導學案的形式提前布置給學生.

【高考考綱要求】

1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式模型；

2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；

3.會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并加以解決.

【知識復習與自學質疑】

1.二元一次不等式表示的平面區域

在平面直角坐標系中，設有直線Ax+By+C=0（B不為0）及點P（x0，y0），則：

（1）若B>0，Ax0+By0+C>0，則點P在直線的上方，此時不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區域；

（2）若B>0，Ax0+By0+C<0，則點P在直線的下方，此時不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區域；

（3）若B<0，都把Ax+By+C>0（或<0）中y項的系數B化為正值.

2.線性規劃

（1）滿足線性約束條件的解（x，y）叫可行解；所有可行解組成的集合叫可行域.

（2）使目標函數z=ax+by取得最大值或最小值的解（x，y）叫最優解，這里約束條件和目標函數都是x，y的一次式，所以把這類問題叫線性規劃.

3.線性規劃解題步驟

（1）設出變量，列出約束條件及目標函數；

（2）畫出可行域；

（3）觀察平行直線系z=ax+by的運動，求出目標函數的最值.

4.基礎小練

（1）已知點A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），則表示△ABC的邊界及其內部的約束條件是.

（2）已知不等式組x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0.

①求z=x+2y的最大值和最小值；

②求z=yx 的取值范圍；

③求z=x2+y2的最大值和最小值.

（3）若當z=ax+y+2取最大值的最優解有無窮多個，求a的值.

第二步：根據學生預習情況，精心設計母題和生成變式.

【例題】已知關于x，y的不等式組x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

求z=2x+y+2的最小值.

變式1：已知……（同例題），求z=|2x+y+2|的最小值.

變式2：已知……（同例題），求z=x2+y2+2的最小值.

變式3：已知……（同例題），求z=y+3x+1 的最小值.

變式4：已知……（同例題），求z=2x+y+2x+1 的最小值.

評注：變式1、2、3、4是目標函數的最值問題，主要考查學生對目標函數的幾何意義的理解，以及轉化思想的掌握程度.

變式5：若x，y滿足約束條件x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

目標函數z=ax+y僅在（1，3）處取得最大值，求a的取值范圍.

變式6：若A為不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區域，則a從1連續變化到3時，動直線x+y=a掃過A中那部分區域的面積為多少？

變式7：已知A為不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區域，若直線y=kx-2k+2將區域A分成面積相等的兩部分，求k的值.

評注：變式5、6、7是目標函數含參問題，要根據解析幾何知識，確定求解目標的幾何意義，從而結合解析幾何知識解決問題，或轉化為函數問題解決.適當變換目標函數可以使其幾何意義更加明確.

變式8：若滿足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的點P（x，y）構成一個三角形區域，求實數a的取值范圍.

變式9：若滿足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的點P（x，y）構成一個面積為252的平面區域，求實數a的值.

變式10：已知實數x，y滿足x≥1x+y-4≤0bx-by+c≤0

，且目標函數z=2x+y+2的最大值為9，最小值為2，求a∶b∶c的值.

評注：變式8、9、10是不等式組含參問題，要根據參數的變化趨勢確定區域的形狀，或根據區域面積、目標函數的最值，從而求得參數范圍.

變式11：已知點A（a，b）在不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區域內，求點M（a+b，a-b）所在的平面區域面積，并求a+2b的最大值.

評注：本題涉及點的軌跡，通過點A與點M的等量關系，運用代換法，得到點M的區域，從而求得該區域的面積.

變式12：某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時2h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h，該廠每天至少可從配件廠獲得4個A配件，且生產甲產品數的兩倍與生產乙產品數之差不超過2個，按每天工作不超過8h計算，該廠所有可能的日生產安排是多少？

評注：本題是含有實際背景的線性規劃問題，考查學生能否從實際問題中歸納出不等式組，從而可轉化成求整點問題.

第三步：總結反思（包括規律總結、方法提煉）.

1.給定平面區域求解一些非線性目標的最值或范圍時，要根據解析幾何知識確定求解目標的幾何意義，結合解析幾何知識解決問題，或轉化成函數問題解決（如變式1～4）.

2.線性規劃問題是在約束條件是線性的、目標函數也是線性的情況下的一類最優解問題.在約束條件是線性情況下，線性目標函數只有在可行域的頂點或邊界上取得最值.在解答選擇題或填空題時，可以根據可行域的頂點直接進行檢驗（如變式5～7）.

3.當不等式組中含有參數時，要根據參數的變化趨勢確定區域的可能形狀；當求解目標中含有參數時，要根據臨界位置確定參數所滿足的條件（如變式8～11）.

4.含有實際背景的線性規劃問題的解題關鍵是找到制約目標函數的兩個變量，用這兩個變量建立可行域和目標函數.在解題時要注意題目中的各種制約關系，列出全面的制約條件和正確的目標函數（如變式12）.

這樣，學生基本掌握和鞏固了《線性規劃》一章所涉及的知識、能力、方法、解題技巧以及注意事項等.

四、顯著效果

“一例貫通”這種“講一題，通一章”的做法，不僅喚醒了學生的主體意識，而且也讓教師通過有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，幫助學生將所學的知識融會貫通，提升了學生的應變、應用能力，有效地避免題海戰術的盲目性，從而達到“輕負高質”的數學學習目的.

（責任編輯黃春香）