對n棱錐涂色問題的若干思考

蔣穎楠

涂色問題是一類非常有趣的問題，在高考中也經常出現，它包含著豐富的數學思想，它還有利于培養學生嚴謹的思維能力和思維策略.下面就來看一類最簡單的涂色問題.

圖1

【例1】用5種不同的顏色給圖1中A、B、C、D四個區域涂色，規定每個區域涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法.

分析：先涂D區域有5種涂法，然后A區域有4種涂法，C區域有3種涂法，B區域有2種涂法，由乘法原理可知，有N=5×4×3×2=120種.

【例2】至少需要多少種顏色才能使圖1中的A、B、C、D四個區域的涂色滿足每個區域涂一種顏色，且相鄰區域顏色不同.

分析：先涂區域D，只需一種顏色，再選區域A，為使區域D和A顏色不同，故涂完A區域，已使用了2種顏

色，再涂C區域，需要用到第3種顏色，最后涂B區域，需要用到第4種顏色.所以將圖1每個區域涂一種顏色，且相鄰區域顏色不同，需要用到4種顏色.

【例3】將一個三棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種可供使用，求不同的涂色方法總數.

分析：可將三棱錐的頂點往下作投影，或者是將三棱錐看成可以拉伸的薄膜狀表面，變成平面圖形，則空間圖形的涂色變為平面圖形的涂色，繼而將點擴充為平面區域，就可變成平面內圓形區域的涂色問題（如圖1），于是此問題的解法同例1.

繼續探討此問題.

圖2

【例4】用5種不同的顏色給圖2中A、B、C、D、E五個區域涂色，規定每個區域涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法.

分析：先涂E區域有5種涂法，

然后A區域有4種涂法.

以下分兩類討論：若D區域和B區域顏色相同，則B區域和D區域有3種涂法，C區域有3種涂法，由乘法原理可知，有N1=5×4×3×3=180種；若D區域和B區域顏色不同，則B區域和D區域有3×2種涂法，C區域有2種涂法，由乘法原理，有N2=5×4×3×2×2=240種.

由加法原理可知，有N=N1+N2=180+240=420種.

【例5】至少需要多少種顏色才能使A、B、C、D、E五個區域的涂色滿足每個區域涂一種顏色，且相鄰區域顏色不同？

分析：先涂區域E，只需一種顏色，再選區域A和D，兩種顏色即可，再涂B區域和C區域，需要用到第3種顏色，故只需3種顏色即能滿足要求.

【例6】將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種可供使用，求不同的涂色方法總數.

分析：類似例3的分析可知，此題的解法同例4.

由前面6個例題的討論，將此問題進行推廣.

推廣1：用5種不同的顏色給n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，用an表示這個n棱錐總的涂色總數，則有如下結論：

an=120，n=3，5×4×3n-2+5×4×3n-3×22，n≥4.

圖3

證明：可將n棱錐的頂點往下作投影，或者是將n棱錐看成可以拉伸的薄膜狀表面，變成平面圖形，則空間圖形的涂色變為平面圖形的涂色，繼而將點擴充為平面區域，則可變成平面內圓形區域的涂色問題（圖3）.

由例1可知，當n=3時，a3=120，成立.

當n≥4時，先涂B區域，有5種涂法；再涂A1區域，有4種涂法；涂A2區域，有3種涂法；…；An-2區域有3種涂法.

下面分兩類情況討論：若An-1與A1的顏色相同，則An有3種涂法，由乘法原理可知，有N1=5×4×3n-2種；若An-1與A1的顏色不相同，則An-1有2種涂法，An有2種涂法，由乘法原理可知，有N2=5×4×3n-3×2×2種.由加法原理可知，an=5×4×3n-2+5×4×3n-3×2×2，得證.

推廣2：要使n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，當n為偶數時，只需3種顏色即可，當n為奇數時，則需要4種顏色.

證明：由推廣1的討論可知，此問題可以看成圖5的平面問題.當n為偶數時，先涂B區域，需要1種顏色；接著涂A1，A3，…，An-1總共n2 個區域，只需用到一種顏色便能將其與B區域區分，最后只需用另外一種顏色涂剩下的A2，A4，…，An區域.所以當n為偶數時，只需3種顏色便能使n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色.

當n為奇數時，先涂B區域，需要1種顏色，接著涂A1，A3，…，An-2總共n-12 個區域，只需用到一種顏色便能將其與B區域區分，接著涂A2，A4，…An-1的n-12 個區域，需要用到第3種顏色，最后還剩下An這塊區域，但它要與B、A1和An-1區分開，所以要用到第四種顏色才能使棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，得證.

當然，在推廣2的基礎上，也可以將推廣1進行適當變化.例如用4種不同的顏色給棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，有多少種不同的涂色方法（用6種、7種、8種不同的顏色均可，只需保證顏色數大于等于4種即可）.為此，得到如下推論：

推廣3：用m（m≥4）種不同的顏色給n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，用an表示這個n棱錐總的涂色總數，則

anm（m-1）（m-2）（m-3），n=3，m×（m-1）×（m-2）n-2+m×（m-1）×（m-2）n-3×（m-3）2，n≥4.

推廣3的證明方法類似推廣1，在此不再贅述.

（責任編輯金鈴）