2013年高考立體幾何命題預(yù)測(cè)

縱觀近幾年的高考題，無(wú)論是全國(guó)卷還是省市自主命題卷，立體幾何主要考查空間想象能力、思維能力和推理運(yùn)算能力，考查重點(diǎn)仍然是空間的平行關(guān)系、垂直關(guān)系、三視圖、空間角、距離的計(jì)算以及簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積，題型涵蓋選擇、填空和解答題，一般穩(wěn)定在一選一填一解答，分值大約占總分的14%左右.選擇題、填空題以基礎(chǔ)題和中檔題為主.隨著空間向量的引入，開(kāi)辟了解證立體幾何問(wèn)題的新途徑，進(jìn)而大大降低了立體幾何解答題的證明、作圖與運(yùn)算的難度.下面就2013年高考熱點(diǎn)做一個(gè)預(yù)測(cè)，供大家專(zhuān)題復(fù)習(xí)參考.

熱點(diǎn)考向1：考查三視圖與簡(jiǎn)單組合體

三視圖與簡(jiǎn)單組合體是新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材的新增內(nèi)容，對(duì)空間想象能力要求較高，從這一點(diǎn)看，新教材與老教材對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何的主要目標(biāo)是不變的.不過(guò)新教材的編排順序與老教材正好相反，它是先安排柱體、錐體、臺(tái)體、球體等內(nèi)容，然后再學(xué)習(xí)空間中的線面位置關(guān)系.

例1. 如下圖是不銹鋼保溫飯盒的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：cm），求得該飯盒的表面積為（ ）

A. 1100 πcm2 B. 900 πcm2

C. 800 πcm2 D. 600 πcm2

思路：由三視圖想象出簡(jiǎn)單組合體的直觀圖，再用相關(guān)公式求飯盒的表面積.

解析：由三視圖可知，該飯盒是一個(gè)圓柱和半球的組合體，圓柱的底面半徑為10cm，高為30cm，半球的半徑為10cm，則S圓柱=2πrh+πr2=700π.

S半 球=2πr2=200π，所以這個(gè)飯盒的表面積為900π cm2，故選B.

點(diǎn)評(píng)：從本題的解法中我們可以深刻地感受到：一旦將一個(gè)復(fù)雜的、抽象的問(wèn)題落實(shí)到具體的、熟悉的圖形中，將會(huì)變得非常簡(jiǎn)單.由三視圖想象出簡(jiǎn)單組合體的直觀圖，是學(xué)習(xí)三視圖的基本要求.對(duì)于根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的表面積問(wèn)題，審題要嚴(yán)密. 本題在解答時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把飯盒的表面積誤認(rèn)為是圓柱的表面積與半球的表面積之和，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤答案.

牛刀小試1：如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（ ）

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

提示：正方形的邊長(zhǎng)為a，則a2=，a=1.幾何體是表面為全等三角形的八面體，其表面積是8××1×1=4，故選B.

熱點(diǎn)考向2：考查球體與特殊多面體的切接

特殊多面體中既包含了空間中許多平行關(guān)系、垂直關(guān)系，又與球體有緊密的聯(lián)系，因此往往受到高考命題者的青睞.近幾年的高考中常常出現(xiàn)球體與特殊多面體的切接問(wèn)題. 解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到球心，以及球的直徑、半徑與多面體棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.

例2. 如圖，△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且PC=a.求三棱錐P—ABC外接球的表面積.

思路：尋找三棱錐P-ABC外接球的球心.

解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC.

而∠ABC=90°，AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.

取PC的中點(diǎn)O，則OA=PC=OB=OP=OC，故外接球的球心是O，半徑是OA=PC=.于是三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4π·OA2=πa2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形的性質(zhì)、線面垂直和多面體的外接球等知識(shí)，由于是非特殊的多面體，所以關(guān)鍵要尋找球心，有一定的難度. 注意正方體、正四面體、長(zhǎng)方體、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐、正八面體的外接球的半徑與這些特殊多面體的棱的聯(lián)系，大家可以探討一下.

牛刀小試2：甲烷分子（CH4）由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子組成，其空間圖形為一個(gè)各條棱都相等的四面體，其中四個(gè)氫原子分別位于該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個(gè)氫原子的距離都相等. 若視氫原子、碳原子為一個(gè)點(diǎn)，四面體的棱長(zhǎng)為a，則碳原子到各個(gè)氫原子的距離是 .

提示：四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點(diǎn)（氫原子）的距離為半徑的球面上. 如下圖，將此四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD′，其中A′、B′、D′也在球面上.設(shè)碳原子到每個(gè)氫原子的距離為x，則2x=BD′，BD′、AB（a）、AA′之間的關(guān)系是a=AB=AA′，2x=BD′=AA′，因此，2x=·，得x=a.

即碳原子到各個(gè)氫原子的距離為a.

熱點(diǎn)考向3：考查線線、線面、面面關(guān)系

空間中線線、線面、面面關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容，其中又以線面的平行與面面的垂直問(wèn)題為重點(diǎn).熟練掌握線面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)是迅速解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例3. 如下圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，平面ADEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a.

（1）若P、Q分別為棱BF和DE的中點(diǎn)，求證：PQ∥平面ABCD；

（2）求多面體ABCDEF的體積；

（3）求二面角A-BD-E的余弦值.

思路：尋求關(guān)系，體積轉(zhuǎn)化，建系用向量法求解.

解析：（1）取AB的中點(diǎn)S，連結(jié)PS.作EM⊥AD于M，取MD的中點(diǎn)T，連結(jié)QT.于是PS∥AF，PS=AF，QT∥EM，QT=EM.因?yàn)镕A⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a，所以AMEF是正方形，∴AF[∥]EM，故PS[∥]QT，∴四邊形PSTQ是平行四邊形，∴PQ∥ST.

而ST?平面ABCD，PQ?ABCD，∴PQ∥平面ABCD.

（2）因?yàn)槠矫鍭DEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，所以FA⊥平面ABCD.

又CD⊥AD，所以CD⊥平面DEF.

于是V多面體ABCDEF =V四棱錐F-ABCD+V三棱錐C-DEF =·（2a）2·a+·a2·2a=a3.

（3）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)a=1，則F（0，0，1），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，1），=（-2，1，1），=（-2，2，0）.

設(shè)=（x，y，z）是面EBD的法向量，則·=·=0，即-2x+2y=0，

-2x+y+z=0，所以取x=y=z=1，=（1，1，1）.而面ABD的一個(gè)法向量是=（0，0，1），所以cos<，>==.顯然二面角A-BD-E是銳角，所以它的余弦值為.

點(diǎn)評(píng)：證線面平行的常見(jiàn)方法是在面內(nèi)尋找直線與平面外直線平行，遇到中點(diǎn)往往又取中點(diǎn)，通過(guò)中位線和平行四邊形來(lái)實(shí)現(xiàn)線線平行的目標(biāo).非常規(guī)多面體的體積常常轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形求體積，關(guān)鍵是找高.求二面角大小（空間面面角等于二面角或其補(bǔ)角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡(jiǎn)單. 利用空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求兩個(gè)平面法向量的夾角來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的，思路自然順暢，是一種有效方法. 一般地，若設(shè)，分別是平面α，β的法向量，則平面α與平面β所成的二面角θ滿(mǎn)足：cosθ=（當(dāng)二面角為銳角、直角時(shí)）或cosθ=-（當(dāng)二面角為鈍角時(shí)），其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定.不難看出，作為一道解答題考查的仍然是立體幾何最基本的知識(shí)與方法.

牛刀小試3：如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱CC1、BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2.

（1）當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MB∥平面AEF？

（2）當(dāng)MB∥平面AEF時(shí)，求直線MB到平面AEF的距離.

提示：根據(jù)正三棱柱中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系（要注意∠ACB=60°，慎求B，F(xiàn)的坐標(biāo)），再將向量關(guān)系代數(shù)化，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)面距離公式就能很快確定點(diǎn)M的位置和直線MB到平面AEF的距離. 問(wèn)題（1）也很容易通過(guò)取中點(diǎn)法證出.M是線段 AC的中點(diǎn)時(shí)，MB∥平面AEF；MB到平面AEF的距離是==.

熱點(diǎn)考向4：考查平面向空間的類(lèi)比

將“平面圖形的性質(zhì)類(lèi)比到空間，探求相應(yīng)的空間圖形是否也有此類(lèi)似的性質(zhì)”，稱(chēng)之為“類(lèi)比推廣”型立幾開(kāi)放題. 這種開(kāi)放題往往以平面圖形的性質(zhì)及其證法為基礎(chǔ)，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查學(xué)生的空間想象能力、類(lèi)比聯(lián)想能力、合情推理能力以及創(chuàng)新能力，在近幾年的高考中是高頻考點(diǎn)， 必須引起重視.

例4. 已知O是△ABC中內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊于A′，B′，C′，則++=1.這是平面幾何中的一個(gè)結(jié)論，其證明常采用“面積法”：++=++==1.運(yùn)用類(lèi)比猜想，對(duì)于空間中的四面體V-BCD，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)加以證明.

思路：將三角形的邊類(lèi)比到空間四面體的面，面積之比類(lèi)比到空間上的體積之比， “面積法” 類(lèi)比到“體積法”.

解析：對(duì)于空間中的四面體V-BCD，猜想類(lèi)似的結(jié)論：+++=1.

事實(shí)上，如圖，設(shè)O為四面體ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，CO，DO并延長(zhǎng)， 分別交對(duì)面于A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，則+++=+++==1.

點(diǎn)評(píng)：一般地，平面上的“點(diǎn)、線、面”類(lèi)比到空間上的“線、面、體” （元素類(lèi)比）， 平面上的數(shù)量結(jié)構(gòu)形式類(lèi)比到空間上的數(shù)量結(jié)構(gòu)形式（結(jié)構(gòu)類(lèi)比），平面上“面積法” 類(lèi)比到空間上的“體積法”（方法類(lèi)比）.

牛刀小試4：我們知道：在平面幾何中，△ABC的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心.重心分中線之比為2∶1（從頂點(diǎn)到中點(diǎn)）.據(jù)此，我們拓展到空間：把空間四面體的頂點(diǎn)與對(duì)面三角形的重心的連線叫空間四面體的中軸線，則四條中軸線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫此四面體的重心.類(lèi)比上述命題，寫(xiě)出四面體重心的性質(zhì)，并證明.

提示：事實(shí)上，如圖， 連結(jié)PE. 因?yàn)锳P∶PF=2∶1，BE∶EF=2∶1，

所以AP ∶PF =BE∶EF， PE//AB，

因此AG∶GE=BG：GP=PE∶AB=3∶1.

即“空間四面體的重心分頂點(diǎn)與對(duì)面三角形的重心的連線之比為3∶1（從頂點(diǎn)到對(duì)面三角形的重心）.”

熱點(diǎn)考向5：考查平面圖形折成立體圖形

“平面折疊型”問(wèn)題是近幾年高考考查立體幾何的熱點(diǎn)，即將平面圖形通過(guò)折疊變成立體圖形，讓靜止問(wèn)題動(dòng)態(tài)化，使得對(duì)立體幾何的考查顯得更加豐富多彩.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，要對(duì)折疊前后兩個(gè)圖形進(jìn)行觀察，弄清折疊前后，哪些位置關(guān)系與度量關(guān)系沒(méi)有變化，哪些位置關(guān)系與度量關(guān)系有變化.復(fù)習(xí)中要注重從多角度、多層次、多側(cè)面思考與探究，溝通相關(guān)知識(shí)與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，訓(xùn)練發(fā)散思維，更好把握這類(lèi)問(wèn)題.

例5. 正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，將它沿平行于BC的線段PQ折起（其中P在AB邊上，Q在AC邊上），使平面APQ⊥平面BPQC.若折疊后，A、B兩點(diǎn)間的距離為d，求d的最小值.

思路：畫(huà)出折疊前后的平面圖形和空間圖形，觀察折疊前后位置關(guān)系與度量關(guān)系的變化情況.

解析：作AD⊥PQ于D，則D為PQ的中點(diǎn).因?yàn)槠矫鍭PQ⊥平面BPQC，所以AD⊥平面PBQC.連結(jié)BD，則d2=AD2+BD2.

設(shè)AD=x，DE=a-x（E為BC的中點(diǎn)），于是BD2=DE2+BE2=（a-x）2+a2，因此d2=x2+BD2=DE2+BE2=（a-x）2+a2=2（x-a）2+a2，

當(dāng)x=a時(shí)，dmin=a.

點(diǎn)評(píng)：本題將正三角形折成了一個(gè)直二面角，折疊后的△APQ、梯形BPQC與折疊前的不變，只是位置發(fā)生了改變（垂直）.A、B兩點(diǎn)間的距離發(fā)生了變化，且隨平行線PQ位置的變化而變化.因此要建立d關(guān)于x的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求d的最小值.

牛刀小試5：平行四邊形 ABCD中，AB⊥BD，4AB2+2BD2=1，沿BD將四邊形折成直二面角，求三棱錐A-BCD外接球的體積.

提示：如圖，因?yàn)锳B⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，所以AB⊥BC，CD⊥AD.取AC的中點(diǎn)O，則OA=OB=OC=OD.

于是外接球的球心是O，OA=AC，OA2=AC2.而AC2=AB2+BC2=2AB2+BD2=（4AB2+2BD2）=.

半徑是OA=AC=.于是外接球的體積v=·OA2=.

以上介紹的五大熱點(diǎn)題型，很好地體現(xiàn)了立幾中的核心知識(shí)和重要思想方法（轉(zhuǎn)化、化歸、類(lèi)比、構(gòu)造、折疊、建系等）.需要注意的是， 由于新課標(biāo)教材體系、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容的變化和高考能力立意思想的加強(qiáng)，立體幾何問(wèn)題的題型、內(nèi)容、背景、設(shè)置方式以及解題方法都有較大的變化，與相關(guān)知識(shí)交匯的力度也在不斷加大，而且選擇題或填空題的位置逐漸后移，并常常作為選擇題或填空題的壓軸題、以創(chuàng)新題的面貌出現(xiàn)在試卷之中.因此， 我們?cè)谇袑?shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的基礎(chǔ)上， 還要重視動(dòng)手操作能力的訓(xùn)練和對(duì)新題型的探究， 在高考中以不變應(yīng)萬(wàn)變.