2013年高考廣東理科數學模擬

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項符合題目要求.

1. 拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-1，則此拋物線的方程是（ ）

A. y2=4x B. y2=-4x C. y=4x2 D. y=-4x2

2.下列函數中，圖像關于y軸對稱且在區間（0，+∞）上是單調增函數的是（ ）

A. y=cosx B. y=|x|+

C. y=2x-2-x D. y=ln|x|，x≠0

0. x=0

3. 由數字0，1，2，3，4可以組成（ ）個無重復數字的三位偶數

A. 24 B. 28 C. 30 D. 36

4. 由函數y= sin2x的圖像得到函數y = cos （2x-）的圖像，需要將y=sin2x的圖像（ ）個單位

A. 向左平移 B. 向左平移

C. 向右平移 D. 向右平移

5. 設三條不同的直線a、b、c，兩個不同的平面α，β，b?α，c?α.則下列命題不成立的是（ ）

A. 若α∥ β，c⊥α，則c⊥β

B. “若b⊥α，則α⊥β ”的逆命題

C. 若α是c在α的射影，b⊥α則 c⊥b

D. “若b∥ c，則c∥ α ”的逆否命題

6. 如右圖，底面直徑為20的圓柱被與底面成60°二面角的平面所截，截面是一個橢圓， 則此橢圓的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

7. 某工廠生產的A種產品進入某商場銷售，商場為吸引廠家第一年A免收管理費，因此第一年A種產品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件. 從第二年開始，商場對A種產品征收銷售額的x%的管理費（即銷售100元要征收x元），于是該產品定價每件比第一年增加了元，預計年銷售量減少x萬件，要使第二年商場在A種產品經營中收取的管理費不少于14萬元，則x的最大值是（ ）

A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10

8. 將正整數排成下表：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

……

則數表中的數2013出現在（ ）

A. 第45行第77列B.第45行第76列

C. 第45行第75列 D. 第45行第74列

非選擇題部分（共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

必做題：

9. 函數f（x）= 的定義域為 .

10. 直線l過點A（1，0），且傾斜角是直線y=x的傾斜角的2倍，則直線l的方程是 .

11. 已知i為虛數單位，且a，b分別是復數的實部和虛部，則dx的值是 .

12. 程序（上頁）運行后輸出的結果為 .

13. 若=（m，n），=（p，q），定義=mp-nq+1，當=（2，-1），=（x，y），且實數x，y滿足條件x-y+1≥0，

x+y≥2，

x≤1，則-1的最大值為_____.

選做題：

14. （坐標系與參數方程選做題）在極坐標系（ρ， θ ）（ρ>0，0≤θ <2π）中，曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的公共點的極坐標為_____________.

15. （幾何證明選做題） 如圖，已知PA是圓O（O為圓心）的切線，切點為A，PO交圓O于B、C兩點，AC=，∠PAB=30°，則圓O的面積為

.

三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16. （本題滿分12分）已知函數f（x）=2cos2-sinx.

（Ⅰ）（滿分6分）求函數f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）（滿分6分）若α是第二象限的角，且f（α-）=，求的值.

17. （本題滿分12分）設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數列.

（Ⅰ） （滿分8分）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ） （滿分4分）求滿足Sn>2013的最小的正整數n.

18. （本題滿分14分）某批發市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進行統計，最近50天的統計結果如下：

（Ⅰ）（滿分4分）填充下表；

（Ⅱ）（滿分10分）若以下表頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立.

①（滿分3分）5天中該種商品恰好有2天的銷售量為1.5噸的概率；

②（滿分7分）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，ξ表示該種商品兩天銷售利潤的和（單位：千元），求ξ的分布列及數學期望Eξ.

19. （本題滿分14分）如圖，圓O的直徑AB=5，P、C是圓O上且分別在直徑AB兩側的兩點，AP=3.現將半圓PAB所在半平面沿直線AB折成一空間圖形，使AP⊥BC.

（Ⅰ）（滿分3分）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（Ⅱ）（滿分3分）在半圓CAB上是否在存異于A、B、C的一點M，使AM//平面PBC？證明你的結論；

（Ⅲ）（滿分8分） 當三棱錐P-ABC的體積最大時，求二面角P-AB-C的正弦值.

20. （本題滿分14分）如下圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為e，以橢圓C的左頂點A1為圓心作圓A1：（x+2）2+y2=r2（r>0），設圓A1與橢圓C交于點M、N.

（Ⅰ） （滿分7分）當e=時，求橢圓C的方程及·最小值；

（Ⅱ） （滿分7分）設點P是橢圓C上異于點M、N的任意一點，且直線PM、PN分別與x軸分別交于點R、S，O為坐標原點，求證：│OR│·│OS│為定值.

21. （本題滿分14分）已知二次函數f（x）=ax2+bx+c和“偽二次函數” g（x）=ax2+bx+clnx（a，b，c∈R，abc≠0）f ′（x）是f（x）的導函數.

（Ⅰ）證明：f（x）不是偶函數；

（Ⅱ）在二次函數f（x）=ax2+bx+c圖像上任取不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）.

①求證：f（x2）-f（x1）=f ′（）（x2-x1）；

②對于“偽二次函數”g（x），是否具有與①同樣的性質？證明你的結論.

2013年高考廣東理科數學模擬試題參考答案

一、選擇題：

1. 拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-1，所以其焦點坐標為（1，0），即焦準距p=2，拋物線開口向右，于是該拋物線的標準方程為y2=4x，故選A.

2. 排除法，先排除C，因為函數y=2x-2-x是奇函數.再排除A， 因為函數y=cosx的單調增區間為[2kπ-π，2kπ+π]（k∈Z）.最后排除B，因為函數y=cosx的單調增區間為[-1，0]和[1，+∞），故選D.

3. 分類討論思想，第一類：0排個位，有A2

4=4×3=12個.第二類：0不排個位，個位由2、4兩個數字中選一個排，百位由除0外的3個數字中選一個排，十位將由剩下的3個數字中選一個排，共有A1

2A1

3A1

3=18個.由分類計數原理共有12+18=30個滿足條件的數，故選C .

4. 由誘導公式y=cos（2x-）=sin（+2x-）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，所以函數y=cos（2x-）的圖像由函數y=sin2x的圖像向左平移個單位得到，故選B .

5. 由法向量的定義知 A.是真命題，當b=α∩β時b?β，所以“若b⊥β，則α⊥β”的逆命題是假命題，故選B.

6. 依題意橢圓的短軸2b=20即b=10，橢圓的長軸2a==40即a=20，所以c===10，所以橢圓的離心率e===，故選B.

7. 依題意第2年A產品的定價為每件70+=元，而實際銷售量為11.8-x萬件，依題意·（11.8-x）·x%≥14，化簡得5x2-60x+100≤0，解得2≤x≤10，即x的最大值是10，故選D.

8. 歸納推理，觀察可知第n行共有2n-1項，且最后一項是n2，由于四個選項都是第45行，且442=1936，而2013-1936=77.應出現第45行第77列，故選A.

二、填空題：

9.[2，10）∪（10，+∞）； 10.x+y-=0 ； 11.；12.2013；13. 4； 14.（，）；15.π.

9. 由x-2≥0且lgx-1≠0解得x≥2且x≠10，所以填[2，10）∪（10，+∞）.

10. 直線y=x的傾斜角為60°，所以直線l的傾斜角為120°，直線l的斜率為k=tan120°=-，又直線l經過點A（1，0），所以直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-=0，故填x+y-=0.

11. 因為===i，依題意a=0，b=1，所以dx=dx，由定積分的定義知dx=dx即為以原點為圓心，1為半徑的圓在第一象限區域的面積，即單位圓面積的，即為，故填.

12. 因為x=5>0，依題意y應該由y+4賦值，即y=-2008，S由x-y賦值，即S=5-（-2008）=2013，故填2013.

13. 因為[]=mp-nq+1，又=（2，-1），[]=（x，y），所以[]-1=2x-（-y）+1-1=2x+y，問題轉化為求目標函數2x+y在約束條件x-y+1≥0，

x+y≥2，

x≤1，確定的可行域內的最大值，結合圖形由線性規劃方法知（2x+y）max=4，故填4.

14. 曲線ρ=2sinθ表示以A（1，）為圓心，1為半徑的圓， ρcosθ=-1表示過點B（1，π）垂直于極軸的直線，設兩者的公共點為點C，則△ABC為等腰直角三角形，結合圖形所求交點的極坐標為（，）.

15. 由切線的性質定理知，OA垂直于切線PA，又，∠PAB=30°，AC=，所以OA===1，圓O的面積為π·OA2=π.

三、解答題：

16. 解析：（Ⅰ）f （x）=cosx+1-sinx=2（cosx-sinx）+1=2cos（x+）+1.

∴ f（x）的最小正周期T=2π.

又當x+=2kπ，即x=2kπ-（k∈Z）時，f（x）有最大值3；

當x+=2kπ+π，即x=2kπ+（k∈Z）時，f（x）有最小值-1，

∴ f（x）的值域為[-1，3].

（Ⅱ）由f（α-）=得2cosα+1=，于是cosα=-.

又∵α是第二象限的角，

∴ sinα = = ， tanα ==-2.

∴==.

17. 解析：（Ⅰ）由已知得：a1+a2+a3=7，

=3a2，解得a2=2.設數列{an}的公比為q，由a2=2，可得a1=，a3=2q.

又S3=7，可知+2+2q=7，即2q2-5q+2=0，解得q1=2，q2=.

由題意得q>1，∴q=2，∴a1=1，故數列{an}的通項為an=2n-1.

（Ⅱ）由于Sn==2n-1，所以Sn>2013，即2n-1>2013， 即2n>2014.因為210=1024<2014， 而211=2048>2014，所以所求的最小正整數n為11.

18. 解析：（Ⅰ）依題意求得a=0.5，b=0.3.

（Ⅱ）①依題意，隨機選取一天，銷售量為1.5噸的概率P=0.5.

設5天中該種商品有X天的銷售量為1.5噸，則X～B（5，0.5）

P（X=2）=C2

5×0.52×（1-0.5）3=0.3125.

②ξ的可能取值為4，5，6，7，8，則P（ξ=4）=0.22=0.04，P（ξ=5）=2×0.2×0.5=0.2，P（ξ=6）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（ξ=7）=2×0.3×0.5=0.3，P（ξ=8）=0.32=0.09，ξ的分布列：

所以ξ的數學期望為：Eξ=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2.

19. 解析：

（Ⅰ）AB是☉O的直徑，∴ BC⊥AC.

又∵BC⊥AP，AC∩AP=A，∴ BC⊥平面PAC.

又∵BC?平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.

（Ⅱ）假設在半圓ABC上存在異于A、B、C的一點M，使AM∥平面PBC.由于AM?平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，所以線面平行的性質定理可知AM∥BC，于是∠MAB+∠CBA=180°.但∠MAB與∠CBA均為銳角，于是∠MAB+∠CBA<180°，這與∠MAB+∠CBA=180°矛盾，所以符合條件的點M不存在.

（Ⅲ）由∠APB=90°，AP=3，AB=5，得PB=4.

∵ AP⊥PB，AP⊥BC，PB∩BC=B，∴ AP⊥平面PBC.

∴ V三棱錐P-ABC=S△PBC·AP=·PC·BC·AP=PC·BC≤（PC2+BC2）=PB2=4（當且僅當PC=BC=2時，取“=”）.

此時AC==.

過點P在平面PAC內作PQ⊥AC，由平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC可得PQ⊥平面ABC，于是AB⊥PQ.

過點Q在平面ABC作QS⊥AB，垂足為S，連結PS，于是AB⊥平面PQS，又PS?平面PQS，所以PS⊥AB，故∠PSQ就是二面角P-AB-C平面角.

在Rt△APB中，由PS·AB=AP·AB得PS===，同理得PQ===.

∴ sin∠PSQ==×=.

20. 解析：（Ⅰ）圓A1的圓心A1的坐標為（-2，0），于是由題意知a=2.

設橢圓C的半焦距為c，則由e==及a=2得c=，于是b2=a2-c2=4-3=1，所以此時橢圓C的方程為+y2=1.

設M的坐標為（x1，y1），由圓及橢圓的對稱性知N的坐標為（x1，-y1）且+y2

1=1.

∴·=（x1+2，y1）·（x1+2，-y1）=（x1+2）2-y2

1=（x1+2）2-（1-）=x2

1+4x1+3=（x1+）2-

.

又∵-2

（Ⅱ）由a=2及e=得c=2e，于是b2=a2-c2=4（1-e2），所以橢圓C的方程為+=1，即（1-e2）x2+y2=4（1-e2）.

設點P（m，n）是橢圓C上異于M、N于的任意一點，于是有（1-e2）x2

1+y2

1=4（1-e2）且（1-e2）m2+n2=4（1-e2）.

又直線MP的方程為y-n=（x-m），令y=0得x=m-=，于是點R的坐標為（，0），同理可得點S的坐標為（，0）.

∴│OR│·│OS│=│·│

=││

=││

=││

=││

=││=4，

∴│OR│·│OS│為定值.

21. 解析：（Ⅰ）（解法一），∵ f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c.

∴ f（1）-f（-1）=2b≠0，即f（1）≠f（-1）.

∴ f（x） 不是偶函數.

（解法二）二次函數f（x）的圖像的對稱軸為x=-，若f（x）為偶函數，則其對稱軸為y軸，即-=0，于是b=0，這與b≠0矛盾，故f（x）不可能為偶函數.

（Ⅱ）① ∵A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函數f（x）圖像上的任意兩個不同點，于是f（x2）-f（x1）=（ax2

2+bx2+c）-（ax2

1+

bx1+c）=a（x2+x1）（x2-x1）+b（x2-x1）=[a（x2+x1）+b]（x2-x1），又f ′（x）=2ax+b，∴ f ′（）=a（x2+x1）+b，∴ f（x2）-f（x1）=

f′（）（x2-x1）.

②“偽二次函數”g（x）不存在與二次函數f（x）一樣的性質①.現在用反證法證明如下：易知g′（x）=2ax+b+.

設“偽二次函數”g（x）存在與二次函數f（x）一樣的性質①.即對于g（x）圖像上任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（不妨設0

2+bx2+clnx2）-（ax2

1+bx1+clnx1）=[a（x2+x1）+b+]（x2-x1），化簡得lnx2-lnx1=，即ln=.令t=>1，于是有lnt=，即lnt=2-，令h（x）=lnx+-2，x∈[1，+∞），h（1）=0，h′（x）=-=，∴當x>1時，h′（x）>0，即h（x）在（1，+∞）上是增函數.當t>1時，h（t）>0，即lnt>2-，這與等式lnt=2-矛盾，故g（x）不具有與f（x）一樣的性質①.