放棄，為了更好地得到

摘 要：高效課堂不僅關(guān)注學(xué)生知識(shí)與技能的獲得，而且關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與方法、情感、態(tài)度和價(jià)值觀。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)學(xué)廣角”、“數(shù)學(xué)思考”有一定的學(xué)習(xí)難度，其一是學(xué)生很難找到解決問題的方法；其二是習(xí)慣于應(yīng)用例題里的規(guī)律，形成思維定勢(shì)。提倡適時(shí)地放棄，以退為進(jìn)，這樣的策略能讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，真正實(shí)現(xiàn)高效課堂。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；發(fā)現(xiàn)規(guī)律；以退為進(jìn)；思想方法

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2013）09-0063-03

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材安排了“數(shù)學(xué)廣角”、“數(shù)學(xué)思考”的內(nèi)容，滲透了排列、組合、集合、化歸、等量代換、邏輯推理、抽屜原理等數(shù)學(xué)思想方法。這些內(nèi)容教學(xué)有一定難度，其一是學(xué)生很難找到解決問題的方法；其二是習(xí)慣于應(yīng)用例題里的規(guī)律，出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象。反思我們的教學(xué)，學(xué)以致用，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律與隨后的練習(xí)一一對(duì)應(yīng)，似乎已約定俗成，成了學(xué)生的思維定勢(shì)。如何破除這種思維定勢(shì)，適時(shí)地放棄，以退為進(jìn)，這樣的策略能讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，提高課堂教學(xué)效率。下面就以六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)思考——找規(guī)律”例4的教學(xué)為例，談?wù)勎业囊恍┙虒W(xué)體會(huì)。

一、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是放棄的基礎(chǔ)

例4是以平面上幾個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)，可以連多少條線段。這種以幾何形態(tài)呈現(xiàn)的問題，便于學(xué)生動(dòng)手操作，通過畫圖，由簡(jiǎn)到繁，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。解決這類問題的常用策略是由最簡(jiǎn)單的情況入手，化繁為簡(jiǎn)，找出規(guī)律。這是基本的數(shù)學(xué)思想——化歸思想。例4的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，在解決問題的過程中體會(huì)“化難為易”的數(shù)學(xué)思想方法。

（一）構(gòu)建生活原型是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)思想方法來源于生活，是人們?cè)陂L(zhǎng)期勞動(dòng)生活中積累的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、解決實(shí)際問題的規(guī)律和方法，它有著豐富的生活原型。教師要善于創(chuàng)設(shè)生活原型的情境，為學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)做好鋪墊。

師：我先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)上來。我們是好朋友，握握手。一次握手就拉近了兩個(gè)朋友之間的距離，握手的感覺真好。這位同學(xué)也是我們的好朋友，原來是兩個(gè)好朋友，握手一次，現(xiàn)在又來了一個(gè)好朋友，兩個(gè)人之間握手一次，還要握幾次手？一共握手幾次？我們應(yīng)該怎樣握？如果再來一個(gè)朋友，會(huì)增加幾次握手？

師：我們這個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)，兩個(gè)人握手一次，一共要握手幾次？握手是我們經(jīng)常會(huì)遇到的生活問題，要解決這些問題，需要我們用到數(shù)學(xué)的思想和方法。今天這節(jié)課我們將一起學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)思考——找規(guī)律。

師：在握手活動(dòng)中，如果把每個(gè)人看做是一個(gè)點(diǎn)，那握手就是連接兩個(gè)點(diǎn)之間的線段。6個(gè)同學(xué)之間相互握手幾次，實(shí)際上變成6個(gè)點(diǎn)之間可以連成多少條線段。這樣我們就把剛才生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題了。研究6個(gè)點(diǎn)有點(diǎn)麻煩了，如果點(diǎn)數(shù)少一些的話，解決起來容易一些。幾個(gè)點(diǎn)最容易？（兩個(gè)點(diǎn)），為什么不是一個(gè)點(diǎn)？3個(gè)點(diǎn)能解決嗎？4個(gè)點(diǎn)呢？不難想象，隨著點(diǎn)數(shù)的增加線段數(shù)也會(huì)增加。我們就從最簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)開始，逐漸增加點(diǎn)數(shù)，看看點(diǎn)數(shù)與連成的線段數(shù)之間是否存在著規(guī)律。

通過創(chuàng)設(shè)情境，把生活中握手的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，這樣的引入來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。由于“6個(gè)點(diǎn)之間可以連成多少條線段” 這個(gè)問題比較復(fù)雜，學(xué)生很難理解，解決問題就更難了。教學(xué)中教師要善于從簡(jiǎn)單的地方入手，盡可能借助生活原型，從最簡(jiǎn)單的開始，逐步研究，探索其中蘊(yùn)含的規(guī)律。這個(gè)過程，就是在體驗(yàn)“化難為易”的數(shù)學(xué)思想。

（二）把握層次是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關(guān)鍵

隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)的知識(shí)也越來越復(fù)雜。一蹴而就發(fā)現(xiàn)規(guī)律是不現(xiàn)實(shí)的，教師要一步一步、分層次進(jìn)行引導(dǎo)，減緩學(xué)生學(xué)習(xí)的坡度。

師：為了研究的方便，我們可以借助表格（出示下面表格）。2個(gè)點(diǎn)可以連幾條線段？

師：3個(gè)點(diǎn)呢？

師：4個(gè)點(diǎn)時(shí)要比3個(gè)點(diǎn)增加幾條線段呢？請(qǐng)你猜一猜。說說你的想法。那4個(gè)點(diǎn)時(shí)一共有幾條線段，我們還要不要從2個(gè)點(diǎn)開始研究呢？為什么？

師：因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)研究了3個(gè)點(diǎn)的情況，所以我們就可以借助前面的研究成果來研究第4個(gè)點(diǎn)連成的線段數(shù)。

師：5個(gè)點(diǎn)時(shí)又會(huì)比4個(gè)點(diǎn)增加幾條線段？請(qǐng)你猜一猜。說說你的想法。

師：那接下來你能自己畫畫4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)、6個(gè)點(diǎn)的情況嗎？請(qǐng)大家在學(xué)習(xí)用紙上畫一畫，把表格填寫完整。在填寫的過程中有疑問可以和同桌或小組交流，也可以參照課本第91頁(yè)。完成后獨(dú)立思考以下問題，再和同桌進(jìn)行交流。

①?gòu)?個(gè)點(diǎn)開始連成一條線段，增加一個(gè)點(diǎn)，就增加_條線段；

再增加一個(gè)點(diǎn)，又增加了_條線段… …

②你有什么發(fā)現(xiàn)？

生嘗試獨(dú)立探究，師巡視、關(guān)注學(xué)生探究情況。

學(xué)生匯報(bào)交流、課間動(dòng)態(tài)演示。

完成表格后，觀察對(duì)比。

師：仔細(xì)觀察這張表格，看著這些信息你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生明確：2個(gè)點(diǎn)時(shí)連1條線段，增加到3個(gè)點(diǎn)時(shí)就增加了2條線段，到4個(gè)點(diǎn)時(shí)就會(huì)再增加3條線段，5個(gè)點(diǎn)就增加4條線段，6個(gè)點(diǎn)就增加5條線段。每次增加的線段數(shù)就是點(diǎn)數(shù)相差1。

師：同學(xué)們，我們知道了6個(gè)點(diǎn)可以連15條線段，現(xiàn)在你們有什么辦法知道8個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段嗎？

學(xué)生可能會(huì)想到7個(gè)點(diǎn)連線的情況，再去推理8個(gè)點(diǎn)的連線情況。

師追問：還有其他辦法嗎？如果當(dāng)點(diǎn)數(shù)再大一些時(shí)，我們這樣去推理是不是很麻煩呢？如果能找到什么規(guī)律來計(jì)算那該多好呀！

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察這些算式，有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：計(jì)算3個(gè)點(diǎn)的總線段數(shù)是1+2，計(jì)算4個(gè)點(diǎn)的總線段數(shù)是1+2+3，計(jì)算5個(gè)點(diǎn)的總線段數(shù)是1+2+3+4，它們都是從1開始依次加的。

生2：我覺得計(jì)算總線段數(shù)其實(shí)就是從1開始加。

生3：可以，比如3個(gè)點(diǎn)的總線段數(shù)，就是從1加到2；4個(gè)點(diǎn)的總線段數(shù)，就是從1開始依次加到3，5個(gè)點(diǎn)時(shí)，就是1一直加到4，這樣推理下去，就是從1開始一直加到點(diǎn)數(shù)減1的那個(gè)數(shù)。

師：那么你說的點(diǎn)數(shù)減1的那個(gè)數(shù)其實(shí)是什么數(shù)？（生：就是每次增加一個(gè)點(diǎn)時(shí)，增加的線段數(shù)。）

師：現(xiàn)在我們知道了總線段數(shù)其實(shí)就是從1依次連加到點(diǎn)數(shù)減1的那個(gè)數(shù)的自然數(shù)數(shù)列之和。因此，我們只要知道點(diǎn)數(shù)是幾，就從1開始，依次加到幾減1，所得的和就是總線段數(shù)。

師：下面我們運(yùn)用這條規(guī)律去計(jì)算一下6個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)時(shí)共連成的線段數(shù)，把算式寫下來。

師：如果點(diǎn)數(shù)再增加，你還能計(jì)算嗎？10個(gè)點(diǎn)？100個(gè)點(diǎn)？如果用字母n（n>2的自然數(shù)）表示點(diǎn)數(shù)，用算式怎么表示總線段數(shù)？

師生小結(jié)：我們把握手的問題轉(zhuǎn)化成平面上的“幾個(gè)點(diǎn)可以連成幾條線段”這樣的數(shù)學(xué)問題展開探究，找到了這一類問題的計(jì)算方法。在研究中，因?yàn)閿?shù)據(jù)比較復(fù)雜，所以先從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)入手尋找到了規(guī)律，我們把這種思考方法叫做化難為易。

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，經(jīng)歷了兩個(gè)層次。第一層次是發(fā)現(xiàn)增加一個(gè)點(diǎn)與增加線段條數(shù)之間的關(guān)系；第二層次是點(diǎn)數(shù)與線段總數(shù)的關(guān)系。第一層次是第二層次的基礎(chǔ)，學(xué)生有了對(duì)第一層次的深刻感悟，對(duì)第二層次的理解就會(huì)水到渠成。同時(shí)，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用的能力，對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步提高。在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)借助已有的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行進(jìn)一步的研究和探索，可以節(jié)省時(shí)間和精力。只有在這樣的經(jīng)歷中，學(xué)生才能積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的興趣培養(yǎng)、習(xí)慣養(yǎng)成、學(xué)習(xí)能力、思維能力與品質(zhì)等方面都有了發(fā)展，學(xué)生受到了積極的影響，達(dá)到教學(xué)效益的最優(yōu)化。這是高效課堂的一個(gè)重要體現(xiàn)。

二、放棄規(guī)律是為了更好地得到

發(fā)現(xiàn)規(guī)律只是經(jīng)歷的一個(gè)過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想才是教學(xué)的目的。要達(dá)到既見樹木又見森林的效果，需要暫時(shí)的放棄，有舍才有得。

（一）適時(shí)放棄，以退為進(jìn)

師：如果有一天我們忘記了這個(gè)規(guī)律，你會(huì)怎么辦？

師：只要我們能把復(fù)雜的問題從最簡(jiǎn)單的地方開始研究，就能逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。看樣子“化難為易”的數(shù)學(xué)思想方法非常重要，那你覺得我們記住什么就可以了？這個(gè)規(guī)律可不可以忘記？

應(yīng)用化難為易的數(shù)學(xué)思想方法，順利地解決了握手和幾個(gè)點(diǎn)之間連線的問題。可以說，解決這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來之不易。但與“化難為易”——化歸思想相比，“化難為易”具有解決問題的普遍性、一般性，有著更廣泛的適用范圍，屬于基本的數(shù)學(xué)思想，它的重要性不言而喻。為了讓學(xué)生更深入理解、應(yīng)用這一數(shù)學(xué)思想方法，顯然更需要學(xué)生跳出剛剛獲得的規(guī)律。放棄只是一種策略，以退為進(jìn)，是為了更好地獲得。

（二）舉三反一，多角度體驗(yàn)

師：同學(xué)們，有許多看似復(fù)雜的問題，我們都可以嘗試從簡(jiǎn)單問題去思考。下面我們就來看看書上的練習(xí)題，看看能不能運(yùn)用這樣的思想方法去解決它們。

1.畫一畫，找規(guī)律。

① ② ③ ④

（1）第6個(gè)圖形是什么圖形？請(qǐng)畫出來。

（2）第7個(gè)圖形需要多少根小棒？請(qǐng)列出算式。

師：第7個(gè)圖形需要多少根小棒，你是怎么列式的？三角形數(shù)與小棒數(shù)有什么規(guī)律？你是以什么圖形為標(biāo)準(zhǔn)開始研究的？ n個(gè)三角形呢？

2.填一填，找規(guī)律。

學(xué)生正是因?yàn)榉艞壛饲懊娴玫降囊?guī)律，沒有思維定勢(shì)的束縛，因此能從零開始，探索新的規(guī)律。這個(gè)練習(xí)的環(huán)節(jié)很重要，學(xué)生能從不同的角度多次體驗(yàn)“化難為易”。授人以魚，不如授人以漁。通過不同類型的問題舉三反一，逐次呈現(xiàn)，雖然每一題的規(guī)律各不相同，但是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程卻是一樣的。這樣讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)了數(shù)學(xué)的基本思想。在反復(fù)體驗(yàn)中，提升了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解的深度和廣度。在一節(jié)課里，課堂容量很大，學(xué)生的受益非常大，達(dá)到效率的最大化。這也是高效課堂的一個(gè)重要體現(xiàn)。

課標(biāo)2011年版對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)不僅僅在知識(shí)和能力層面，更多的是立足于人的發(fā)展。時(shí)代賦予教師的責(zé)任是善于給學(xué)生營(yíng)造數(shù)學(xué)思想方法所賴以產(chǎn)生的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，逐步豐富認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。必要時(shí)學(xué)會(huì)放棄，學(xué)生才能從不同的角度去體驗(yàn)，才會(huì)感受到基本數(shù)學(xué)思想方法的概括性和普遍性，學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效率才會(huì)有更大的提高。只有實(shí)現(xiàn)了少教多學(xué)，這樣的教學(xué)才能稱之為有效教學(xué)，才能達(dá)到課堂教學(xué)效率的最大化和效益的最優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)高效課堂。