一個最值問題的多角度探究與推廣

題目：直線l經過點P（2，1），且分別交x軸、y軸的正半軸于AB點，O為坐標原點，試求△AOB面積最小時直線l的方程.

在很多輔導書中都可看到與上例類似的題目.為此本文將在探究其多種處理方法的基礎上，予以一般意義上的推廣.

一、提出問題

問題1：最值型問題的一種常見處理方法是引進自變量構建函數，借助于函數最值的探求來使得問題獲解.若將直線l的斜率k作為自變量，那么能建立起函數解析式，并使得問題得到解決嗎？

問題2：由于目標量——△AOB的面積易用截距表示，因此，若將直線方程設為截距式，則問題轉化為二元函數在限定條件下的最值問題.按照此思路是否會簡單些呢？

問題3：考察P（2，1）在線段AB上的位置特點，你有何發現？能據此得到此題的一種純幾何解法嗎？

問題4：你能將此問題及其結論推向一般化嗎？

于是可知，當P為AB的中點時，△AOB的面積取得最小值.據此可以求得，當直線方程為x+2y-4=0時，面積取得最小值4.

推廣結論1：設P為第一象限內一點，經過P的直線在第一象限被坐標軸所截得的三角形面積最小，當且僅當P為所截線段中點.

推廣結論2：設P為∠AOB內一點，經過P的直線在內被角的兩邊所截得的三角形面積最小，當且僅當P為所截線段的中點.