用數學思想方法解高考三角函數題

摘 要： 三角函數是基本的初等函數之一，它涉及的公式多、變化多，是初等數學的重點內容.本文通過分析歷年高考數學題中出現的三角函數題，闡述如何運用數形結合、函數與方程、等價轉換、分類與整合等基本的教學思想方法解高考函數題.

關鍵詞： 三角函數 高考題 數學思想方法

縱觀近幾年的高考數學試題不難發現，三角函數問題在每年高考中都分別有一道考查三角函數基礎知識的選擇題、填空題和解答題，分值約占總分的15%，一般是結合實際，利用三角變換考查三角函數性質.雖然三角函數涉及的公式多、變換多，但不可否認的是，在高考中三角函數問題相對簡單，較容易得分.

《義務教育數學新課程標準（2011）》（以下簡稱《新課標》）明確提出在數學教學中不僅要讓學生記住一些數學的基礎知識、掌握一些數學的基本技能，而且要讓學生感悟數學的思想，積累數學的經驗和實踐經驗，培養學生的數學素養.下面我將結合高考數學三角函數的主要題型，論述數形結合思想、函數與方程思想、等價轉換思想和分類與整合思想在解高考三角函數問題中的運用.

一、數形結合思想

所謂數形結合思想，就是通過數與形的轉化，對不易解決的數學問題借助圖形來解決.華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事非。”對數形結合解題技能進行了精辟論述.通過對三角函數整體章節內容及普通高中新課程標準（實驗）的分析發現，三角函數實際上是平面圖形知識和函數知識的有效結合.因此，學生在解決高考三角函數問題時，首先要樹立數形結合思想，將三角函數看成是平面圖形和代數的結合體，利用“數”的精確性和“形”的直觀性，進行三角函數問題的有效解答.

在高考中，選擇題和填空題的特點（即只需寫出結果而無需寫出過程），為考查數形結合的數學思想提供了方便，能突出考查學生將復雜的數量關系轉化為直觀的平面圖形的問題解決意識.而高考解答題要求寫出解答過程，需要嚴謹的推理論證，對數量關系問題的研究以代數為主，因此在高考解答題中對數形結合思想的考查以“形”到“數”為主.

例1：（2012浙江理科4）把函數y=cos2x+1的圖像上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度，得到的圖像是（ ）

評定：本題是三角函數的圖像變換問題，首先需要回顧一下三角函數圖像變換的規律：（1）平移變換：①沿x軸平移，按“左加右減”法則；②沿軸平移，遵循“上加下減”法則.（2）伸縮變化：①沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長（0<ω<1）或縮短（ω>1）為原來的■倍（縱坐標y不變）；②沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長（A>1）或縮短（0

二、函數與方程思想

函數的思想是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質分析問題、轉化問題，從而使問題得以解決；方程思想是分析數學問題中的變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或者構造方程，通過解方程和方程組，或者運用方程的性質分析問題、轉化問題，使題得以解決.在高考試卷中，三角函數中的最值問題有時候可轉化為函數問題解決.

三、等價轉換思想

通過某種變化和手段，變換問題的角度，使較難的三角問題變得容易解決；在解決數學問題時，要采用等價轉換思想，將復雜問題轉化為簡單問題，將難解問題轉化為容易求解的問題，將未解決問題轉化為已解決問題.三角函數涉及的公式多、變化多，運用等價轉換思想可以把復雜的含三角函數的式子轉化為簡單的式子.

點評：等價轉換思想是最重要的數學思想之一，本題就是利用等價轉換思想，結合正切函數的兩角和公式，將未解決問題（tan（α+β）的值）轉換為已解決問題（tanα+tanβ，tanα·β的值）.

四、分類與整合思想

解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法、統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題后，還必須進行綜合歸納，因為我們研究的畢竟是這個問題的整體，這就是分類與整合的思想.有分有合，先分后合，不僅是用分類與整合的思想解決問題的主要過程，而且是這種思想方法的本質屬性.近幾年，高考題對分類與整合的思想考查主要有：（1）有沒有分類意識，遇到該分類的問題，是否想到分類；（2）如何分類，分類的標準是否統一，分類有沒有不重不漏；（3）分類之后如何解題，各類的討論有沒有越級；（4）分類討論后，有沒有整合，以及如何整合.

近年來高考數學對數學思想方法的要求越來越高，這對高中數學三角函數的教學提出了新的要求.為使學生靈活運用數學思想方法解高考三角函數問題，教師應該在教學中注意以下幾點：（1）利用三角函數是平面圖形與函數的有效結合體，培養學生的數形結合思想；（2）利用三角函數是特殊的函數，培養學生用函數與方程的思想；（3）利用三角函數公式多、變換多的特性，培養學生等價轉換的思想；（4）利用三角函數的豐富性，培養學生分類與整合的思想.對于一些復雜的三角函數問題，有時需要綜合運用多種數學思想方法才能解決.數學思想方法是解決一切數學問題的通法，數學教育的價值體現于數學的基本思想，數學文化的核心體現于數學的基本思想，學生一旦熟練地掌握了各種數學思想方法，就能以更廣的視角審視、理解和解答數學問題.

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