讓數學史滲透到函數概念教學中

我們讀書不只為了讀書，而是通過讀書和學習提高自己的研究能力，但是書本上的知識常常是“倒著”寫出來的，已看不到數學成長、發(fā)展的生動一面，而只看到數學的濃縮形式，這就妨礙了我們對這些數學理論的深刻理解，于是定理和概念就不能不“倒著讀”。所謂“倒著讀”，就是還原到原始的研究過程中讀。

通過學習定理和概念的原始形成過程（就是數學史）不僅可以引導學生經歷真正的數學思維過程，營造一種探索與研究的數學學習氣氛，而且激發(fā)學生對數學的興趣，培養(yǎng)探索精神，揭示數學在文化史和科學進步史上的地位與影響進而揭示其人文價值，都有重要意義。

把數學史完美有效地融入數學教學中，可拓寬數學文化背景，提供充足的感性教學材料和理性的分析思考及縝密的邏輯推理。數學史能否發(fā)揮優(yōu)勢，有效幫助教學，關鍵在于如何進行數學史與數學教學內容的有機整合。整合的形式可以靈活多變：①將數學史直接滲透融入各章節(jié)，使數學史與數學教學內容融會貫通，渾然一體；②將數學史放在每章專設的“數學思想方法”欄中，使數學史借助數學教學內容自成體系；③課外開設數學史專題講座；④開辟“數學史園地”的墻報；⑤課外活動中廣泛開展數學史競猜活動。例如，在函數概念的教學中，很多學生感到很抽象，難以理解，很少有學生能完整說出函數的定義。教材中函數概念引入方式為：實際例子（問題）→數學解答→從過程中提煉出函數概念。這種方式更注重函數概念引入的系統性，從兩個階段入手，多層面、多角度地向學生介紹了以“變量”為基礎的函數古典定義及以“集合”為基礎的現代函數定義，所呈現的函數概念結構較系統和完整，有利于學生對基礎知識和基本技能的熟練掌握，但學生對“對應關系”往往缺乏充分的理解，并且函數概念引入時間較晚，定義方式理論性較強，比較抽象，不利于學生深入理解函數思想的實質，以及自身辯證思維能力的發(fā)展。

函數概念是全部數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數概念的發(fā)展，眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的內容，從而推動整個數學的發(fā)展。但正是由于函數概念的抽象性與層次性，學生往往不習慣用集合、對應的觀點解釋函數關系，缺乏用函數思想分析問題和解決問題的能力。本文擬通過對函數概念的發(fā)展與比較研究，對函數概念的教學進行探索。

公元十六世紀之前，數學上占統治地位的是常量數學，其特點是用孤立、靜止的觀點研究事物。具體的函數在數學中比比皆是，但沒有一般的函數概念。十六世紀，隨著歐洲過渡到新的資本主義生產方式，迫切需要天文知識和力學原理。當時，自然科學研究的中心轉向對運動、對各種變化過程和變化著的量之間依賴關系的研究。數學研究也從常量數學轉向變量數學。數學的這個轉折主要是由法國數學家笛卡爾完成的，他在《幾何學》一文中首先引入變量思想，稱其為“未知和未定的量”，同時引入兩個變量之間的相依關系。這便是函數概念的萌芽。十七世紀，在對各種各樣運動的研究中，人們愈來愈感到需要有一個能準確表示各種量之間關系的數學概念。如伽利略是用文字語言表述這些函數關系的。“從靜止狀態(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經過的距離與所用時間的平方成正比”；“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比”；顯然，只需引進適當的符號，上述的函數關系就可以明確地用數學形式表述：s=kt■；t=kl……以這些具體的函數為原型，經過深思熟慮，人們從笛卡爾的變量思想中得到啟示，從而引出了函數概念。據考證，十七世紀中葉，微積分的創(chuàng)始人之一德國數學家萊布尼茲最先使用函數（function）這個名詞。不過，他指的是變數x的冪x■，x■，…。后來才逐步擴展到多項式函數、有理函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數，以及由它們的四則運算、各種復合所形成的初等函數。這些函數都是具體的，都有解析表達式，并且和曲線緊密聯系在一起。那時的函數就是表示任何一個隨著曲線的點的變動而變化的量。至此，還沒有函數的一般定義。十七世紀的一些數學家通過一般化獲得了如下函數概念：

“函數是這樣一個量，它是從一些其它的量通過一系列代數運算而得到的。”

上述定義顯然過于狹窄了，因為它事實上僅適用于代數函數的范圍。所以，在其后的發(fā)展中，函數概念得到了進一步擴展。隨著數學研究的深入，人們逐漸接觸到了一些超越函數，如對數函數、指數函數、三角函數等，盡管這些函數已經超出了代數函數的范圍，但是在一些數學家看來，兩者區(qū)別僅僅在于超越函數重復代數函數的那些運算無限多次，從而人們又通過一般化提出了如下函數概念：

“函數是指由一個變量與一些常量，通過任何方式（有限的或無限的）形成的解析表達式。”

這一由歐拉給出的定義盡管仍然過于狹窄，但在18世紀曾長期占統治地位。

后來數學家覺得不應該把函數概念局限在只能用公式表達上。只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式表示，就不作為判別函數的標準。十九世紀初，函數概念再次得到了擴展，函數的概念開始擺脫“解析表達式”，突破用式子表達的限制。另外，狄里克雷還提出了如下函數概念：

“如果對于給定區(qū)間上的每一個x值有唯一的一個y值同它對應，那么，y就是x的一個函數。”（類似于初中的函數概念）

這個定義抓住了函數概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個x值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個定義比前面的定義更具普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便，因此這個定義曾在較長期內被廣泛使用。

此時，可以通過學生的回顧，再現初中變量觀點描述函數的概念：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，相應地就確定了唯一的一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

例1：加油站為汽車加油，油價為每升7.19元，啟動加油機開關后表示加油量和金額的兩個窗口的數字不停地跳動直到加油量為12升時停止，問金額y元與加油量x升之間的關系式是什么？通過實例使學生進一步認識生活中充滿變量間的依賴關系，激發(fā)學生學習數學的興趣，提高發(fā)散思維能力。

最后，如果用任意的數學對象取代具體的數量，并采用集合論的語言，則可以獲得更為一般的“映射”概念：

如果在兩個集合的元素之間存在有確定的對應關系，就稱為是一個映射。（類似于高中的函數概念）

例2：炮彈發(fā)射后，經過60s落到地面擊中目標.炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時間t的變化規(guī)律是h=294t-4.9t■，（0≤t≤60，0≤h≤4410）.

炮彈發(fā)行時間t的變化范圍是數集A={t|0≤■≤60}

離地面的高度h的變化范圍是B={h|0≤h≤4410}

從問題的實際意義可知，對于數集A中的任意一個時間t，按照對應關系，在數集中都有唯一確定的高度h和它對應。

在學生充分分析和討論的基礎上，總結歸納以上實例的共同特點：變量之間的關系都可以描述成兩個集合間的一種對應關系：對于數集A中的任一個x，按照某個對應關系，在數集B中都有唯一確定的值與之對應。

進而引出高中函數的定義：設A，B是兩個非空數集，如果按某種對應法則f，則對于集合中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數，記為y=f（x），x∈A。其中輸入值x組成的集合A叫做函數y=f（x）的定義域，所有輸出值y的取值集合叫做函數y=f（x）的值域。

從生活實際出發(fā)進行教學是數學教學的基本要求，也是數學新課程大力提倡的，體現數學教學來源于生活又解決生活實際問題的原則。蘇聯著名的數學家A.R.辛欽說過：我想盡力做到在引進新概念、新理論時，學生先有準備，能盡可能地看到這些新概念、新理論的引進是很自然的，甚至是不可避免的。我認為只有利用這種方法，在學生方面才能非形式化地理解并掌握所學到的東西。這段話很精辟，但若將數學史滲透其中，讓學生感受數學概念的形成過程，則不僅能讓學生學到數學知識，更能提高學生的數學素養(yǎng)，進而激發(fā)學生的數學學習興趣。

參考文獻：

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