解析函數的概念探究及其教學特點分析

【摘要】文章論述了解析概念的產生，介紹了解析函數研究的背景及其發展過程；細致分析了函數解析的本質，總結了若干解析的等價條件；然后具體剖析了解析概念在課程教學中的重要性；接著指出了現行課程教學中存在的突出問題；最后，針對問題分析了解析函數內容教學的特點并給出了相應的教學建議.

【關鍵詞】復變函數；解析函數；概念探究；教學特點；教學建議

【中圖分類號】G642

引言

復變函數論是現行大學本科數學專業的核心課程，主要學習經典的解析函數理論.早在19世紀，有關解析函數的研究就已經形成了非常系統的理論.這一數學分支是19世紀最為獨特的創造，幾乎統治了整個19世紀，曾被認為是抽象科學中最和諧的理論之一.自其形成以來，一方面，它深刻地滲透到了代數學、解析數論、微分方程、概率統計、計算數學等數學分支；另一方面，它又被廣泛地應用于理論物理、彈性理論、流體力學、電學以及天體力學等方面.它和數學其他分支的聯系也日益密切.并且，對它的研究還發展出了一些新的數學分支.因而，在大學數學專業的課程學習中，解析函數的理論占有十分重要的地位.

一般而言，在本科階段該課程包含的主要內容有：解析函數及其性質、復函數的積分理論、解析函數的Taylor展式、解析函數的Laurent展式、留數理論、共形映射以及解析延拓等.這些內容都圍繞解析函數這個中心概念展開.要學好復變函數理論，弄清解析函數是一個關鍵.然而，在教學的過程當中，針對學生而言，對于解析函數概念的學習，尤其是對其本質的認識，仍然是一個薄弱的環節.所以，在教學的過程當中，有必要對解析函數的概念在深層次上作一定的剖析和探究，同時對其教學特點作一定的分析和總結.這樣一來，有利于教學活動的有效展開，起到事半功倍的作用.

文章首先論述了解析概念的產生，介紹了解析函數研究的背景及其發展過程；其次深刻分析了函數解析的本質，總結了若干解析的等價條件；然后具體剖析了解析概念在課程教學中的重要性；接著指出了現行課程教學中存在的突出問題；最后，針對問題分析了解析函數內容教學的特點并給出了相應的教學建議.

一、解析概念的產生

1.研究的歷史

復數以及復變函數的研究是與部分分式積分法，確定復數與復數的對數，保形映射，以及實系數多項式的分解等研究相聯系而被引入數學的.

三、解析概念教學的重要性

1.解析概念的地位

解析函數是復變函數論研究的中心對象，因而復變函數論常常又稱為解析函數論.解析函數是整個復變函數論最基本最重要的概念.

其重要性體現在：首先，通過解析函數的定義，將復變函數論的中心研究對象作了界定，使課程主題對象明確化.其次，由解析函數論研究的歷史，許多相關的數學和實際問題的研究其對應的對象都是解析函數，這在課程中有重要的體現.最后，在課程中，由不同時期關于復變函數的研究得到的結果是由解析這個概念系統組織在一起的.

2.解析概念的紐帶作用

現行大學復變函數論課程的內容因要求不同而有所區別.一般在本科階段該課程包含的主要內容有：解析函數及其性質、復函數的積分理論、解析函數的Taylor展式、解析函數的Laurent展式、留數理論、共形映射以及解析延拓等.如上所言，解析函數是該課程研究的中心對象，而解析又是該課程最基本最重要的概念.實際上，在課程教學中，解析概念還起著關鍵的紐帶作用.

除去復數與復變函數的基本概念外，課程其他部分的內容均圍繞解析函數而展開.在討論復積分時，由函數解析得到著名的柯西積分定理和柯西積分公式等結論；在復級數的討論中，得到冪級數的解析性和解析函數的級數性質；隨后對環狀區域內函數的解析與級數展開討論了條件與性質；在討論留數理論時，雖然是針對奇點（不解析點），但還是利用去心鄰域內函數的解析性；共形映射則從幾何的角度討論解析的性質與應用.所以，課程的各部分內容都是由解析概念聯系在一起的.

四、教學中的問題

1.背景知識教學的缺乏

目前，大學數學專業課程的教學中普遍存在概念背景知識教學的缺乏.通常直接給出概念以及公理、引理，接下來，大部分時間在做推理論證.這種教學和學習的方式使學生感到課程枯燥乏味，大大降低了學習效率.復變函數論課程的教學中當然也存在類似問題.

關于解析函數的概念，大多數教材都未給出相應的背景知識，教師教學時也不太重視這個問題.通常是給出定義后，僅將定義本身解釋一遍，而如此定義的原因、過程等等卻未給出相應的必要說明.如忽視了解析概念的研究的起源、解析函數研究的發展變化以及概念形成的背景等等.致使學生在學習中感到突兀和茫然，對概念沒有深刻的體會和把握，只能低效機械地學習.

2.概念本質的強化不夠

在通常的課程教學中，對解析概念的本質強化不夠.實際上，在學完了解析的概念（定義）后，學生對解析幾乎不可能有任何深層的體會.而在稍后幾部分重要內容即復函數的積分理論、解析函數的Taylor展式、解析函數的Laurent展式、留數理論、共形映射以及解析延拓等的學習中，教師和學生又會更加注重于數學邏輯的推導和技巧的鍛煉，往往忽視了在這些內容的教學和學習中去深化對“解析”的認識.

這樣一來，削弱了學生對解析概念的認識和體會，一定程度上使其降低了對各部分內容關聯度的認識，不能從更高的視野下來系統把握整個課程的內容.

五、教學的特點及建議

1.教學特點分析

由上述對解析概念的剖析探究以及復變函數論課程內容的特點，結合數學教育的內在規律，對于解析概念的教學，總結如下幾個特點：

（1）背景知識的教學，如研究的起源、發展、形成等對于解析概念的教學是必要的.恰當的背景知識的引入會使學生更為自然和輕松地接受概念，并且對知識的發展會有一定的歷史的把握.

（2）解析概念對應的實際意義，如映射的保形性、場的無源無旋性等內容的教學對加深學生在概念理解和接受上有很大的作用.它會在一定程度上將概念形象化，使學生易于接受.

（3）解析概念在整個復變函數論課程各部分內容的教學中具有紐帶作用，充分發揮并適時強化這一紐帶作用有利于學生對課程內容的全面把握.

（4）解析及其性質與實函數的對比在教學上有利于深化學生對解析概念的理解.函數的解析特性導致復函數在性質上與一元實函數有本質差異，在教學中特意比較這種差異有利于學生深刻領會解析的含義.

（5）解析的多種不同等價形式也有利于學生對概念的理解和掌握.熟悉并領會多種不同的等價形式不僅有助于理解概念，還有助于對整體內容的把握.

2.相應的教學建議

基于現行大學復變函數論課程的教學要求，根據上述解析函數概念的特征，結合教學過程中的典型問題以及解析概念教學的特點分析，對復變函數論課程中解析函數概念的教學給出如下建議：

（1）選取恰當的教材以及教學參考書，有目的和針對性地在教學過程中增強關于解析概念背景知識的教學.同時注重對解析給予恰當的實際解釋.一句話，就是要使解析這個概念在教學中不要太抽象.

（2）充分發揮解析概念在復變函數論課程中的紐帶作用.通過總結、展示各種不同形式的解析等價條件，強化學生對解析概念的理解.同時加強學生對整體內容的全面把握.

（3）在教學過程中，重視解析函數與一元實函數在性質上的比較.可引導學生通過比較二者的性質差異性，深化學生對解析內涵的認識.

【參考文獻】

[1]（美）M. Kline.古今數學思想（第三冊）[M].上海：上海科學技術出版社，2002.

[2]（德）C. Caratheodory.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3]鐘玉泉.復變函數論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]方企勤.復變函數教程[M].北京：北京大學出版社，2009.

[5]余家榮.復變函數（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6]李忠.復變函數[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[7]（美）G. Polya，G. Latta.復變函數[M]. 北京：高等教育出版社，1985.