數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究與實(shí)踐

一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，工作以后很可能由于長時(shí)間幾乎不接觸數(shù)學(xué)，而把數(shù)學(xué)都還給了老師了.但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)精神、思想和方法，卻一直發(fā)揮著作用.

——米山國藏《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》

一、問題的提出

數(shù)學(xué)思想方法是素質(zhì)教育的需要和新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.在素質(zhì)教育理念已成為廣大教育工作者共識(shí)的今天，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的關(guān)注，也從幕后逐步被推到臺(tái)前.

科學(xué)技術(shù)發(fā)展的數(shù)學(xué)化趨勢越來越依賴于數(shù)學(xué)思想、方法的更新.現(xiàn)代數(shù)學(xué)日趨定量化，只有運(yùn)用了數(shù)學(xué)思想方法才算成熟和取得突破性的進(jìn)展，數(shù)學(xué)學(xué)科本身的發(fā)展和創(chuàng)新也離不開數(shù)學(xué)思想方法的突破.正因?yàn)榈芽柊炎償?shù)思想引入數(shù)學(xué)確定了解析思想，才創(chuàng)立了解析幾何學(xué).因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)和研究，具有促進(jìn)科技發(fā)展的戰(zhàn)略意義.

自20世紀(jì)80年代初，徐利治教授在大學(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)“數(shù)學(xué)方法論”課程以來，數(shù)學(xué)思想方法的研究不斷深入，課程建設(shè)不斷發(fā)展，越來越多的教育工作者從不同側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行研究，但主要對(duì)理論方面談得較多，至于教學(xué)實(shí)踐方面，如“具體如何滲透、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法”等只是稍微提一提，沒有作深入研究.

二、數(shù)學(xué)思想方法的含義

我們認(rèn)為，所謂數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，例如：模型思想、極限思想、統(tǒng)計(jì)思想、最優(yōu)化思想、化歸思想、分類思想等.

對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的關(guān)系，張奠宙教授講，二者實(shí)際上沒什么區(qū)別，評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)成就的地位、價(jià)值時(shí)，稱數(shù)學(xué)思想；用數(shù)學(xué)成就解決某個(gè)問題時(shí)，稱數(shù)學(xué)方法.例如關(guān)于統(tǒng)計(jì)思想方法，我們知道，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的方法有兩大類——統(tǒng)計(jì)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，每一類又都有各自的方法.但它們都是在總的指導(dǎo)思想即統(tǒng)計(jì)思想——從局部（樣本）推斷整體（母體）思想下進(jìn)行的.這樣看來，要將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法完全區(qū)分開來是困難的，我認(rèn)為這種分開也是不必要的，于是把它們統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”.

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)中用到的各種解題方法，都是體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想的，所以我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想、函數(shù)與方程的思想、集合與對(duì)應(yīng)思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、整體與分類思想、數(shù)學(xué)模型思想、極限思想、概率與統(tǒng)計(jì)思想等.一般講，數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)正是在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，選擇和運(yùn)用相應(yīng)方法通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的.

四、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)價(jià)值

1.完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，即新的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)中線性方程組的有關(guān)知識(shí)時(shí)，如果教師能從方程組知識(shí)中進(jìn)行整理和提煉，用“轉(zhuǎn)化”“消元”等方法提煉出方程組系數(shù)之間的關(guān)系（見下圖），圖中有兩條路徑：一條是用聯(lián)立方程形式做同解變形，這就是高斯消去法，用虛線箭頭標(biāo)出；另一條是用方程組的增廣矩陣做行初等變換.兩條思路其實(shí)是用不同的工具表達(dá)同一個(gè)過程，最后都?xì)w結(jié)到方程組的最簡形式.從而優(yōu)化了的關(guān)于方程組新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這種知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生個(gè)體作用的結(jié)果，必將是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善.可見數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對(duì)優(yōu)化、發(fā)展、完善學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著十分重要的影響.

2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)遷移

遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的作用和影響，它是學(xué)習(xí)中的普遍現(xiàn)象，學(xué)習(xí)之間的這種影響有時(shí)是積極的，有時(shí)是消極的.凡一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起促進(jìn)作用的，是正遷移，凡一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起抑制作用的，則為負(fù)遷移，學(xué)習(xí)可以“由此及彼”“舉一反三”，正是正遷移的積極作用的影響.從數(shù)學(xué)教育的目的來說，應(yīng)該追求的是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)另一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正遷移.

3.促進(jìn)思維的發(fā)展

數(shù)學(xué)常被譽(yù)為思維訓(xùn)練的體操，這反映出數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練對(duì)改善思維品質(zhì)、提高思維能力、掌握思維方法的重要影響.數(shù)學(xué)思想方法作為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的基本的看法，是人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)過程中思維活動(dòng)的導(dǎo)航器，把握了它就等于找到了思維訓(xùn)練的突破口.如果說歷史上是數(shù)學(xué)思想方法誘發(fā)了數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造性思維的火花，推進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，那么在當(dāng)今的教學(xué)中，是數(shù)學(xué)思想方法在傳導(dǎo)著數(shù)學(xué)的精神，在塑造著人的靈魂，在對(duì)一代人的數(shù)學(xué)素質(zhì)（尤其是思維素質(zhì)）施加著深刻而持久的影響.例如，定積分最精要的思想是“近似”，最精要的手段是“取極限”，讓學(xué)生理解了這些思想，舉一反三，在理解了定積分的概念之后，就能夠很容易地理解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念.每一個(gè)數(shù)學(xué)定理、公式都有“缺陷”或局限性，我們老師應(yīng)特意講出這種“缺陷”及發(fā)展前景，以及懸而未決的問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合理猜想的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、探討問題的興趣及創(chuàng)新思維的能力.

4.發(fā)現(xiàn)解題途徑

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，問題的求解過程可以視為從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)，它通過一系列操作（主要是思維操作）來實(shí)現(xiàn)從一種狀態(tài)的變更，整個(gè)問題解決的過程便構(gòu)成為一個(gè)受目標(biāo)指引的認(rèn)知性操作序列.波利亞認(rèn)為，解題的過程就是不斷變更題目的過程，他說，如果不“變更問題”，我們幾乎不能有什么進(jìn)展，“變更問題”是“怎樣解題”的主旋律.

例如微積分中值定理應(yīng)用中尋求輔助函數(shù)的方法，是一種頗具有特色的構(gòu)造性方法，掌握了這種方法就可以訓(xùn)練學(xué)生的開拓性思維.而且，幾個(gè)微分中值定理的條件、結(jié)論以及各定理之間極微妙的關(guān)系均可用于激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想.通過這幾個(gè)問題引入可以找出處理問題的方法是否唯一，有無一題多解，改變一下問題的條件會(huì)怎樣，換個(gè)角度、變換下次序考慮結(jié)果又會(huì)怎樣，等等.作為數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)就是提出問題和解決問題，掌握了數(shù)學(xué)的思想方法也就提供了抽象的邏輯推理工具，思路開闊自由，善于從不同角度不同方向提出問題和尋找解決問題的途徑.

2.該案例中的數(shù)學(xué)思想方法

（1）極限的數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法

極限的思想方法也即無窮的思想方法是初等微積分的基本思想方法，在級(jí)數(shù)這一章的教學(xué)中體現(xiàn)得尤為明顯.所謂極限思想（方法）是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，把所考察的對(duì)象（例如級(jí)數(shù)）看作是某對(duì)象（無限個(gè)數(shù)相加）在無限變化過程中變化結(jié)果的思想（方法），它出發(fā)于對(duì)過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時(shí)的結(jié)果有關(guān)，因此它體現(xiàn)了“從有限中找到無限，從暫時(shí)中找到永久，并用使之確定起來”（恩格斯語）的一種運(yùn)動(dòng)辯證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程，也就是說，它不僅是一個(gè)不斷擴(kuò)展式的“潛無窮”過程，又是完成了的“實(shí)無窮”，因此是“潛無窮”與“實(shí)無窮”的對(duì)立統(tǒng)一體.例如級(jí)數(shù)概念的建立過程即若數(shù)列{un}，各項(xiàng)連加u1+u2+u3+…+un+…=∑∞[]n=1un稱為數(shù)值級(jí)數(shù)，簡稱級(jí)數(shù).

有限和是我們熟知的，但無限和對(duì)我們是陌生的.怎樣來計(jì)算無限和呢？無限和叫作

什么？因此，求很多個(gè)數(shù)的和是一個(gè)未知的新概念，它是有限和的推廣.

（2）另外，在解題的過程中各種數(shù)學(xué)思想方法是綜合運(yùn)用的，如將級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散轉(zhuǎn)化

為它的部分和數(shù)列的收斂與發(fā)散，將級(jí)數(shù)的各種性質(zhì)轉(zhuǎn)化為它的部分和數(shù)列的各種性質(zhì)來討論，也體現(xiàn)了變換與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的“核心”和“靈魂”，它并不是完全抽象的東西，而是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的實(shí)實(shí)在在的內(nèi)容，同時(shí)又是萬千實(shí)例的提煉和總結(jié)，具有本質(zhì)性、概括性和指導(dǎo)性.因此，教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時(shí)，應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用的意識(shí)，從而掌握數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)銳利的武器而受益終生.