淺議常微分方程在高等數學精品課程建設中的作用

【摘要】本文結合常微分方程教學在高等數學精品課程建設的教學理念問題，探索提高常微分方程理論及應用方面的教學，以期建立更為符合需求的教學方法.

【關鍵詞】常微分方程；高等數學；精品課程；教學方法

【中圖分類號】G642

【文獻標識碼】A

本課題為新疆維吾爾自治區高等數學精品課程建設（2011年）資助項目

為貫徹落實、切實推進教育創新，深化教學改革，促進先進信息技術在教學中的應用，共享優質教學資源，幫助教師站穩講臺、站好講臺，全面提高教育教學質量，造就專業創新人才，提升我國高等教育的綜合實力和國際競爭能力，教育部在全國高等學校中啟動高等學校教學質量與教學改革工程精品課程建設工作.近年，常微分方程在數學與應用數學、信息與計算科學各專業普遍開設，該課程也是偏微分方程的基礎，而偏微分方程的實際應用也極具廣泛性.無疑，常微分方程教學內容的建設在信息化高速發展的今天，越來越受到高等院校與社會相關應用領域的高度重視，從培養應用型專業人才的長遠需求出發，與之相應對該課程的教學改革和教學理論探索亦在不斷深入.完整的常微分方程部分知識點主要涵蓋一階、二階微分方程的求解，了解線性與非線性方程解的一些特征性質以及一些非線性現象；一階、二階微分方程解的基本理論，包括解的局部適定性、解的延拓等，系統介紹線性微分方程（組）的解的結構以及各種求解方法；初步介紹非線性系統的定性理論以及穩定性理論，還會介紹一些非線性現象.通過該內容的學習，使學生正確理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理論和主要方法，具有一定的分析問題和解決問題的能力，為學習本課程的近代內容與后繼課程打下基礎.通過該課程的學習，使學生了解常微分方程可應用于工程技術，現代科學與某些數學問題，從而有助于提升學生的數學應用能力.如何真正做到對常微分方程精品課程的建設值得我們數學教育工作者思考.

一、目前常微分方程教學的現狀認識

1.常微分方程教學的方法似乎是老生常談的旋律常微分方程內容是本科數學教學中，涉及數學與應用數學的專業基礎知識.相對而言，該部分涉及的公式與定理并不繁冗，如何充實課堂教學，如何處理教材，如何培養學生的創造性學習能力，都不容忽視.不少教師課堂上全力以赴僅僅追求教會學生理論公式的熟識熟記，課堂追求的效果是掌握一階、二階常微分方程的運算技巧，以為一切就OK了.然而，事與愿違，課堂教學使學習變得枯燥，似乎已領會的理論公式卻遠不夠學生去解決實際問題，紙上談兵都做不到，何談應用研究？

2.學習常微分方程必須要堅持應用能力培養

教學中，我們應當嘗試在每一個教學環節灌輸：為什么學？如何學？學什么？不從源頭搞清的課堂教學，不 懂思考，不懂研究，不懂方法，這樣下去，學生如何能得心應手地解決紛繁復雜的實際問題呢？學生知識閱歷、思維能力培養勢在必行！

3. 使用多媒體還不能一勞永逸，光演示實例還遠遠不夠

要看到，現代計算機、網絡等工具已很普遍，如何巧妙運用輔助工具，去繁取精，設法在課堂教學中把學生們從簡單重復煩瑣的計算機中解放出來，強化原理滲透，真正要學生從理論學習中，創造性地學習、探索應用學習至關重要；工具只是手段，教學中始終要貫穿的卻是思想，為學生在今后工作中的研究應用培育良好的習慣和基礎.

二、對常微分方程理論教學探索

1.克服思想上在教學環節的不嚴肅性

一般地，常微分方程部分，從內容上是關于方程求解、方程理論、方程應用及微分方程近代簡介.教學重點難點應當集中在方程求解及理論應用的教學，而常微分方程基本理論是該學科部分的精華所在.日常教學中，定理及證明部分不能因為不考就不教，蜻蜓點水絕對不夠，更不該因為難度大就不講.因為要應用常微分方程解決實際問題，定理的證明過程中往往滲透著對未知問題的處理方法及對學生創新學習能力的培訓.比如，唯一性定理和穩定性定理的證明中，就可提供從不同方面出發，利用逼近及連續思想，為求微分方程的數值解提供有效思維基礎及方法.

2.重視常微分知識在高等數學精品課程教材建設

我們堅信，一門優秀的高等數學課程教材總需要與嫻熟的教材駕馭者合二為一，才能使學生的學習更加具備知識的前瞻性及潛力.目前，不少教材對常微分方程幾乎都有闡述，而在學期教學中，出于學時等原因，不少教師對二階以上微分方程的求解及理論很少接觸.事實上，實際問題并非都是一階微分方程求解的，早一點啟蒙，就早一點發芽.所以從長遠目標看，為學生們將來走上相關科學研究多一些準備吧.精品課程教材應是不斷求新的系列化的教材，教師如果可能完全可以自行編寫相關教材，也可以選用內外優秀教材.最后建設與多種媒體有機結合的配套教材.

3.重視教學法，多渠道改善教學效果

教學法研究伴隨著教育的過程，注重使用先進的教學方法和手段，要合理運用現代信息技術等手段，革新教學方法、教學手段和教學管理.精品課程要善于結合網絡進行教學與管理，相關的教學大綱、教案、習題、實驗指導、參考文獻目錄等要上網并免費開放，鼓勵將網絡課件、授課錄像等網絡資源對學生完全開放.具體的教學研究很多，這里我們不一一談及，需要強調的是，教師在講解常微分內容時，要特別注意定理概念之中，結合背景介紹一些常見模型是必要的.比如，一階方程求解講授中，天氣預報、人口預測、生物種群、傳染病預測等實際問題是可以轉化為用常微分方程解決的典型范例.有條件的高等學校要發揮該課程的特點，充分利用計算機多媒體處理微分方程解的問題以及相關實際問題，提高學生學以致用的潛力.

4.提升常微分方程教學中的應用能力理念

在允許的條件下，教師可適當加大對常微分知識的應用能力培養目標，學校要為這一環節的教學提供必要的支持，開設綜合創新科研活動，具體做法是在本科生中開設專題設計、科普論文寫作.比如，近年來，不少高等院校已經開設了本科數學建模課程，通過參加全國、各省區每年定期舉辦的建模比賽，強化應用能力的集訓，而建模內容中不少就有運用到微分方程模型的專題，通過數學建模競賽這一途徑大大考驗和激發了大學生的求知欲，展示了當代大學生在高等學校期間對應用問題的解決能力，明確了學習目的，提升了大學生數學學習的進取心.一些高等學校還定期開展現代數學領域的研究，報告最新的微分方程方面的成果.讓本科生參與科研學術報告會，這無疑擴展了學生的學習視野和增強了求知欲，鞏固了書本知識，提升了大學生參與教學理論學習的積極性.

通過常微分方程知識的教學理念的不斷探索，將積極推動本科生教學中應用型、科研型、創新型人才培育的目標.我們希望未來的專業技術人才，在廣大教師的辛勤呵護下迅速成長，最終促進大學高等數學精品課程建設的長遠目標的實現.

【參考文獻】

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