利用開放型問題培養思維

一、問題解決與思維

如果我們不能預測明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武裝下一代去面對的新的挑戰，即教會他們如何解決問題的思維方法比傳授知識更為重要.

現代數學教育理論認為，數學教學是數學活動的教學，解題活動又是數學活動的主導部分，而解題活動的實質是思維活動，也就是發現問題、解決問題的全過程.因此，在數學教育中以問題解決為中心使學生掌握數學思想方法，鍛煉數學思維能力，對于促進他們適應新環境的能力發展至關重要.

只要教師在課堂教學中以問題為中心有意識地滲透和傳授思維方法，學生就可以獲得大量關于解題的一般的和特殊的思維方法，從而有效地提高其思維能力.

二、數學思維的含義

數學思維是人腦對數學對象的本質和規律的間接和概括的反映；數學思維形式是數學概念、數學判斷和數學推理；數學思維是復雜的心理活動，它是以數和形為思維對象，以數學的語言和符號為思維的載體，并以認識和發展數學規律為目的的思維.

發散思維是從給予的信息中，產生眾多的信息，或者說人們沿著不同的方向思考，重新組織眼前的信息和記憶系統中存儲的信息，產生大量、獨特的新思想.解題中的發散思維首先必須認識到問題中條件與目標的不同的知識背景，從而組織眼前信息與記憶系統中存儲的相關知識背景和方法，探索解題途徑的一種思維方法.這種思維在解題過程中，可能產生多種解題設想、結論或假說.具體地說就是在解題過程的多方面求索，而不局限于問題的一方面或一點上.

直覺思維，是人們在面臨新的問題、新的數學對象和現象時，能迅速理解并作出判斷的思維，這是一種頓悟性的思維，是邏輯思維的簡縮或凝結.通常把預感、猜想、假設、靈感都看作直覺思維.它是直接把握數學問題的整體，洞察問題的本質，跳躍式地突如其來地指出結論，而很難陳述思維的過程.直覺思維在解題中的作用，是從數和形的直覺感知中得出某種猜想，為進行邏輯運演提供一個更為明確的目標.

創造性思維是在已有的知識和基礎上，對問題找出新答案、新關系或創造新方法的思維，它是思維的高級形式.如果是解決自己未曾解決過的問題，即必須獨立地提出新的解法，發現新的關系，對數學學習材料有創見的組合等，它具有新穎、獨創的特點.這樣的問題解答一般是創造性思維的結果.通常而言，或用直覺思維提出假設和猜想，然后用邏輯思維進行檢驗和證明；或用發散思維提出解決問題的各種設想和方法，不斷從失敗中總結經驗和教訓，然后用收斂思維進行篩選，產生最佳方案或解法等.不管如何，使用其他的思維，總是圍繞利用假設，進行多方探索，從而促使頓悟的產生，這就是發現性解題中的主要思維類型.

三、開放型問題有利于培養思維

數學開放型問題由于具有與傳統封閉型問題不同的特點，即或題目的條件是不完備的，或解題的策略是多種多樣的，或結論是不確定的，因此往往可以使主體在解題的過程中形成積極探究和創造的心理態勢，多方探索解題途徑，再通過數學教師的適當引導，可以讓學生積極參與“做數學”的過程，從而有效地培養學生利用數學知識分析解決問題的思維能力.因此，運用開放型問題是調動學生積極參與思維活動的一種有效途徑，讓學生有足夠的機會沿著不同的方向思考，有利于培養學生的發散思維、直覺思維和創造性思維.對于教師而言，尋找和選擇適當的開放型問題也應看作工作的一個重要組成部分.有時一個好問題，往往是一堂課能否精彩的關鍵.

例1小華用4個飛鏢投擊飛鏢盤（如圖所示），得分分別是31，5，9，10，他的總分是多少？

這是一道很簡單的加法題，然而將問題的已知條件變動，會得出不同的問題與不同的解題思路和不同的答案.

（1）如果小華的總分是55分，他可能擊中飛鏢盤哪幾個數字？

（2）如果飛鏢盤的數字10去掉，小華仍用4個飛鏢投擊飛鏢盤，若所得分數總和仍舊是55，他擊中的又將是哪幾個數字？

對于上面的（1）題答案就不止一種，例如10，9，5，31或者25，10，10，10等，這其實就是一個不定方程問題.對于問題（2）學生經多方嘗試后會發現此問題無法解答，進一步認識到去掉數字10之后，所剩數字都是奇數，從而引發學生對奇數和偶數以及它們性質的討論.這樣，簡單加法問題最后歸結為關于奇偶數性質的討論.

事實上，實際課堂教學中的一般性題目，通過不斷變換題目條件和要求，而這樣“開放型”處理，同樣能引發學生進行發散性的思考，充分考慮到可能出現的各種情形，并將此種思維方式應用于以后的獨立解決問題中，從而對某些問題有獨到見解.

例2點陣計數問題：

1.在第四個位置有多少個標點？

2.找出用以發現第四個位置有多少個標點的不同方法；

3.在第六個位置上有多少個標點？

4.找出用以確定在第n個位置上有多少個標點的一般規則.

四個問題依次出現，目的是讓學生體會如何從特殊通向一般，這也是一種非常重要的思維原則.教學中應該讓學生掌握這種從特殊到一般的認識事物的方法.為簡單起見，這里我們只考慮第四個問題的解答.

中學數學課程的主要目的應當是發展符號意識（Symbol Sense），小學過渡到中學的特征是從具體對象轉到抽象符號.發展順暢使用符號和其他抽象名稱（可能是幾何的、代數的或算法的）的能力必須是中學數學的中心目的.引入適當的符號是解決數學問題一個很重要的基礎環節，符號的簡潔是提高思維效率的一個必要條件.為了解題方便，我們引入一個符號，用Sn表示第n個點陣的總點數.

數和形是密不可分的兩個方面，就像手心和手背的關系.很多問題都可以從“數”和“形”兩個角度進行考慮，從而得到不同的解答.

我們先從“數”的角度來考慮這個問題：

方法二：采用遞歸法.所謂遞歸，是指運用收集到的知識作為行動的基礎去獲得更多的知識.由于這里所涉及的往往是多個，甚至是無窮多個未知量，因此，所謂的遞歸事實上也就是指知識的“不斷擴張”：在解題的每一個階段，我們都把關于一個新的分量的知識加到已經得到的知識上去，在每一個階段，我們都要用已經得到的知識去得出更多的知識.我們要靠逐省逐省地占領去最后征服一個王國.在每個階段，我們利用已被征服了的省份作為行動基地去征服下一個省份.

方法三：采用類比法.類比推理是根據兩個不同的對象，在某些方面（如特征、屬性、關系等）的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的方法.如果把這種猜測的似真性當作肯定性，那將是愚蠢的.但是忽視這種似真的猜測將是同樣的愚蠢甚至更為愚蠢.

根據我們的直覺感知，我們拿“連續圖形”與“離散點陣”進行類比作出猜測，即“連續圖形面積”相當于“離散點陣總點數”.

當然還可以把“梯形點陣”補成“三角形點陣”來處理.請讀者自行解決.

一個問題，往往可以從不同角度去考察，從而得到不同的解決方案.一題多解對于培養學生發散思維或者思維的開闊性無疑具有積極作用，而且通過對多種解題途徑的比較更加深了學生對各種思想方法的認識.

四、小結

在解決開放型問題中，充分滲透數學思想方法，一方面容易激發學生的學習興趣，另一方面能更好培養學生的思維能力.就解題而言，知識是基礎，思維是靈魂，教師應該通過教學的合理設計把二者有機地結合起來.