對數學對象把握現狀的調查與研究

一、高中生把握數學對象的現狀

本次調查采用系統隨機抽樣的方法來選擇測試樣本，樣本來自南京市的一所二類高中，選取高二年級的6個普通教學班進行調查.

（一）調查問卷的編制

請寫出各小題的定義且盡可能多地寫出該定義的等價命題，并盡可能地畫出或寫出該問題的各種情況：

1.角.2.絕對值.3.橢圓.4.垂直.5.奇函數.6.單調增函數.7.數學歸納法.8.三角函數誘導公式.9.線面垂直的判定.10.向量的加法.

（二）調查的結果與分析

（1）多采用數學對象的意象表述，對其本質掌握不牢

概念意象是在對概念的表述過程中對概念形成的一個替代物，簡單來說，概念意象是對要表述對象的抽象類似物.

學生多采用概念意象表述數學概念，只有很少數的學生可以準確地寫出概念定義.以單調增函數為例，22.1%的學生用描述性的話來描述此概念，例如：單調增函數是一條斜向上的曲線或單調增函數是 x越大 y越大的函數.諸如此類學生個性化的理解在數學概念表述中占很大的比例，而能夠準確地寫出單調增函數定義的學生所占的比例卻很少，只占10.6%.

（2）對數學對象的把握水平較為滯后

學生年齡越小，一般越傾向于用實物等具體材料描述概念，但隨著學生認知水平的提高，學生的抽象思維得到了發展，此時他們可用符號、圖形來表述概念.

但在調查中卻發現，學生的概念表述水平較其年齡段和其應具備的水平來說顯得較為滯后.以角的概念為例，高二年級學生已經學習過角的擴展，學生的認知水平應達到把角的概念擴充為任意角的程度，而調查中，只有13.2%的學生在進行角的概念表述時自覺地達到了任意角的水平，而絕大多數的學生卻并沒有達到這個層次，仍有65.1%的學生用銳角來表述，還有6.6%的學生則停留更為初級的階段，基本上還是用各種實物進行描述，如類似形狀為∠的圖形、實物三角板等.

（3）對數學對象的理解缺乏豐富性

數學概念表述的豐富性可以從一個側面反映出學生對于該數學概念的理解和運用的程度，以角的概念為例，有51.1%的學生按照要求用圖形描述了角的概念，而在這當中只有41.2%的學生有分類的思想，即可以畫出銳角、直角、鈍角、周角，有23.1%的學生只能畫出一種圖形來描述角的概念.

在問卷中，筆者要求學生盡量多地寫出等價的命題，但只有相當少的學生可以寫出非書本上的定義.比如：對于單調增函數的概念，在正確描述此概念的學生中，有91.5%的學生僅寫出了此概念在教科書中的定義，而其他聯系導數、斜率等的等價定義被提及的比例很少.

（4）對數學對象的表述不嚴謹

數學概念、定理、法則等是嚴謹精練的.在調查中，學生對數學對象的嚴謹性關注不夠，在描述橢圓的定義時，有31.2%的學生只寫出：到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡.在描述奇函數的定義時，更有42.1%的學生只注意到了f（-x）=-f（x），而忽略了定義域要關于原點對稱這個首要條件.在描述數學歸納法時，也只有65.5%的學生寫出了完整的兩個步驟，接近30%的學生只寫出了假設當n=k時命題成立，證明n=k+1時命題成立.

二、思考與建議

（一）感受數學對象的由來與發展

數學對象的產生不是突兀、憑空杜撰的，而是有其豐富的知識背景的，如果我們在教學中舍棄這些情景，直接拋給學生一連串的表示概念、定義、定理、法則等的文字、符號，往往會使學生感到茫然，這是不利于學生對于數學對象本質的認識的.學習最好的途徑是自己去發現、去建構，學生如能在教師創設的情境中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，那么學生便會對數學對象產生的必然性與合理性有更深刻的認識，也就是對數學對象的本質有了認識和掌握的基礎.

（二）利用信息技術與數學對象教學整合提高學生對其本質的初步認識

信息技術是數學教學中不可替代的強有力的認知工具，對學與教產生了深刻影響，不僅是強大的作圖、運算工具，而且是構建“多元聯系表示”的教學環境的有力工具，是提供數學實驗及其他數學實踐活動的強有力手段，能極大促進數學思維.

（三）用哲理的思想理解數學對象，不斷完善對其本質的理解

在教學中，我們要向學生充分展示數學對象的變化和發展.如對于數的概念，可以讓學生慢慢回憶：由小學的有理數、初中的實數到高中的復數；又如角的概念，從初中的銳角、直角和鈍角，到高中的任意角，由平面角擴展到空間中的線線角、線面角和面面角（二面角），每一次角的擴展，角的概念又要重新定義，可以讓學生去整體感受這種擴展.通過這樣的不斷訓練，使學生明白任何事物都不是一成不變的，激發他們的好奇心、探究興趣，體會數學中蘊含的對立統一的思想，同時也可以加深學生對于對象本質的全面理解和掌握.

（四）挖掘數學對象的內涵與外延，全面理解其本質特征

在數學中，許多新對象的引入，是對已有數學對象的繼承、發展和完善.有些數學對象的理解由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.因此，在教學中，要注重挖掘數學對象的內涵與外延，逐字加以推敲、分析，嚴謹地描述它們，多角度、多層次地剖析，培養學生思維的深刻性和嚴謹性，提高學生的思維層次，從而全面地理解和掌握數學對象的本質特征.

（五） 在數學對象的應用中深化對其本質的把握

我們對許多數學對象的學習是理解數學思想，運用數學方法，掌握基本技能，提高數學能力的前提.充分發掘數學對象中所蘊含的數學思想方法，解決實際問題，是課堂教學的主要任務之一.