物理解題中的數(shù)學(xué)應(yīng)用

摘 要： 數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科是研究物理學(xué)的重要工具，始終滲透貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中。高考物理試題的解答離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用。物理解題中常用的數(shù)學(xué)方法有方程（組）法、比例法、數(shù)列法、函數(shù)法、幾何（圖形輔助）法、圖像法、微元法等。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)物理教學(xué) 物理解題 數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科是獵取科學(xué)知識(shí)的重要武器，也是研究物理學(xué)的重要工具。因?yàn)橛脭?shù)學(xué)表達(dá)概念和定律，可以達(dá)到明晰、簡(jiǎn)練、嚴(yán)密的效果。借助數(shù)學(xué)還能導(dǎo)致物理學(xué)新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和新理論的建立。這在物理學(xué)的發(fā)展史中有很多事例可以證明。中學(xué)物理教學(xué)提出“運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力”的問(wèn)題，應(yīng)有兩個(gè)涵義：（1）有用數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)物理的概念和規(guī)律，即從物理現(xiàn)象中和物理過(guò)程的分析中，經(jīng)過(guò)概括和分析，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而有確定其定義或建立公式的能力；（2）有綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，正確地解決物理問(wèn)題的能力。

高考物理試題的解答離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，可以說(shuō)任何物理試題的求解過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)求解再次還原為物理結(jié)論的過(guò)程。

物理解題運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法通常包括方程（組）法、比例法、數(shù)列法、函數(shù)法、幾何（圖形輔助）法、圖像法、微元法等。

1.方程法

物理習(xí)題中，方程組是由描述物理情景中的物理概念，物理基本規(guī)律，各種物理量間數(shù)值關(guān)系，時(shí)間關(guān)系，空間關(guān)系的各種數(shù)學(xué)關(guān)系方程組成的。

列方程組解題的步驟：

（1）弄清研究對(duì)象，理清物理過(guò)程和狀態(tài)，建立物理模型。

（2）按照物理情境中物理現(xiàn)象發(fā)生的先后順序，建立物理概念方程，形成方程組骨架。

（3）據(jù)具體題目的要求和各種條件，分析各物理概念方程之間、物理量之間的關(guān)系，建立條件方程，使方程組成完整的整體。

（4）對(duì)方程求解，并據(jù)物理意義對(duì)結(jié)果作出表述或檢驗(yàn)。

2.比例法

比例計(jì)算法可以避開(kāi)與解題無(wú)關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)化。應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，清楚公式的物理意義，每個(gè)量在公式中的作用，所要討論的比例關(guān)系是否成立。

例題：如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點(diǎn)，另一端繞過(guò)定滑輪后用力拉住，使小球靜止。現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到B的過(guò)程中，半球?qū)π∏虻闹С至和繩對(duì)小球的拉力T的大小變化情況是（ ）

A.N變大，T變小 B.N變小，T變大

C.N變小，T先變小后變大 D.N不變，T變小

答案：D

3.數(shù)列法

凡涉及數(shù)列求解的物理問(wèn)題具有多過(guò)程、重復(fù)性的共同特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過(guò)程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”。該類問(wèn)題求解的基本思路為：

逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程，利用歸納法從中找出物理量的變化通項(xiàng)公式（是解題的關(guān)鍵），最后分析整個(gè)物理過(guò)程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律解決物理問(wèn)題。

無(wú)窮數(shù)列的求和，一般是無(wú)窮遞減等比數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用。

例題：用質(zhì)量為M的鐵錘沿水平方向?qū)①|(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵釘敲入木板，鐵錘每次以相同的速度v擊釘，隨即與釘一起運(yùn)動(dòng)并使釘進(jìn)入木板一定距離。在每次受擊進(jìn)入木板的過(guò)程中，釘所受到的平均阻力為前一次受擊進(jìn)入木板過(guò)程所受平均阻力的k倍（k>1）。

（1）若敲擊三次后釘恰好全部進(jìn)入木板，求第一次進(jìn)入木板過(guò)程中釘所受到的平均阻力。

（2）若第一次敲擊使釘進(jìn)入木板深度為L(zhǎng)，問(wèn)至少敲擊多少次才能將釘全部敲入木板？并就你的解答討論要將釘全部敲入木板，L1必須滿足的條件。

答案：（1）（2），L>（1-）L

4.圖像法

例題：如圖所示，兩光滑斜面的總長(zhǎng)度相等，高度h也相等，兩球由靜止從頂端下滑，若球在圖上轉(zhuǎn)折點(diǎn)無(wú)能量損失，則有（ ）

A.兩球同時(shí)落地

B.b球先落地

C.兩球落地時(shí)速率相等

D.a球先落地

答案：B，C。

提示：此題根據(jù)機(jī)械能守恒定律，判斷選項(xiàng)C是正確的比較容易，但其他三項(xiàng)用公式計(jì)算方法來(lái)求解是比較復(fù)雜的。以下用圖像法討論。

如圖所示，因?yàn)閍、b兩球運(yùn)動(dòng)的路程相同，所以兩條運(yùn)動(dòng)折線與橫坐標(biāo)所圍的面積相等.末速度的大小相同，為，兩條折線的頂點(diǎn)一樣高。加速度開(kāi)始b比a大，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)b比a大，最后兩個(gè)小球的速度大小要相等，所以，b球的折線始終在a球折線的上面，要使兩個(gè)折線所圍的面積相等，必須t

駕馭數(shù)學(xué)工具能力的鍛煉要經(jīng)過(guò)一個(gè)從簡(jiǎn)到繁、由淺入深的過(guò)程，不可能一蹴而就。但是，對(duì)于需要反復(fù)練習(xí)的種種習(xí)題，千萬(wàn)不能誤解為“題海”戰(zhàn)術(shù)。