解析高考數(shù)列求和

摘 要： 利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的考查熱點(diǎn)之一.本文以近幾年的高考題為例，介紹幾種常見的利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.

關(guān)鍵詞： 高考題 數(shù)列求和 通項(xiàng)公式

高考數(shù)列求和主要考查對(duì)按照一定規(guī)律排列的數(shù)進(jìn)行求和.常見的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法等.數(shù)列既是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.以下將就數(shù)列求和的不同方法進(jìn)行解析.

一、分組求和法

對(duì)于不能直接求和的數(shù)列可以分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列，分別求和，這種方法就是分組求和法.分組求和法在高考數(shù)列中應(yīng)用很廣，是高考數(shù)列求和的最基本思想，對(duì)于能用分組求和法的通項(xiàng)公式主要可以表示成c=a+b、d=a+b+c等，其中{a}、{b}等為等差或等比數(shù)列或可以用公式解出前n項(xiàng)和.

例1. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解析：設(shè)S=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2）

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

S=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）（分組）

當(dāng)a=1時(shí)，S=n+=（分組求和）

當(dāng)a≠1時(shí)，S=+=+

二、裂項(xiàng)求和法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消下剩首尾若干項(xiàng)，這種方法就是裂項(xiàng)求和法.裂項(xiàng)求和法在高考數(shù)列中出現(xiàn)的概率很大，是高考數(shù)列求和的基本技巧之一，對(duì)于能用裂項(xiàng)求和法的通項(xiàng)公式主要有以下幾種.

=（-）

=[-]

=（-）

=-

n·n！=（n+1）！-n！

=-

例2.求數(shù)列，，…，，…的前n項(xiàng)和.

解析：設(shè)a==-

S=++…+

=（-）+（-）+…+（-）

=-1

三、錯(cuò)位相減法

應(yīng)用對(duì)于通項(xiàng)公式為等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式，形如c=ab，其中a為等差數(shù)列，b為等比數(shù)列，分別列出S，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即kS；然后錯(cuò)一位，兩式相減的方法就是錯(cuò)位相減法.錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，能運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和的有：

S=x+3x+5x+…+（2n-1）x（x≠0）

S=2+3×2+5×2+…+（2n-1）2

例3.【2010四川文（20）】已知等差數(shù)列{a}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4.

（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b=（4-a）q（q≠0，n∈N），求數(shù)列{b}的前n項(xiàng)和S.

解析：（1）設(shè){a}的公差為d ，由已知得

3a+3d=68a+28d=-4

解得a=3，d=-1

故a=3-（n-1）（-1）=4-n

（2）由（1）的解答得，b=n·q，于是

S=1·q+2·q+3·q+…+（n-1）·q+n·q.

若q≠1，將上式兩邊同乘以q，得

qS=1·q+2·q+3·q+…+（n-1）·q+n·q.

將上面兩式相減得到

（q-1）S=nq-（1+q+q+……+q）

=nq-

于是S=

若q=1，則S=1+2+3+……+n=

所以，S=（q≠1） （q=1）

四、倒序求和法

在數(shù)列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么常可考慮選用倒序相加法，如等差數(shù)列.S=cos1°+cos2°+…+cos89°，

S=sin1°+sin2°+…+sin89°.

例4. 求證：C+3C+5C+…+（2n+1）C=（n+1）2

解析：設(shè)S=C+3C+5C+…+（2n+1）C①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C（反序）

又由C=C可得

S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C②

①+②得2S=（2n+2）（C+C+…+C+C）=2（n+1）·2（反序相加）

∴S=（n+1）·2

五、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是高考數(shù)列考查的一個(gè)熱點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)考查的邏輯遞推思想.高考數(shù)列考查數(shù)學(xué)歸納法為第一數(shù)學(xué)歸納法.一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P（n），有如下步驟.

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n時(shí)命題成立.n對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n），命題P（n）都成立.

例5. 用數(shù)學(xué)歸納法求a=n+3的前n項(xiàng)和.

解析：a=4，a=5，a=6，S=4，S=9，S=15歸納假設(shè)S=4+，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1、n=2時(shí)，符合S=4n+；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，S=4k+，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S=S+a=4k++k+4=4（k+1）+符合公式.

綜合（1）（2），a=n+3的前n項(xiàng)和為S=4n+.

參考文獻(xiàn)：

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