求數(shù)列中的最大項、最小項問題應(yīng)用舉例

在高三進(jìn)行數(shù)列專題復(fù)習(xí)時，經(jīng)常遇到求數(shù)列的最大項、最小項及求某一項的最大值或最小值等問題，本文結(jié)合具體例題將其幾種類型及解法敘述如下.

一、歸納—猜想—證明

例1.在數(shù)列{a }中，a =2，a =λa +λ +（2-λ）·2 （n∈N ），其中λ>0.

（1）證明：{ -（ ） }為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a }的通項公式；

（2）證明：存在k∈N ，使得 ≤ 對任意n∈N 均成立.

解：（1）通過構(gòu)造法易知a =（n-1）λ +2 ，n∈N ；

（2）通過歸納猜想出數(shù)列{ }的第一項最大，下面證明： ≤ .

采用分析法證明，要證 < ，（n≥2）只要證 <

即證（ ） [（n-1）（λ +4）-2nλ]+λ >0…………（1）

因為（n-1）（λ +4）-2nλ=n（λ -2λ+4）-（λ +4）≥2（λ -2λ+4）-（λ +4）=（λ-2） ≥0，

所以（1）式恒成立，即存在k=1，使得 ≤ 對任意n∈N 均成立.

二、利用公式C ≥C C ≥C

例2.已知數(shù)列{a }的前n項的和S =2n -3n，數(shù)列{b }是正項等比數(shù)列，滿足a =-b ，b （a -a ）=b ，記c =a ·b ，問是否存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N ，C ≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由.

解：∵a =4n-5，b =（ ） ，c =（4n-5）·（ ）

假設(shè)數(shù)列{c }中存在最大項c ，那么一定有C ≥C C ≥C ，即（4n-5）（ ） ≥（4n-9）（ ） （4n-5）（ ） ≥（4n-1）（ ） ，解得 ≤n≤ ，所以n=3，c = .因此存在正整數(shù)M，并且M的最小值為2.

三、分奇偶項討論

例3.已知等差數(shù)列{a }的通項公式為a =2n+21，（n是奇數(shù)）-4n-1，（n是偶數(shù)），設(shè){a }的前n項的和為S ，求當(dāng)S 最大時n的值.

解：分兩種情況討論：

（1）S 最大，因為S =-2k +20k+23=-2（k-5） +73，所以當(dāng)k=5時，S 最大.

（2）S 最大，因為S =-2k +16k=-2（k-4） +32，所以當(dāng)k=4時，S 最大.

經(jīng)比較知，使S 取最大值時的n值為5.

四、利用函數(shù)的單調(diào)性

例4.數(shù)列{a }的各項均為正數(shù)，S 為其前項n的和，對于任意n∈N ，總有a ，S ，a 成等差數(shù)列，有一正項數(shù)列{c }滿足：a =（c ） （n∈N ），求數(shù)列{c }的最大項.

解：由條件易知：a =n（n∈N ）

∵n+1=（c ） ，∴c =（n+1） ；lnc = .

下研究數(shù)列{lnc }的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)f（x）= ，f′（x）= .顯然，當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，從而函數(shù)f（x）= 在區(qū)間（e，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）>0，從而函數(shù)f（x）= 在區(qū)間（0，e）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，∴c 或c 可能最大，經(jīng)比較c >c ，所以數(shù)列{c }中的最大項為c = .

五、利用 或F（n+1）-F（n）討論數(shù)列的單調(diào)性

例5.已知函數(shù)f（x）=log 的圖像過點A（2，1）和B（5，2），記a =3 ，n∈N ，問是否存在正數(shù)k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 對一切n∈N 均成立？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.

解：由條件計算得：f（x）=log ，a =2n-1（n∈N ）

設(shè)存在正數(shù)k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 對一切n∈N 均成立，則k≤ ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）

設(shè)F（n）= ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）

下面確定F（n）的單調(diào)性，并求出F（n）的最小值.

∵ = >1

∴F（n+1）>F（n）

∵n∈N ，∴當(dāng)n=1時，F(xiàn)（n） =F（1）= ，即k的最大值為 .

六、分部討論

把目標(biāo)函數(shù)分成性質(zhì)不同的兩部分，一部分是單調(diào)函數(shù)，另一部分是非單調(diào)函數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方法五去研究，最后綜合在一起得出結(jié)論.

例6.設(shè)數(shù)列{a }的前n項的積為T ，T =1-a ；數(shù)列{b }的前項和為S ，S =1-b ，若T （nb +n-2）≤kn對n∈N 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

解：T = ，b =（ ） ，因為T （nb +n-2）≤kn對n∈N 恒成立，

所以T （b + ）≤k對n∈N 恒成立，即 ·（ ） + ≤k對n∈N 恒成立.

分兩部分：設(shè)f（n）= （ ） ，則當(dāng)n∈N 時，f（n）單調(diào)遞減，設(shè)g（n）= ，則g（n+1）= ，所以g（n）-g（n+1）= - = .

因此當(dāng)1≤n<4時，g（n）單調(diào)遞增；g（4）=g（5）；當(dāng)n≥5時，g（n）單調(diào)遞減；

令l（n）=f（n）+g（n），經(jīng)計算可知：l（1）l（4）>l（5）>l（6）>……

所以l（3）最大，且l（3）= ，故k的取值范圍為[ ，+∞）.

七、圖像法

例7.數(shù)列{a }是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項的和為S ，S =2S +4，b = ，若？坌 ∈N ，都有b ≤b 成立，求a 的取值范圍.

解：易知d=1，a =a +（n-1），∴b =1+ 且它的對稱中心為（1-a ，1）.

又∵？坌n∈N ，都有b ≤b 成立，∴b 是數(shù)列{b }的最大項，故：7<1-a <8，-7

八、線性規(guī)劃法

例8.設(shè)等差數(shù)列{a }前n項的和為S ，若S ≥10，S ≤15，則a 的最大值為多少？

解：設(shè){a }的首項為a ，公差為d，則有：2a +3d≥5a +2d≤3，根據(jù)線性規(guī)劃可得a =a +4d的最大值為5.

總之，無論采用哪種方法，都要對問題進(jìn)行認(rèn)真分析，抓住問題的實質(zhì)，選擇恰當(dāng)有效的方法.