應用Mathematica軟件促進線性代數和矩陣論教學改革

【摘要】本文從矩陣論課程目前存在的問題出發，通過分析現有問題，提出線性代數課程中一些教學方法的改革，并提出合理使用Mathematica數學軟件促進兩門課程的教學。

【關鍵詞】教學改革 矩陣論 線性代數 Mathematica軟件

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）03-0120-01

矩陣在現代數學中可以認為是非常重要的工具，矩陣理論在計算科學、控制理論、信息科學與技術、管理科學等問題中都發揮著舉足輕重的作用。線性代數和矩陣論是研究矩陣理論的兩門課程，其中，線性代數是為理工科本科學生開設的一門公共基礎必修課，主要講授行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、二次型等內容 ；矩陣論是為工科研究生開設的一門公共學位課，主要講授線性空間與線性變換、相似標準形、矩陣分解、矩陣分析、矩陣函數等內容 。矩陣論起初是線性代數的一個分支，但其后由于陸續在圖論、代數、組合數學和統計上得到應用，逐漸發展成為一門獨立的學科。

一、課程教學中出現的問題

矩陣論是一門理論嚴謹、內容抽象的課程，在矩陣論課程教學中，從線性代數中設計到的基礎知識出發，增加了很多新的內容，而且，很多理論從實數域推廣到了復數域。在授課中，我們發現在一些涉及到線性代數的基礎知識的理解和計算中還存在著一些問題，影響了學生掌握新的知識。

（1）線性空間內容的理解

線性空間是具有加法和數量乘法兩個線性運算的非空集合，線性空間也叫向量空間，線性空間中的元素都稱為向量。學生對數組向量空間的相關內容基本理解，對其他類型的線性空間理解不好。

（2）矩陣正交三角分解的理解

在矩陣正交三角分解這部分內容中，一個實數域上的滿秩方陣可以分解為正交矩陣與正線上三角矩陣的乘積 ，在分解過程中需要把線性無關向量組進行施密特正交化，單位化，學生在正交化過程中出錯較多。

（3）內積空間中向量長度的理解

在定義了內積運算的線性空間中，向量的長度的平方定義為向量與自身的內積，學生對特定空間的內積概念與作用理解不好，經常將數組向量空間中的計算用到一般的內積空間中，導致在后面使用長度的計算中經常使用的是歐氏空間中向量的內積的計算公式。

（4）線性變換的特征值與特征向量的理解

矩陣論中線性變換的特征值的計算是通過在所在線性空間的某一組基下對應的矩陣的特征值得到，特征向量為在此基下該矩陣相應的特征向量作為坐標得到。學生在做這些計算時，對矩陣的特征值和特征向量的基礎知識掌握不好。

二、教學方法的改革

對上述矩陣論課程中出現的問題，涉及到的知識點都是在學生本科學習期間線性代數的課程內容。在線性代數的課程教學中，由于內容多，學時少，基本采用講授法，學生普遍反映這門課比較難學，抽象不易理解。Mathematica數學軟件中有針對線性代數課程內容的命令，可以在數學實驗課程中對應講解，提高學生學習這些內容的學習興趣，并鞏固相應的知識點。

（1）線性空間部分

在講授數組向量空間時，不能單從對應分量相加和數乘到每個分量上的形式講解，而要突出講解滿足8條性質的運算才稱為加法和數量乘法；對基底的概念，必須從極大線性無關組概念入手；對向量坐標的引入，必須定義在向量由基底線性表示的系數上；對不同基底之間的過渡矩陣，不能單純把元素列在矩陣中作為過渡矩陣，必須從基底中每個向量由另一組基底線性表示的系數做為矩陣相應的列元素去構造。雖然表面上看上去對這些內容這樣講解似乎繁瑣了，但是掌握了這些思想，學生能容易接受一般的線性空間的理論知識。

（2）施密特正交化部分

線性代數課程中，很多教師直接給出正交化過程的公式，或者設某一向量和前面向量正交，通過內積為零反推出公式中系數，再通過簡單的算例讓學生練習使用公式。這種做法學生不理解正交化的內涵，對公式只能死記硬背，導致矩陣論課程開設時學生已經忘記了正交化的概念和計算方法。建議講清計算每個正交化的向量時，是在所有前面的向量組成的子空間中構造下一個正交的向量，前三個正交化的向量可以畫圖理解。再推導公式并練習。

在Mathematica軟件的LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有對向量單位化和對一組向量正交化的函數，其中GramSchmidt函數是對一組線性無關組進行施密特正交單位化。

（3）向量的長度

線性代數講解的內積空間只涉及了帶有內積運算的數組向量空間，向量的長度的平方為向量的分量的平方和。講解此內容時不能單純強調結果，而要說清長度平方這樣計算的原因是內積的概念公式，如果內積的定義變了，長度是要隨之改變的。

Mathematica軟件中使用Dot函數計算向量的常用的內積，Length函數可以計算常用數組向量的長度。

（4）特征值與特征向量

線性代數課程中，要強化特征多項式的計算和齊次線性方程組的基礎解系的概念與求解，可以和學生介紹一些線性方程組建立的實際背景問題，增加學生學習的興趣。

Mathematica軟件中使用Det函數計算矩陣的行列式，Solve函數解線性方程組唯一解，NullSpace函數求解齊次線性方程組的一組基礎解系，Eigenvalues函數計算矩陣的特征值，Eigenvectors函數計算矩陣的特征向量。

三、結束語

線性代數和矩陣論課程要注重數學思想、數學思維的培養，培養學生運用矩陣理論、方法和思維方式來觀察、分析、綜合問題，提高解決問題的能力。

Mathematica軟件中不僅允許表示傳統的數學運算，也允許表示算法和結構的運算，因此，理工科學生在掌握了矩陣理論的扎實的理論基礎后，可以使用Mathematica軟件解決科研與實際應用中更復雜的問題。

參考文獻：

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