淺探一類題目的解法屈成功

在學習《基本不等式》這一章時，大家都非常熟悉一個很重要的不等式a+b≥2ab（ab≥0，當a=b時等號成立），這個不等式以及由此推出的一些結論（如ab≤（a+b2）2）在高中不等式中都比較常用.但從教學情況來看，學生對于這個基本不等式以及由此生成的一些結論的形式記得很牢固，但對于等號成立的條件往往不夠重視.

看下面兩個典型的問題：

（1）求函數(shù)y=x+2x（x>0）的最小值；

（2）求函數(shù)y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]的最小值.

一般學生都會這樣去認識這兩個問題：對于問題（1）而言，由于x>0，由基本不等式得

y=x+2x≥2x×2x=22，因此最小值是22；對于（2）而言，由于x∈（0，π2），所以sinx>0

，因此y=sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，最小值為也是22.

這兩個結果是否正確呢？

我們來分析一下.從學生的反應來看，學生對于基本不等式的形式記得非常牢固，但學生對于等號成立的條件或者說能否取到最小值認識不清.對于（1），當且僅當x=2x時等號成立，此時x=2，即能取到最小值，沒什么問題.對于（2），我們經過分析后發(fā)現(xiàn)取不到最小值.因為當sinx=2sinx時等號成立，此時sinx=2，但是sinx根本不可能取到2，因此y=sinx+2sinx取不到最小值22.

現(xiàn)在有些學生要問，既然y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]取不到最小值，那么它的值域是什么，我們怎樣才能求出它的值域？實際上這個函數(shù)的類型是“y=f（x）+1f（x）型”或者“y=f（x）+a2f（x）型”.這種類型的函數(shù)值域求法不止一種，下面我們來看其中的一種.

首先，我們對函數(shù)y=x+1x的一些簡單的性質進行討論后，畫出它的大概圖像.

y=x+1x是一個奇函數(shù)，因而它的圖像關于

原點對稱，我們只需畫出它的一部分（如x>0的部分），然后根據(jù)它的對稱性再畫出它的另外部分，形成整體圖像.

由奇函數(shù)的對稱性我們容易畫出y=x+1x的整體圖像如圖1所示.