網格幾何性質對矩陣條件數影響的研究

郭淼

摘 要：在求解偏微分方程的過程中，數值解的精度與所采用的數值解法有關。而數值解法的計算性能對于網格的幾何形狀有很強的依賴性。本文選用有限體積法求解典型二階線性橢圓型方程，探索所得剛度矩陣的條件數與所選結構網格幾何性質之間的關系。所得結果能夠為方程組的求解以及非結構網格的研究提供指導與依據。

關鍵詞：有限體積法；條件數；網格幾何性質

0 引言

在傳統上，不同的領域總是被分開獨立研究，從而使得各個領域的獨立性越來越大。在網格領域，用幾何度量作為檢驗網格質量的標準是眾所周知的。有限體積法（Finite Volume Method，簡稱FVM），具有有限元方法的網格剖分靈活性，能逼近復雜的幾何區域，而且具有有限差分法在格式構造上的多樣性，得到迅速的發展和廣泛的應用如在[1，2]中。本文對剛度矩陣條件數與衡量網格幾何性質的參數之間的關系進行了理論分析。所得成果能夠幫助網格的生成與優化以及為線性系統中求解方程提供新的理解與依據。采用一次元FVM離散格式，，給出數值算例驗證理論正確性與合理性，以及對所得結論的進一步分析。

1 二階線性橢圓問題

考慮有界域ΩR2上的泊松方程：

-?u=f， & in Ωu=0， & on ?Ω （1.1）

?Ω 為有界域Ω的邊界，記作Γ，u=u（x）為所求未知量。根據一次元有限體積法（見[3]），得到如下格式

i=1t14Sqiupi-up0pi+1p0·pipi+1+upi+1-up0p0pi·pipi+1=f，ψp0

（1.2）

將其組裝成總體剛度矩陣，以此求解剛度矩陣條件數為研究所用。

2 網格幾何性質與剛度矩陣條件數

由簡單的推導可知，對于任一三角形單元t，有t=h2sin2θ/4以及成立，在均勻的三角網格上可得條件數的估計范圍 c1h2sin2（2θ）≤CondK≤c2h2sin22θ。其中h為均勻網格中任一三角形單元t的對角線長度，θ與π/2-θ為三角形單元的兩個銳角。c1、c2c1、c2為與h與θ無關的正常量，其中h2與sin-1（2θ）成正比。

3 數值算例與分析

采用上述有限體積格式考慮如下問題：

（3.1）

Ω是一塊面積為1的方形區域， 表示方形區域的南北邊界，表示方形區域的東西邊界。該問題的精確解為.根據前文有限體積法格式在不同網格上計算得出的數值結果以及分析如下文所示。

3.1 在二維均勻三角形網格上

表1為在8192個節點的結構網格上，不同三角形單元銳角的網格上所得數據可以得出總體剛度矩陣的條件數與sin-1（2θ）成正比，最大特征值與sin-1（2θ）也是成正比。對于二維問題，當網格總面積不變時，其最小特征值變化很小。當趨近于0或者時，最大特征值與條件數是增加的，當=即sin（2θ）時，最大特征值與條件數取到最小。表明當網格為正則結構網格時，所得數值結果最佳。

如圖3所示，為sin-1（2θ）為橫坐標，最大特征值max（λ）與條件數Cond（K）為縱坐標。其中虛線為sin-1（2θ）與max（λ）×104的關系，實線為sin-1（2θ）與Cond（K）之間的關系。接近線性的圖形很好地驗證了理論推理的正確性。

圖3.1sin-1（2θ）與max（λ）104、Cond（K）之間的關系

如圖3.2所示在正則結構網格上（銳角θ=π/4），針對不同格規的網模所得數據，如表2所示，當網格橫坐標縱方向節點數增加一倍時，最大特征值變化很小，最小特征值縮小為原來四倍左右，即條件數增加為原來數據的四倍，所得結果也是滿足之前所作分析。

4 結論

本文采用一次元有限體積法求解典型二階線性橢圓型方程，通過數值算例探討了剛度矩陣條件數與結構網格幾何性質之間的關系，給出了對于均勻三角形網格，在選取網格的時候應該避免出現較小角的理論分析，當網格為正則結構網格時，所得數值結果最為理想。后續工作將集中在通過大量數值算例在結構網格研究的基礎上，探索非結構網格的幾何性質對剛度矩陣條件數的影響。

參考文獻

[1] Q.Du， D. Wang and L. Y. Zhu， On mesh geometry and stiffness matrix conditioning for general finite element spaces. SIAM J. NUMER. ANAL. Vol 47， No.2， pp. 1421-1444.2009.

[2] I. Fried， Bounds on the spectral and maximum norms of the finite element stiffness， flexibilityand mass matrices， Int. J. Solids Structures， 9 （1973）， pp. 1013-1034.

[3] I. Fried， Numerical Solution of Differential Equations， Academic Press， New York， 1979

[4] J. Shewchuk， What is a Good Linear Finite Element？ Interpolation， Conditioning， Anisotropyand Quality Measures， Tech. report， Department of Computer Science， University of California， Berkeley， CA， 2003.