基于混合遺傳算法的多沖量最優變軌

付 磊 安效民 覃曌華 徐 敏

西北工業大學航天學院，西安 710072

在航天器變軌的過程中，往往需要盡量減小燃料消耗，以增加航天器有效載荷，或盡量減小變軌時間，以實現快速打擊或救援[1]。沖量變軌作為航天器的重要變軌方式具有廣泛的研究意義。

近年來，以遺傳算法為代表的智能優化算法在非線性沖量最優變軌的研究中得到了廣泛應用。Kim和Spencer[2]利用全局搜索能力較強的遺傳算法求解兩航天器的燃料最優交會問題，并以霍曼轉移、雙橢圓轉移和雙沖量交會為例進行了有效性驗證。Luo等[3]將混合遺傳算法和模擬退火算法應用于沖量交會調相特殊點變軌策略優化設計。周軍等[4]采用非線性規劃算法研究了在J2影響下，固定時間兩異面橢圓軌道間的燃料最省多沖量交會問題。張洪波等[5]利用混合遺傳算法對基于軌道要素的共面圓軌道遠程交會進行了軌道設計優化和仿真分析。

本文針對燃料和時間指標，基于一種混合遺傳算法研究了航天器的交會和攔截問題。仿真結果證明了所建立模型的有效性，并且提出的算法結合了遺傳算法和序列二次規劃算法的優點，具有較強的全局和局部搜索能力，同時算法的計算速度和精度得到了明顯的提高。

1 多沖量最優變軌模型

基于二體動力學模型，以固定時間燃料最優交會問題為例，建立問題的數值優化模型。

交會初始條件為t0,r0,v0，終端條件為tf,rf,vf。為了確定燃料最優解，需要求解一個在時間區間[t0,tf]的最優控制問題，并滿足軌道運動方程和指定的約束條件。

沖量施加時，有如下表達式

(1)

這里假設r(t+Δt)=f(r(t),v(t),t,t+Δt)，v(t+Δt)=g(r(t),v(t),t,t+Δt)為航天器二體運動方程的解。

對于1個中間沖量i≠1,i≠n,n≥2，需要滿足條件如下

(2)

第一沖量作用前，對應的初始條件滿足

(3)

終端約束如下

(4)

同時滿足變軌時刻約束

t0≤t1

(5)

以及路徑約束

Cl≤C[r(t),v(t),t,p]≤Cu

(6)

和沖量時間間隔約束

ti+1-ti≥tinterval(i=1,…,n-1)

(7)

其中tinterval為沖量施加最小時間間隔。

性能指標函數為

(8)

所以上述多沖量固定時間燃料最省交會可轉化為非線性規劃問題。為了更好的處理終端約束，引入Lambert算法用于終端條件的自動滿足，使得迭代過程中所產生的每一個解均為可行解。此處選擇優化變量為

X=(t1,…,tn,Δv1,…,Δvn-2)T

(9)

最短時間攔截的模型與上述類似，主要不同之處在于：攔截問題中追蹤航天器的終端速度不受約束；優化變量為X=(t1,…,tn,tf,Δv1,…,Δvn-1)T，性能指標為J=tf-t0。

2 混合遺傳算法

GA采用隨機搜索原理，包括選擇、交叉、變異等操作尋優，具有較強的全局搜索能力和魯棒性，但其局部搜索能力較弱，結果具有一定的隨機性。SQP算法是軌跡優化中應用較為廣泛的一種約束非線性優化算法，其收斂速度快，可靠性高，國內外許多大型優化軟件都是基于該算法編寫的。但該算法需要一個較好的初始點。本文將兩者相結合，首先利用GA的全局搜索能力進行初始優化，將優化結果提供給SQP法作為初始點，這種串行優化策略結合了GA和SQP的優點，具有較強的全局和局部搜索能力，同時算法的計算速度和精度得到了明顯的提高。算法流程如圖1。

圖1 混合遺傳算法計算流程圖

文中遺傳算法(GA)編碼方式采用實數編碼，分別選擇隨機均勻選擇算子、算術交叉算子、自適應變異算子進行選擇、交叉、變異等操作，并在選擇中采用了最優保存策略，以提高算法的運行效率和收斂速度。GA種群規模為50，交叉概率為0.8。單獨GA的最大進化代數為50，GA+SQP算法的遺傳最大進化代數為30。

3 仿真算例

首先對數據進行無量綱化操作，令DU為無量綱的距離單位，1DU=6371.004km，TU為無量綱的時間單位，1TU=805.4581s，因此，對應的無量綱速度單位為1DU/TU=7909.7895m/s，此時對應的地球引力常數μ為1。

追蹤器初始軌道要素Ec0=(6871km,0.001,97.375°,60°,20°,280°)，目標點軌道要素Ec0=(7171km,0.01,100°,55°,30°,140°)。轉移時間滿足t∈[t0,tf]，其中，t0=0s，tf=4.5TU=4.5*805.4581s。最小沖量時間間隔tinterval=0.0124*4.5TU。

采用GA，SQP，GA+SQP算法進行仿真。仿真所用計算機的配置為Inter Pentium D CPU 3.00GHz 2.99GHz，3.25G內存。

3.1 固定時間燃料最優交會

對于不同的沖量次數，分別采用GA，SQP和GA+SQP算法進行優化仿真。考慮到算法的隨機性，對于給定的沖量次數，每個算法獨立運行10次，每次的初始點均由計算機隨機產生，統計結果由表1給出。針對不同的沖量次數，表2給出了GA+SQP算法獲得的多沖量燃料最優交會的最優解。

分析表1可知，SQP算法的計算速度最快，GA+SQP算法次之，GA算法效率最低；但是通過比較10次計算的均值可以發現，SQP算法除了3次脈沖的情況外，其他情況10次計算的均值與最優值有不小的差距，而GA+SQP算法的均值幾乎與最優值相同，說明SQP算法隨機性強，全局搜索能力較弱，獲得全局最小值的概率較小，GA+SQP算法10次計算得到的結果與最優解均很接近，相對于SQP算法具有更強的全局搜索能力；通過表中的方差一項也可以看出SQP算法的隨機性高，不如GA+SQP算法穩定；由于GA算法采用隨機搜索方法，該算法具有較強的全局搜索能力，獲得全局最優值的概率較大，多次計算獲得的最小值可能達到全局最小。GA+SQP算法的串行優化策略結合了GA算法和SQP算法的優點，同時具有了較強的全局和局部搜索能力，提高了算法的計算速度和精度，其優化的綜合性能最高。分析仿真結果可知，對于本算例而言，最優的多沖量燃料最優變軌不存在初始和末端自由飛行。為了實現燃料最優交會，交會時間達到最大，這也說明了燃料和時間是2個完全矛盾的指標。多沖量比兩沖量更節省燃料。考慮到數值計算的誤差，可以認為3、4、5沖量交會消耗的總速度增量大小相等。可見對于多沖量變軌而言，增加沖量次數并不能顯著的降低燃料消耗，其意義在于能以較小的單次沖量，實現最終的變軌任務。

另外，由仿真過程可知，對沖量變軌時刻歸一化處理能有效提高算法的優化性能和收斂速度。

3.2 最短時間攔截

仿真中最小沖量時間間隔tinterval=0.0124*4.5TU=44.944562s。最短時間攔截的仿真結果如下，圖2為用混合遺傳算法得到的3次沖量最優變軌的位置矢量和速度矢量時間歷程。表3給出了混合遺傳算法計算出的最優解。

對于不同的變軌次數，由于優化指標為轉移時間最短，故變軌消耗的總速度增量大小均達到允許的最大值，但兩沖量變軌除外，這是由于單次沖量大小有限，故沖量次數較少時，將會對變軌能力產生較大的限制。多沖量變軌的最后一次速度增量亦為允許的單次沖量最大值，表明了對于變軌能力受限的情況而言，時間最短攔截要求變軌能力達到飛行器所能提供的能力上限。注意到沖量時刻的間隔均為最小間隔，說明優化過程使每次沖量施加的時刻盡量的靠近，從4次沖量變軌和5次沖量變軌的優化結果來看，出現了零沖量的情況，說明4次沖量和5次沖量的最優結果不如3次沖量變軌的結果。結果表明，沖量次數的增加會增加攔截時間。

表1 多沖量燃料最優交會優化統計結果

表2 混合遺傳算法獲得的多沖量燃料最優交會優化解

表3 混合遺傳算法獲得的多沖量時間最短攔截優化解

4 結論

研究了航天器遠程導引多沖量變軌問題。建立了基于數值解法的多沖量變軌模型，對燃料最優交會問題和最短時間攔截問題進行了仿真，針對不同的沖量次數，對比了GA，SQP及混合遺傳算法的性能，得到了相應的最優沖量施加時刻和大小。從優化的過程來看，混合遺傳算法的綜合性能最高。分析最優變軌結果得知：對于燃料最優交會問題，3次沖量變軌相比于2次沖量變軌能夠顯著地減小燃料消耗，但是繼續增加沖量次數沒有效果。對于最短時間攔截問題，要求變軌能力達到飛行器所能提供的能力上限，并且增加沖量次數會增加攔截時間。

參 考 文 獻

[1] 王石, 祝開建, 戴金海, 等.用進化算法求解軌道轉移的時間-能量優化問題[J].宇航學報, 2002, 23(1): 73-75.(Wang Shi, Zhu Kai-jian, Dai Jin-hai, et al.Solving Orbital Transformation Problems Based on EA[J].Journal of Astronautics, 2002, 23(1): 73-75.)

[2] Kim Y H, Spencer D B.Optimal Spacecraft Rendezvous Using Genetic Algorithms [J].Journal of Spacecraft and Rockets, 2002, 39(6): 859-865.

[3] Luo Yazhong, Li Haiyang,Tang Guojin.Hybrid Approach to Optimize a Rendezvous Phasing Strategy [J].Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2007, 30(2):185-191.

[4] 周軍, 常燕.考慮地球扁率J2攝動影響的異面橢圓軌道多沖量最優交會[J].宇航學報, 2008, 29(2): 472-475.(Zhou Jun, Chang Yan.Optimal Multiple-impulse Rendezvous between Non-coplanar Elliptic Orbits Considering the J2 Perturbation Effects [J].Journal of Astronautics, 2008, 29(2): 472-475.)

[5] 張洪波, 鄭偉, 湯國建.混合遺傳算法在遠程交會軌道設計中的應用[J].航天控制, 2006, 24(2): 34-37.(Zhang Hongbo,Zheng Wei, Tang Guojian.The Application of Hybrid Genetic Algorithms in Orbit Design for Long-range Rendezvous[J].Aerospace Control, 2006, 24(2): 34-37.)