基于虛擬目標的大氣層內攔截彈中制導律研究

李 爽 江 涌 張奕群 李君龍

1.北京電子工程總體研究所，北京 100854 2.航天科工集團防御技術研究院，北京 100854

對于側窗探測問題，國外從上世紀90年代開始，為發展戰區導彈防御系統，對其開展了大量的研究，目前已掌握了該技術。但現有應用大都在大氣層高層攔截器上，中末制導交班對視場角的要求可以通過調整姿態來滿足。而在大氣層內攔截彈上，姿態的微小調整就會引起較大的力矩，視場角的要求不能通過姿態調整來滿足。我國近年來開始關注側窗探測問題，重點關注側窗口的設計、冷卻等問題，以及側窗探測下的姿態控制和跟蹤問題[1-2]。

比例和優化導引律歷來都是理論和實踐工作者關注的焦點[3]。其中文獻[4]通過在比例導引的基礎上添加一個時變偏置項，滿足了脫靶量為0和末端攻擊角約束。由于比例導引的種種優點，不少人突破末段尋的制導的思路，通過設置虛擬目標，將其應用于中制導技術，其中最常見的虛擬目標是由目標運動特性得到的預測命中點。本文針對導引頭側窗探測和大氣層的特點對中制導提出的預測脫靶量為0和特定視場角要求，提出一種新的虛擬目標的設置方法，并根據所設置虛擬目標對中制導律進行優化，從而獲得滿足交班要求的中制導彈道。文中的末制導預測脫靶量是指攔截彈在中制導末端時刻相對于實際目標的瞬時脫靶量。

1 約束條件的分析和虛擬目標的設置

為了簡化彈道特征的研究，作如下假設：

1)攔截彈與目標的交戰只在縱平面內進行；

2)實際目標的彈道為直線彈道，且速度大小VT和攔截彈速度大小V均為常量；

3)中制導末端過載指令為0，攻角接近于0。

根據以上假設，以及虛擬目標的設置思想繪出虛擬目標與實際目標、攔截彈的位置關系示意圖如圖1所示。

圖1 虛實目標與攔截彈位置關系

基于圖1，本文的研究內容可以形象的描述為：根據測得的M和T的當前位置和速度，研究T′(xT′,yT′)的位置和運動狀態的設置方法，以及相應的導引律的優化設計，使攔截彈在該導引律的作用下，針對T′的中制導段結束時，實際目標T正好落在攔截彈的視場范圍內，且針對實際目標的預測脫靶量為0。

簡單起見，此處假設虛擬目標和實際目標具有相同的飛行速度，即兩者在運動過程中相對靜止。對攔截過程和交班條件進行詳細分析，可以得出虛擬目標需要滿足以下要求。

1.1 初始位置約束

中制導初始時刻，在攔截彈和目標的初始位置M0(xM0,yM0)和T0(xT0,yT0)測得的情況下，虛擬目標的初始位置T0′(xT0 ′,yT0 ′)可以定義如下

(1)

假設末制導段導引頭的視場距離L=|TT′|給定，則結合方程組(1)得攔截彈和目標的初始位置對Δ，q0構成下面的約束

(2)

1.2 標準視場角約束

(3)

為了不失一般性，也可將上述ξ*定義為末制導開始時刻的視場定向基準位置。

若攔截彈與T′交會時的攻角為αk，如圖2所示。

圖2 末段交會示意圖

則此時目標所處視場角位置

ξk=Δ-(σk+αk)

(4)

在過載為0的情況下，聯立式(3)和(4)，得設計過程中的標準視場角約束

Δ-σk=ξ*

(5)

1.3 零預測脫靶量條件

根據預測脫靶量的定義，以及圖2所示的末段交會示意圖，可以得出末制導預測脫靶量dMT關于目標和攔截彈的彈道參數表達式。

(6)

psin(Δ-σk)=sin(π-σT-Δ),

|Δ-σk|<π/2,p=V/VT

(7)

聯立式(5)和(7)得到下面的約束條件

psinξ*=sin(π-σT-Δ)

(8)

1.4 虛擬目標的設置

聯立并求解方程式(8)，(2)和(5)可得視場角約束和零預測脫靶量約束下的方位角Δ，q0和終端彈道角σk，代入式(1)得虛擬目標的初始位置坐標。

基于虛擬目標初始位置，以及求得的σk，中制導律的設計和優化等價于一個具有彈道角約束的攻擊勻速直線運動目標T′的問題。

2 導引律的設計

由圖1可得攔截彈與虛擬目標的下述相對運動方程

(9)

(10)

η=σ-q

(11)

ηT′=π-σT′-q

(12)

(13)

其中VT′=VT,V,σT′=σT均為常量。

2.1 交會時的彈目視線角計算

攔截彈與虛擬目標交會時刻r=0，聯立式(10)～(12)，得交會時刻的彈目視線角qk滿足下面的方程

psin(qk-σk)=sin(π-σT′-qk),

|qk-σk|<π/2

(14)

比較式(7)和(14)知，Δ和qk均可看作下面關于x的方程的2個解：

psin(x-σk)=sin(π-σT-x),

|x-σk|<π/2

(15)

由文獻[4]中的Proposition 1知，上述方程有且僅有1個根，因此

qk=Δ

(16)

2.2 導引律優化

經典PPN抑制視線的旋轉，

(17)

要使中制導末端視線旋轉到期望視線角，其旋轉角速率應為

(18)

(19)

由式(11)和(12)可得

(20)

(21)

對式(10)微分，并將式(9)，(10)，(20)和(21)代入得

(22)

令

則得

用矩陣簡明地表示為

選擇二次性能指標

(23)

由最優控制理論知最優控制

u*=-R-1BTPX

(24)

P-1(tk)=F-1=02×2

(25)

又因q12=q21，由上式得

(26)

(27)

(28)

(29)

聯系r(tk)=0，q12=0。對上式兩邊積分得

代入式(26)并積分得

則可得逆矩陣P-1，P為

代入式(24)，得最優控制律

則導引律可以表示為

(30)

3 指令形成

綜上所述，對于目標非機動的情形，形成控制指令的步驟如下：

上述導引律同樣適應于目標機動的情形。由于大氣層內目標的機動大部分是長距離的微小機動，可將每個采樣時段內的運動看作勻速直線運動，并將虛擬目標和初始條件的定義過程納入在線計算，即在每個采樣時刻，根據新測量的信號，執行一次步驟1)和2)，定義新的虛擬目標和終端約束條件，通過式(30)獲得相應的控制信號，依次循環。

4 仿真分析

假設在中制導開始時刻，攔截彈位置(xM0,yM0)=(40,10)km，v=2.04km/s，σ0=50°；實際目標位置(xT0,yT0)=(330,35)km，vt=1.7km/s；導引頭探測距離L=60km，末制導視場角約束ξ∈(5°,27°)。則當目標航向角分別取σT=175°/185°的情況下，攔截彈與虛擬目標交會的彈道軌跡分別如圖3和圖4所示，目標偏離導引頭視場中央的角度分別為0.05°/0.01°。仿真結果表明，攔截彈在針對虛擬目標的偏置比例導引律作用下，能夠于中制導結束時，將實際目標準確地收入期望的導引頭視場位置，并且瞬時脫靶量為0。

圖3 目標航向角175°時的攔截彈道

圖4 目標航向角185°時的攔截彈道

5 結論

側窗探測技術的采用和大氣層的特點對該空域內攔截彈的中制導彈道提出了嚴格要求。本文從其特殊的終端視場角約束和預測脫靶量為0出發設置虛擬目標，將視場角約束轉化為攔截虛擬目標時的彈道角及彈目視線角約束，繼而對導引律進行優化設計。其中二次型性能指標的引入，尤其是帶有無窮加權矩陣的終端懲罰函數項的引入保證了中制導末端視場角約束的精確滿足，同時又使中制導末端時刻的瞬時視線轉率為0，彈目相對運動方向穩定，為導引頭在末制導過程中始終跟蹤目標提供了保證。仿真結果表明本文所提出的方法可以精確滿足中末制導交班要求，并為末制導彈道的平直性提供了保障。

參 考 文 獻

[1] 宋明軍, 魏明英.側窗探測條件下的制導控制系統設計方法研究[J].現代防御技術, 2007, 35(5): 71-75.(SONG Mingjun, WEI Mingying.Control Guidance System Design Method for Side Window Detection[J].Modern Defence Technology, 2007, 35(5): 71-75.)

[2] 周艷萍, 張銳, 李君龍.側窗探測下的姿態變結構控制[J].現代防御技術, 2006, 34(1): 29-32.(ZHOU Yanping, ZHANG Rui, LI Junlong.Attitude Variable Structure Control for Side Window Detection[J].Modern Defence Technology, 2006, 34(1): 29-32.)

[3] Murtaugh S A, Criel H E.Fundamentals of Proportional Navigation[J].IEEE Spectrum, 1966, 3:75-85.

[4] Kim B S, Lee J G, Han H S.Biased PNG Law for Impact with Angular Constraint[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, 21(1): 277-288.