J2項和大氣阻力攝動作用下衛星編隊構型的演化分析

黃 勇 李小將 王志恒 李兆銘

裝備學院研究生院，北京 101416

微小衛星技術的迅速發展，使得衛星編隊飛行日漸成為國際航天領域的一個研究熱點。它是指多顆衛星在自主運行的同時，彼此間相距較近且保持某種特定的空間幾何構型，通過星間鏈路相互通信、密切協同，共同完成某項空間任務(如對地觀測、立體成像、電子偵查等)[1]。衛星編隊飛行的特點及衛星間的有效協作，要求編隊衛星間的相對位置和相對軌道維持穩定。而實際上衛星在軌運行的過程中，會受到多種空間攝動的影響，必然導致衛星編隊構型發生變化。因此，須對衛星編隊構型在相關攝動作用下的演化進程進行分析，從而為編隊構型的設計、保持與重構提供理論依據和參考。

目前，分析空間攝動對衛星編隊構型的影響主要集中于2種方法：1)基于C-W方程的分析方法。文獻[2]提出了一組考慮J2項攝動的線性微分方程，形式類似于C-W方程但精度更高；文獻[3]將J2項攝動以力函數的形式加入到C-W方程右端，得到了適用于分析攝動長期影響的相對運動方程，并給出了近似的解析解；文獻[4]將相對運動方程中引力作用的非線性項和參考星的偏心率視為導致C-W誤差的2種攝動，結合J2項攝動，得到了可描述橢圓參考軌道和包含J2項攝動的C-W方程，并以狀態方程的形式表現出來。2)基于軌道根數的攝動分析法。文獻[5]分析了大氣阻力攝動對衛星編隊構型的影響，得到了不同初始相位環繞星的長半軸攝動方程，并提出了補償大氣阻力攝動影響的長半軸修正方法；文獻[6]采用相對軌道根數法推導出了包含大氣阻力攝動的衛星編隊相對運動的狀態轉移方程，得到了大氣阻力攝動主要影響編隊構型沿航跡方向相對距離的結論；文獻[7]把用狀態轉移法獲得的衛星編隊相對運動分析解表達成無奇點軌道根數形式，分析了J2項攝動下構型的長期演化機理，并推導出了解析表達式；文獻[8]利用J2項攝動下順根與平根的轉化，建立了基于初始軌道根數和瞬時軌道根數差的參考軌道為橢圓的編隊相對運動方程，分析了J2項攝動對編隊構型的長期影響。但隨著研究的深入，2種方法的利弊也逐漸顯現。方法1便于理論分析，且由于該方法可以獲得相對運動方程的解析解，故計算耗時短。但該方法在相對運動方程的建模過程中誤差較大且使方程成立的前提條件較多，不適宜描述衛星編隊的長期飛行[9]。方法2沒有考慮軌道為圓軌道和星間距離足夠小的限制，便于研究攝動對構型的影響。但該方法中變量的幾何和物理含義不明晰，計算過程較繁瑣。

本文從衛星編隊飛行的相對運動動力學模型出發，分別將J2項攝動、大氣阻力攝動考慮進去，對衛星編隊在這2種攝動的綜合作用下構型的演化情況進行分析。由于該方法沒有經過任何簡化和線性化處理，故可以得到很高精度的解，且得到的動力學方程便于今后的編隊隊形控制研究。

1 衛星編隊飛行相對運動動力學模型

1.1 坐標系定義

考慮衛星編隊飛行相對運動動力學分析過程中涉及2顆衛星，即參考星和環繞星，研究相對運動動力學模型采用如下2個坐標系：

1)地心赤道坐標系(OXYZ)：坐標原點位于地心O，以赤道面為基準面，OX軸指向平赤道面上的平春分點，OZ軸垂直于平赤道面指向北極，OY軸與OX軸、OZ軸構成右手坐標系。通常將地心赤道坐標系視為地心慣性坐標系，本文采用J2000地心赤道坐標系；

2)Hill坐標系(oxyz)：坐標原點位于參考星的質心o，ox軸沿地心與參考星質心的連線背向地心，oy軸在軌道平面內垂直于ox軸并指向參考星運動方向，oz軸與ox軸、oy軸構成右手坐標系。通常將oy軸方向稱為沿航跡方向，oz軸方向稱為垂直于航跡方向。Hill坐標系是一種RTN坐標系(即徑向、航向、法向坐標系)，在相對運動動力學分析中應用廣泛，它與地心赤道坐標系的關系如圖1所示。

圖1 地心赤道坐標系和Hill坐標系

1.2 相對運動動力學模型

參考星和環繞星在地心慣性坐標系中的位置矢量分別用r1和r2表示，則環繞星相對參考星的相對位置矢量為：

r=r2-r1

(1)

參考星和環繞星在地心慣性坐標系下的軌道動力學方程可以表示為：

(2)

(3)

式中，μ為地球引力常數，r1和r2分別為參考星和環繞星的地心距，f表示除地球引力之外的所有攝動力和控制力引起的加速度之和。

根據式(1)～(3)，可以推得：

(4)

式(4)為地心慣性坐標系中環繞星相對參考星的相對運動動力學方程，其中兩星的運動狀態是隨時間不斷變化的，故式(4)為一個非線性時變系統。若基于以下3點假設：地球為理想球體、參考星運行于標準圓軌道及參考星與環繞星相對距離足夠近，可將式(4)轉換到Hill坐標系中進行線性化并忽略二階小量，得到相對運動的分量形式如下：

(5)

式中，n為參考星平均軌道角速度，x，y，z為環繞星在參考星Hill坐標系中的相對位置分量，fx，fy，fz為除地球引力之外兩星所有攝動力和控制力引起的加速度之和在Hill坐標系中的分量。式(5)即為著名的C-W方程(亦稱Hill方程)，在不考慮攝動力和控制力的作用下，可以得到其解析表達式。由于解析模型形式簡單、表達清晰，便于定性、定量的分析和控制律的設計，故C-W方程廣泛應用在航天器近距交會對接和衛星編隊飛行的研究初期。但是，C-W方程成立的3點假設、線性化過程中的建模誤差以及空間攝動因素的忽略限制了其在衛星編隊飛行問題中的進一步應用。

2 J2項攝動和大氣攝動對衛星編隊飛行的影響分析

二體假設下，長半軸相等的衛星間的相對運動構型可以保持自然長期穩定。實際上，空間存在多種攝動因素，如地球非球形、大氣阻力、日月三體和太陽光壓攝動，這些攝動將破壞衛星編隊的相對運動構型。根據文獻[10]，不同的攝動對衛星在軌運行影響的量級不同，具體的差異見圖2。

圖2 不同高度攝動力影響分布圖

從圖2可以看出，地球非球形攝動是衛星所受空間攝動的主要來源。而大氣攝動屬于非保守力引起的攝動，其對近地軌道衛星編隊相對運動的長期影響不容忽視。三體攝動和太陽光壓攝動對衛星相對運動的影響很小，可以忽略，本文對此也不予探討。

2.1 J2項攝動對衛星運動的影響

二體條件下，地球被理想化為一個均質球體，地球對衛星的作用力只有中心引力。而實際上地球并非球對稱，質量分布也不均勻，而是具有扁平度的梨形橢球體，導致地球重力場分布不均勻。故衛星在軌道的切線方向和法線方向同樣受到引力作用，將這些額外的力學因素統稱為地球非球形攝動[11]。因此，需在地球引力場位函數中增加一系列球面調和函數，以表示地球引力等位面與等球面的不重合。

目前廣泛采用的地球引力場位函數U可表示為地心距R、地心緯度φ和地心經度λ的函數[12]：

(6)

式中，Re為地球平均半徑；Pn(x)，Pnm(x)分別是勒讓德多項式和締和勒讓德函數；Jn為帶諧項系數，對應的項為帶諧項；Cnm，Snm為田諧項系數，對應的項為田諧調和項。

對于近地軌道衛星，帶諧項的影響遠大于田諧項，而帶諧項系數中屬J2最大，其它系數與其相比均為小量。因此，本文僅考慮J2項攝動對衛星編隊飛行的影響，可將式(6)簡化為：

(7)

考慮J2項攝動后，在地心慣性坐標系中，單顆衛星的運動方程為：

(8)

(9)

給定衛星的初始位置和速度后(或衛星的初始軌道根數)，可利用數值積分法對式(9)進行求解，從而得到J2項攝動作用下單顆衛星運行軌道的演化進程。

2.2 大氣阻力攝動對衛星運動的影響

除J2項攝動外，大氣阻力是影響近地軌道衛星編隊構型穩定的另一種重要的攝動力，其引起的單顆衛星加速度值為[13]：

(10)

式中，CD為大氣阻力系數；A為衛星的迎風截面積；m為衛星質量；ρ為大氣密度；vrel為衛星相對于當地大氣的速度，可通過式(11)求得。其中，R為衛星在地心慣性坐標系中的位置矢量，ω為地球的自轉角速度，方向指向Z軸正向，大小為7.29211515×10-5rad/s。

(11)

計算大氣阻力攝動引起的加速度，需要確定大氣模型。在簡單的軌道分析與計算中，常采用指數函數大氣密度模型[14]：

ρ=ρ0e-(R-R0)/H

(12)

式中，ρ0為參考點大氣密度；R0為參考點高處的地心距；H為密度標高。

僅考慮大氣阻力攝動，在地心慣性坐標系中，單顆衛星的運動方程為：

(13)

給定衛星的初始位置和速度后(或衛星的初始軌道根數)，同樣可利用數值積分法對式(13)進行求解，從而得到大氣阻力攝動作用下單顆衛星運行軌道的演化進程。

2.3 綜合J2項攝動和大氣阻力攝動對衛星編隊飛行的影響分析

結合式(9)和式(13)，可得單顆衛星在J2項攝動和大氣阻力攝動共同作用下的運動方程為：

(14)

Rrel=(X2-X1,Y2-Y1,Z2-Z1)

(15)

(16)

利用參考星的位置和速度，可以計算出其在各個時刻的軌道根數，從而可以得到地心慣性坐標系到Hill坐標系的轉換矩陣，將參考星與環繞星之間的相對運動轉換到Hill坐標系中。

r=R(ω)R(i)R(Ω)R(θ)Rrel

(17)

v=R(ω)R(i)R(Ω)R(θ)Vrel

(18)

其中，坐標轉換矩陣的具體表示如下：

3 仿真分析

下面對J2項攝動作用下、大氣阻力攝動作用下以及J2項和大氣阻力攝動綜合作用下衛星編隊構型的演化過程進行仿真分析。編隊衛星的相關設計參數參考德國與加拿大合作的TECSAS項目中的航天器，見表1，該項目主要是為空間在軌服務所需的一系列軟、硬件技術提供驗證。盡管TECSAS項目最終沒有正式實施，但項目中航天器的相關設計參數卻是研究衛星編隊飛行的理想參考。以橢圓編隊構型為約束，設定參考星和環繞星的初始軌道參數如表2所示。仿真中所涉及的常量取值如下：地球引力常數μ=398600km3/s2，地球平均半徑Re=6378.14km，帶諧項系數J2=0.00108263。

表1 編隊衛星相關設計參數

表2 衛星編隊飛行初始軌道參數

僅考慮J2項攝動，仿真時間t=36000s(衛星軌道周期T=5370.3s，即衛星運行6.7個周期)，衛星編隊構型的演化進程如圖3所示。由圖可見，J2項攝動的存在使編隊構型的相對運動軌道面略有轉動，且在x-y，x-z和y-z平面內都產生不同程度的漂移。具體到Hill坐標系中的3個方向上，編隊中參考星和環繞星的相對運動位置在仿真時間內的漂移量如圖4所示。

圖3 J2項攝動作用下衛星編隊構型的演化

圖4 J2項攝動作用下衛星編隊相對運動位置變化

僅考慮大氣阻力攝動，相同的仿真時間內，衛星編隊構型的演化進程如圖5所示。由圖可見，大氣阻力攝動對編隊構型的影響較小。因為有研究表明：當編隊衛星姿態與面質比相差不大時(參考星面質比為0.01268，環繞星面質比為0.01)，大氣阻力攝動對于相對運動的影響是很小的[7]。從圖6中的衛星編隊相對運動位置變化中可見，大氣阻力攝動對兩星相對運動位置的影響主要體現在y方向(即沿航跡方向)上，而對z方向和x方向上(即垂直于航跡方向的平面內)的相對運動位置影響甚微。若將環繞星的迎風截面積夸大為50m2，則可清晰地看出大氣阻力攝動對衛星編隊構型的影響，如圖7所示。

圖5 大氣阻力攝動作用下衛星編隊構型的演化

圖6 大氣阻力攝動作用下衛星編隊相對位置變化

圖7 大氣阻力攝動作用下衛星編隊構型的演化(迎風截面積放大后)

綜合考慮J2項攝動和大氣阻力攝動，衛星編隊構型的演化進程如圖8所示。從圖9中可見，環繞星相對于參考星在x方向和y方向上的最大相對距離逐漸增大，而在z方向上的最大相對距離逐漸減小，但最主要的還是相對位置在y方向上的長期漂移，這與文獻[15]的研究結論是一致的。且就空間中的最大相對距離而言，在上述2種攝動的綜合作用下，環繞星距離參考星的最大相對距離是逐漸發散的，如圖10所示。

圖8 J2項和大氣阻力攝動作用下衛星編隊構型的演化

圖9 J2項和大氣阻力攝動作用下衛星編隊相對位置變化

圖10 環繞星相對于參考星的距離隨時間的變化

4 結論

通過分析衛星編隊在J2項攝動、大氣阻力攝動以及這2種攝動的綜合作用下構型的演化進程，可以得出以下結論：

1)近地軌道衛星所受到的眾多空間攝動中，地球非球形攝動中的J2項對衛星編隊構型的影響是最主要的。其對衛星編隊構型的影響體現在2方面：①相對運動軌道面的空間轉動；②相對運動軌道面產生的整體漂移。

2)大氣阻力攝動對衛星編隊構型的影響主要是導致沿航跡方向的相對漂移。但當編隊衛星的面質比較小且相互間差別不大時，大氣阻力攝動對衛星編隊構型在較短時間段內的影響可以忽略不計。

但這些攝動并非不可利用，例如可以利用大氣阻力攝動順勢而為之，實現對編隊衛星的氣動控制等，這可作為下一步的研究工作。

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