關于模糊值凸函數的共軛問題的研究

包玉娥,趙博,彭曉芹

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古通遼 028043)

關于模糊值凸函數的共軛問題的研究

包玉娥,趙博,彭曉芹

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古通遼 028043)

在Goetschel-Voxm an所引進的序關系下,首先給出了模糊值凸函數的共軛函數的概念,并證明了模糊值凸函數的共軛函數是模糊值凸函數等相關性質;其次給出了模糊值凸函數的二次共軛函數的概念,并證明了相關性質;最后討論了模糊值凸函數的共軛與下卷積之間的關系,證明了兩個模糊值凸函數的共軛函數與其下卷積的共軛函數之間的等式關系.

凸模糊值函數;共軛函數;下卷積;次微分

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.001

1 引言

關于凸函數的共軛問題是凸性理論中的一個重要研究課題,它在數學規劃中的作用越來越受到重視[1].為了建立模糊規劃的共軛對偶理論,2007年張成和袁學海在文獻[2]中利用模糊數的偏序關系[3]給出了模糊值凸函數(凸模糊映射)的共軛映射的概念,證明了其共軛映射是一個凸映射.利用Goetschel-Voxman在文獻[4]中所給出的序關系,在文獻[5]中討論了模糊值函數的凸性與次可微性問題,給出了次微分的若干重要性質;在文獻[6]中建立了模糊值凸函數的右乘與下卷積的概念,討論了有關的基本性質.在此基礎上,本文利用Goetschel-Voxm an所給出的序關系,討論模糊值凸函數的共軛問題,證明了其共軛映射是模糊值凸函數,為進一步研究模糊規劃的共軛對偶理論打下了良好的基礎.

2 預備知識

實數集R上的一個模糊集u:R→[0,1]稱為模糊數,如果u是正規的,凸的,上半連續的,且支集是緊集.用F0表示R上的所有模糊數構成的空間,稱其為模糊數空間.

3 主要結果

4 結論

凸函數的共軛問題是凸性理論中的一個重要研究課題,它在數學規劃中的作用越來越受到重視.本文為了更好地探討模糊規劃的共軛對偶理論,利用Goetschel-Voxman所給出的序關系,討論了模糊值凸函數的共軛問題,證明了其共軛映射是模糊值凸函數,并給出了模糊值凸函數的二次共軛函數的概念,證明了相關性質;同時討論了模糊值凸函數的共軛與下卷積之間的關系.在此基礎上,,將要利用模糊值凸函數的共軛函數研究模糊規劃的對偶問題.

[1]Walk M.Theory of Duality in M athematical Programm ing.Banach[M].New Year:Springer-Vienna,1989.

[2]張成,袁學海.凸模糊映射的共軛映射[J].數學研究與評論,2007,4:839-844.

[3]Nanda S.On Fuzzy Integrals[J].Fuzzy Sets and System s,1989,32:95-101.

[4]Goetschel-Voxman W.Elementary fuzzy calculus[J].Fuzzy Sets and System s,1986,18:31-34.

[5]關世霞,包玉娥,趙慧冬.模糊值函數的凸性與次可微性[J].純粹數學與應用數學,2012,28(5):676-686.

[6]趙博,包玉娥,彭曉芹.一類模糊值凸函數的若干運算性質[J].模糊系統與數學,2012,26(5)167-171.

[7]Hong Yan,Jiuping Xu.A class of convex fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets and System s,2002,129:47-56.

[8]鞏增泰,李紅霞.模糊數值函數的微分和梯度及其應用[J].高等應用數學學報,2010,25(2):229-238.

The research on con jugate p rob lem of fuzzy-valued convex function

Bao Yu′e,Zhao Bo,Peng Xiaoqin
(College of Mathematics,Inner M ongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

In this paper,based on the ordering introduced by Goetschel-Voxman,we f rstly give the concep tion of the conjugate function for fuzzy-valued convex function and p rove some related p roperties,e.g.the conjugate function of fuzzy-valued convex function is also fuzzy-valued convex function.Second ly,we def ne the secondary con jugate function of the fuzzy-valued convex function and prove relevant p roperties.Finally we discuss the relationship between the con jugate and infmal convolution of the fuzzy-valued convex function and p roved the equated relationship between the con jugate function of two fuzzy-valued convex functions and the conjugate function of infmal convolution.

fuzzy-valued convex function,con jugate function,infmal convolution,subdif erential

O 159.2

A

1008-5513(2013)04-0331-07

2012-09-05.

內蒙古自然科學基金(2010M S0119).

包玉娥(1962-),博士,教授,研究方向:凸性理論及其應用、模糊分析.

2010 M SC:03E72