一類帶有交叉擴散的捕食模型的共存問題

張航國,容躍堂,張曉晶

(西安工程大學理學院,陜西西安 710048)

一類帶有交叉擴散的捕食模型的共存問題

張航國,容躍堂,張曉晶

(西安工程大學理學院,陜西西安 710048)

研究帶有齊次D irichlet邊界條件的捕食-食餌模型,得到了平凡解存在的條件,并給出半平凡解存在的充分條件以及解的先驗估計,最后利用Shauder不動點定理,得到問題至少有一個正解存在的充分條件.該結果說明只要捕獲率足夠小,物種的交叉擴散相對弱,問題就至少存在一個正解.

捕食-食餌模型;交叉擴散;自擴散

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.011

1 引言

近年來,越來越多的學者開始致力于帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型的研究,也取得了一些重要的成果[1-8],由于種群間的相互影響在種群擴散中起的很重要的作用,在實際中帶有交叉擴散項的情況更能準確的反映捕食活動中捕食者和食餌關系,因此,帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型的研究有著實際背景.本文考慮具有交叉擴散和自擴散項的捕食-食餌模型:

其中,?是Rn中具有光滑邊界??上的有界區域,u(x,t)≤0,v(x,t)≥0分別表示食餌和捕食者的種群密度.這里a,b,c,m,n＞0,αi,βi≥0且均為常數,且α1,β2自擴散系數,α2,β1為交叉擴散系數.不考慮自擴散和交叉擴散的影響,即αi=βi=0(i=1,2),文獻[1]對于這類捕食系統的分歧解研究,得到了該系統平衡態的全局分歧解及其走向;考慮交叉擴散的影響,文獻[2]對帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型進行了分析,討論了局部分歧正解的存在性以及正解的先驗估計,得到了捕食者與食餌在一定條件共存的條件.然而,現實中有必要研究種群內部個體之間的競爭,考慮具有交叉擴散和自擴散項的捕食-食餌模型[3-7].本文研究當αi,βi≥0(i=1,2)時,在齊次Dirichlet邊界條件下系統的共存問題.

以下λ＞0表示(-?)算子的第一特征值,?＞0是對應λ的特征函數,且‖?‖∞,?=1

2 預備知識

3 解的先驗估計

4 平凡解存在的條件

5 非凡解存在條件

則A s是B到自身的連續算子且AB是預緊的,由Schauder不動點定理,A在B中有不動點,即問題(15)的古典解,因而問題(2)在?中至少存在一個正解.

注1定理5.4的條件說明,在a＞λ,c＞λ的前提下,只要b充分小,β1,α2相對小,即捕獲率足夠小,物種的交叉擴散相對弱,問題就至少存在一個正解.

[1]馮孝周,李艷玲.一類帶Holling和Leslie types反應項的捕食系統的分歧解[J].山東大學學報,2009,44(6):79-90.

[2]柴俊平,李艷玲.帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型的全局分歧[J].紡織高?；A科學學報,2011,24(4):489-494.

[3]周玲.具II型Holling功能性反應強藕合橢圓系統的共存問題[J].數學學報:中文版,2006,49(4):827-834.

[4]Ruan W H.posite steady-state solutions of a com peting resction-dif usion system w ith large cross-Dif usion coef cients[J].M ath.A pp l.,1996,197:558-578.

[5]葉其孝,李正元,王明新,等.反應擴散方程引論[M].2版.北京:科學出版社,2011.

[6]Gilgarg D N,Trudinger N.Ellip tic Partial Dif erential Equations of Second Order[M].New York:Springer, 1983.

[7]Shim S A.Long-tim e properties of p rey-p redator system w ith cross-d if usion[J].Comm un.Korean M ath., 2006,21(2):293-320.

[8]容躍堂,賈悅利.半線性拋物型方程組解的整體存在性與爆破速率估計[J].純粹數學與應用數學, 2007,23(4):432-438.

[9]GanW,Lin Z.Coexistence and asym ptotic periodicity in a com petitor-com petitor-mutualistmodel[J].M ath. Anal.,2008,337:1089-1099.

Coexistence of a p rey-p redator m odel w ith cross-d if usion

Zhang Hangguo,Rong Yuetang,Zhang Xiaojing

(School of Science,X i′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China)

A p redator-p rey modelw ith homogeneous Dirich let boundary conditions of is studied.The suf cent conditionsof trivialsolution and sem i-trivial solutionsare given,estimates of the solutionsaregiven also.Finally by using the Shauder f xed point theorem,suf cient cond ition for the existence of positive solu tions is obtained. The resu lts show that as long as the cap tu re rate is sm all enough,cross-dif usion species are relatively weak,the p rob lem on the existence of at least one positive solution.

p redator-p rey model,cross-dif usion,self-dif usion

O175.26

A

1008-5513(2013)04-0403-11

2013-05-01.

陜西省教育廳自然科學基金(12JK 0859).

張航國(1986-),碩士生,研究方向：偏微分方程及應用.

2010 M SC:38Q80