規定水平下重置期權的有限差分解

朱盛,班濤,何華飛

(河南理工大學數學與信息科學學院,河南焦作 454003)

規定水平下重置期權的有限差分解

朱盛,班濤,何華飛

(河南理工大學數學與信息科學學院,河南焦作 454003)

利用Black-Scholes偏微分方程,結合重置期權與關卡期權的關系,建立了規定水平下的重置期權定價模型,最后運用C-N格式和θ法構造該模型的有限差分格式.

重置期權;期權定價;C-N差分格式;θ法

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.004

1 引言

隨著國際金融市場不斷創新與發展,為滿足客戶的個性化需求,大量由標準期權變化組合派生出來的新型期權應運而生,比如重置期權、博弈期權等[1].重置期權就是其中一種被市場歡迎和認可的新型期權.它是這樣一張期權合約,當標的資產價格達到某一預先給定的水平時,按合約規定,將重新設定敲定價格,以使持有人有更多的獲利機會[2].這樣的重新設定可以是一次也可以是多次.

重置期權可以分為兩大類:(1)規定水平的重置期權;(2)規定時間的重置期權.作為一種衍生證券,重置期權的定價取決于標的資產價格的變化.由于標的資產價格變化具有隨機性,因而由此衍生產生的重置期權的價格變化亦必是隨機的[3].

文獻[4]對跳躍擴散模型下重置期權定價問題作出研究,并推導出相應的定價公式.對于多個重置時間的重置期權定價問題,文獻[5]進行了深入的探討,得出相應的計算格式和算法,并證明了其方法的收斂性和有效性.文獻[6]利用風險中性定價原理,得到股價服從指數O-U過程的多個重置日期和若干個執行價格的重置期權定價模型.文獻[7]在假設利率服從擴散的Vasicek模型以及標的資產服從分數跳躍擴散過程的條件下,利用無套利理論,構建出規定時間的重置期權定價公式.文獻[8]對規定水平下重置期權價格的精確解作出研究.然而,隨著執行價格重置次數的增加以及相關參數的一般化,重置期權價格的解析解變的非常復雜,甚至不實用,不能很好地滿足投資者的需求.因此,對重置期權價格的數值解進行探討有著重要的現實意義和實用價值.

本文主要研究規定水平下重置期權的有限差分解.文中首先利用Black-Scholes偏微分方程建立了規定水平下的重置期權定價模型,運用C rank-Nicolson格式和θ法構造該模型的有限差分格式,并對兩種數值方法的優缺點進行比較.最后,結合實際案例,利用Matlab程序計算相應的數值解,進而對兩種方法的有效性進行驗證.

2 重置期權的數值解法

2.1 C rank-N icolson差分格式

2.2 θ法

2.3 兩種差分格式的比較

以上,通過兩種方法對重置期權價格所滿足的常系數拋物型方程構造了差分格式.兩種方法各有優勢,可根據不同的需求選擇相應的差分格式.Crank-Nicolson格式是無條件穩定的,對步長比沒有任何限制,因此利用這種格式進行計算時,可根據實際情況確定不同的步長比.比如,可以取較大的步長比,從而達到減少計算工作量的目的.然而,θ法則不同.當0≤θ＜0.5時,該差分格式是條件穩定的,需要選取合適的步長比來保證差分格式的穩定性;當0.5≤θ≤1時,該差分格式是無條件穩定的(證明方法類似于文獻[12]).從穩定性的角度來說,顯然Crank-Nicolson格式較θ法有一定的優勢,可以通過改變步長比減少計算工作量,并能得到較高精度.從精度的角度來看,θ法可以通過改變步長比,進一步減少截斷誤差,提高精度.另外,當θ=0.5時,通過θ法構造的差分格式即是Crank-Nicolson格式,因此可以認為θ法是C rank-Nicolson格式的推廣.

3 案例分析

現有參數如下的重置看漲期權:

下面分別利用Crank-Nicolson格式和θ法計算出重置期權價格的數值解,并與精確解作出相應的比較,具體數據如下(見表1):

表1 重置期權價格的數值解與精確解比較

在表1中,重置執行價格K1分別取不同的值,從而對應的重置期權價格相應地發生變化.數據表明,用Crank-Nicolson格式和θ法求解重置期權價格數值解都與其精確解比較接近的,因此這兩種方法是有效的.

4 結論

重置期權是一種路徑依賴期權,在金融市場中扮演重要的角色,也是金融工程領域研究熱點之一.本文在Black-Scholes關于標的資產價格和市場完備性的相關假設條件下,根據B-S偏微分方程和關卡期權定價模型,構建出規定水平下重置看漲期權定價模型.然后,對該模型進行換元,將該模型轉換為常系數拋物型方程的Cauchy問題,并通過運用Crank-Nicolson法和θ法構造出其有限差分格式.最后,運用Matlab程序對該方法進行實現.計算結果表明:本文所提出的兩種方法均是有效的.然而,文中只研究執行價格最多重置一次的重置期權定價問題,對于可多次重新設定執行價格的重置期權定價問題仍有待后續研究.

致謝感謝審稿專家和責任編輯的意見和建議.

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Fin ite d if erential solu tions of level-required reset op tion

Zhu Sheng,Ban Tao,He Huafei
(School of Mathematics and Information Science,Henan Poly technic University,Jiaozuo 454003,China)

Based on the relation between barrier op tions and reset op tions,the p ricing model of the levelrequired reset op tion can be established by using the B lack-Scholes partial d if erential equation.Finally,the paper builds fnite dif eren tial schem es of them odel by the C-N schem e and-m ethod.

reset options,op tion pricing,C-N dif erential scheme,θ-method 2010 M SC:60G05

O211. 6;F830

A

1008-5513(2013)04-0350-09

2013-05-20.

國家自然科學基金(11226254);河南省教育廳科學技術研究重點項目(12B 110010);應用數學省級重點學科.

朱盛(1980-),講師,研究方向：金融衍生產品定價.