橢圓雙曲線焦點弦問題新解

羅榮建

（馬關縣第一中學，云南 馬關 663700）

橢圓雙曲線焦點弦問題新解

羅榮建

（馬關縣第一中學，云南 馬關 663700）

橢圓雙曲線焦點弦問題是高考經常考查的內容，用常規方法解答此類問題，計算量大，多數考生費時費力最終不能圓滿計算出結果，文章給出解答此類問題的一種新方法。

高考真題；橢圓雙曲線；焦點弦

查閱近6年的高考真題，橢圓雙曲線焦點弦問題在高考中最常見，在全國及各省市的高考題中。焦點弦問題較多。解答此類題的方法最常見的有兩種，一是用弦長公式求解。二是用圓錐曲線的定義，即圓錐曲線上的點到焦點的距離與它到對應準線的距離之比等于常數 來求解。兩種方法的優點是入手容易，缺點是化簡計算太復雜，特別是碰上含有兩個參數以上的參數方程的化簡更是難上加難。

為解決橢圓雙曲線焦點弦計算難的問題，筆者在多年高三教學實踐中，發現了解答橢圓雙曲線焦點弦問題的一組結論，用它來解決橢圓雙曲線焦點弦問題顯得簡易快捷。筆者先給出三個定理及其推論的證明。

1 橢圓的焦點弦定理

定理1若橢圓的左右焦點是F1，F2。過焦點F2且傾斜角為θ的直線L與 C相交于A，B兩點，則焦點弦。

圖1 示意圖

推論：若r1，r2是橢圓同焦點弦的兩個焦半徑，則。

2 雙曲線的焦點弦定理Ⅰ

定理2若雙曲線的左右焦點分別是F1，F2，過焦點F2且傾斜角為θ的直線L與C相交于一支上的A，B兩點，則焦點弦。

（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos（π-θ）。

（2a+r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ

圖2 示意圖

推論：若r1，r2是雙曲線同焦點弦的兩個焦半徑，則。

3 雙曲線焦點弦定理Ⅱ

定理3若雙曲線的左右焦點分別是F1，F2，過右焦點F2且傾斜角為θ的直線L與C相交于雙曲線的左右兩支交點分別是A，B，則焦點弦。

圖3 示意圖

于是，在BF2F1中，

根據余弦定理，

（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos θ

根據余弦定理，

（r2-2a）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ

推論：若r1，r2是雙曲線同焦點弦的兩個焦半徑，則。

事實上，以上三個定理的共同特征有4個：（1）它們指出了在橢圓雙曲線中的常數a、c，直線的傾斜角θ和弦（或F分所成的比r1/r2）這三組量之間的相互關系。在這三組量中，知道其中兩組量就可以求另一組量；（2）三個定理的推導簡單直觀，它給出了解橢圓雙曲線焦點弦問題的另一種方法，定理的推導過程就是解題的步驟，所以結論不需要記憶；（3）推論是用來解決橢圓雙曲線焦點F分所成的比r1/r2的常用關系式，在解答相關高考問題時非常好用；（4）用三個定理解決橢圓雙曲線的焦點弦問題，解題思路清晰，推理過程簡單，實用性強、操作方便，它突破了用常規解法解答焦點弦問題時碰到的化簡難困擾。

當橢圓雙曲線的焦點在y軸上時，三個定理形式類同，推導過程完全類似，請讀者自己試一試。

現舉例對比分析如下：

例1 （2010年遼寧理科數學高考真題［3］）如圖4，設橢圓的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線L的傾斜角為60°，。

① 求橢圓C的離心率；

解法1：（常規解法）

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1y2＜0 。

點評：本題的解答，考生感到最困難的是把直線方程代入橢圓方程后的消元化簡整理，因為計算難，導致學生失去信心而計算不出結果，費時費力。

解法2.（新解法）

解：如圖4，

圖4 示意圖

① 根據橢圓的焦點弦定理推論，

② 根據橢圓的焦點弦定理

點評：本題的解答過程，步驟少，計算簡單容易。

筆者在部分數學成績拔尖的學生中調研實驗，用方法二解答本題所用的時間比用方法一解答快3倍。用解法②再舉一例：

圖5 示意圖

（2a-r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos120°

（2a-r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos60°

點評：本題如果用常規方法解答，計算量還是比較大，請讀者不訪試一試。

回顧近幾年的高考題，每年都有幾個省市考橢圓雙曲線焦點弦問題，而且題型變化不大，近三年的高考真題有：2010年全國卷文理科第12題，2010年遼寧文科卷第20題， 2011年四川文科第17題，2011年福建文科第18題，理科第19題，2012年江蘇文科第19題，理科20題，2012年福建文科第19題。2013年有關焦點弦問題將會考什么樣的題目，哪些省市會考到類似的題，我們拭目以待。

參考文獻：

［1］錢珮玲.普通高中課程標準實驗教科書人教版（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2010：32-55.

［2］張建躍.普通高中課程標準實驗教科書人教版［M］北京：人民教育出版社，2012：38-63.

［3］王海平.2006—2010年高考真題匯編［M］.拉薩：西藏人民出版社，2010.

A Magic Solution to Ellipse Hyperbola Focus Chord Problem

LUO Rong-jian
(No.1 Middle School, Maguan 663700, China)

Ellipse Hyperbola focus chord problem is the usual testing contents of the college entrance examination, most of the candidates cannot get the final result satisfactorily using conventional methods to such questions with time. The paper gives a quick and easy method to such questions.

College entrance examination real paper; ellipse hyperbola; focus chord

O122

A

1674-9200（2013）03-0037-05

（責任編輯 李世云）

2013 - 03 - 20

羅榮建（1954 -），男，云南麻栗坡人，馬關縣第一中學數學教師，主要從事高中數學教學工作。