“矩陣乘法”課堂教學研究*

孫 兵，谷徳峰，屈龍江，海 昕

(國防科學技術大學理學院，湖南長沙410073)

矩陣的運算是線性代數課程教學中最重要的問題之一，而矩陣乘法又是這個重要問題中最關鍵的知識點.很多教材直接給出矩陣乘法的公式，然后解釋公式的含義［1－4］.這種方法有其優點，但筆者認為由于這樣的引入沒有任何背景，學生不易接受.

線性方程組及矩陣的初等行變換是貫穿于線性代數這門課程的主線，理解這兩點對掌握線性代數核心思想和概念至關重要.我們在教學的時候，采用了由線性方程組引入矩陣乘法的方法，并由高斯消元法講述求矩陣逆的初等變換法.其引入按照以下順序逐步展開:首先介紹矩陣左乘向量的規則并引入線性方程組的矩陣記號，其次介紹具有相同系數矩陣的線性方程組的矩陣記法，在此基礎上引入矩陣的乘法及矩陣求逆的初等變換法.

1 線性方程組的矩陣表示以及高斯消元法

首先，我們必須解釋上述記號的合理性，以及上述記號與學生已有知識之間的聯系.矩陣A的記法對大部分學生而言不會有異議，問題是，為什么用列向量表示未知變量?用行向量不行嗎?

根據中學所學的知識，方程組的解最終可寫成如下形式:

從這個角度來理解將未知變量寫成列向量形式是很自然的.根據線性方程組，我們可以定義矩陣左乘向量的規則，盡管這只是矩陣相乘的一個特例，但實踐表明，由于相對直觀，學生比較容易理解矩陣左乘向量規則.

大部分教材在講高斯消元法時，都是針對線性方程組的增廣矩陣來說的.我們在實踐中做了一點改變，在課程講解中著重說明了高斯消元法只跟系數矩陣有關，與常數列是無關的.只要將消元的過程代入回去，就可以看到常數列是如何改變的，進而得到方程組的解.針對例1而言，我們求解過程如下:

首先，針對系數矩陣，對原方程組進行消元，并回代:

正是由于對系數矩陣和常數列的行進行了相同的行操作，所以我們可以直接對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換進行求解.

2 同系數矩陣的多個線性方程組的高斯消元法

解:寫成矩陣的形式，上述方程組可寫成Ax=b1和Ay=b2的形式.對于前者，例1已經求出，即注意到上述兩個方程組的系數矩陣相同，因此消元的步驟也相同，即

上述方程組可以簡單記作［Ax，Ay］=A［x，y］= ［b1，b2］，即 A［x，y］= ［b1，b2］等價為 Ax=b1且 Ay=b2.

3 矩陣乘法

經過 求 解，例 2 中的 A［x，y］= ［b1，b2］可 以 寫 成的形式.反之，上述等式也可理解成一個矩陣分別左乘兩個不同的向量.這實際就是分塊矩陣的思想.

至此，將例2進行推廣，即對于多個具有相同系數矩陣的線性方程組，我們可以有一個簡單的記號，同時給出矩陣乘法的定義，我們稱之為矩陣乘法的列公式:

從這個公式出發，可以給出矩陣乘法的元素公式和按行展開公式，此處就不再贅述了.這個定義還能說明以下兩個問題:

(1)AB=BA通常不成立，因為等式左邊是對A的列做初等變換，等式右邊是對A的行做初等變換;

(2)AB=O不能說明A=O或B=O，因為齊次線性方程組Ax=0可以具有非零解，而將若干非零解并置得到的矩陣B一定滿足AB=O.

4 矩陣的逆

利用例2和上述引入矩陣乘法的過程，“初等變換求矩陣的逆”這部分很容易講透，因為對于給定的n階方陣An而言，求解A－1n的過程實際上就是求解n個線性方程組的過程，這n個方程組對應的解就是A－1n的n個列.

線性方程組的高斯消元法是貫穿于線性代數這門課程的一條主線，由于學生在中學階段已有這方面的相關知識，因此從線性方程組出發引入線性代數相關思想和概念相對比較容易讓學生接受.

［1］馮良貴，戴清平，李超，等.線性代數與解析幾何［M］.北京:科學出版社，2008.

［2］上海交通大學數學系線性代數課程組.線性代數［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［3］李尚志.線性代數［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］李尚志.數學的神韻［M］.北京:科學出版社，2012.