“整體法”在微積分計(jì)算中的應(yīng)用*

何少芳，鄒銳標(biāo)

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南 長沙410128)

在微積分的計(jì)算中，有函數(shù)求極限、求導(dǎo)數(shù)與微分及求不定積分等重要運(yùn)算.其中，在函數(shù)求極限的方法中，應(yīng)用兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小替換、冪指函數(shù)的恒等式法求未定式極限時(shí)，利用“整體法”對以上方法進(jìn)行拓展，用更直觀、更容易理解的形式體現(xiàn)，可使我們在求函數(shù)極限時(shí)更簡便、快捷;在求導(dǎo)數(shù)及微分的運(yùn)算中，應(yīng)用“整體法”將基本求導(dǎo)公式拓展，有利于我們對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及函數(shù)一階微分形式不變性的掌握;在求不定積分的運(yùn)算中，利用“整體法”將基本積分公式延展，能使我們對求不定積分的第一類換元法理解得更深刻，從而更容易掌握求不定積分的第一類換元法.

1 “整體法”在函數(shù)求極限中的應(yīng)用

1.1 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限

1.2 利用等價(jià)無窮小替換求函數(shù)極限

當(dāng)x→0時(shí)，將常用的等價(jià)無窮小量中的x看成一個(gè)整體Δ，得到拓展后的常用等價(jià)無窮小，如當(dāng)Δ→0時(shí)，有sinΔ等價(jià)于Δ，arc sinΔ等價(jià)于Δ，ln(1+Δ)等價(jià)于Δ，利用這些“整體化”后的等價(jià)無窮小量，使得求函數(shù)極限運(yùn)算更方便.

1.3 “整體法”在冪指函數(shù)未定式求極限中的應(yīng)用

在恒等式x=elnx中，利用“整體法”將等式中的x看成一個(gè)整體Δ，有恒等式Δ=elnΔ，從而冪指函數(shù)有恒等式［f(x)］g(x)=eg(x)lnf(x)，當(dāng)冪指函數(shù)［f(x)］g(x)是 1∞，00，∞0三種未定式時(shí)，g(x)lnf(x)是0*∞ 型未定式，將其轉(zhuǎn)化為，或型未定式，則可考慮用洛必達(dá)法則求出函數(shù)的極限.

2 “整體法”在求導(dǎo)數(shù)及微分中的應(yīng)用

在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法中有定理［2］:如果u=g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且求導(dǎo)數(shù)為 y′=f′(u)*g′(x).我們將定理中的u=g(x)看成一個(gè)整體，y=f(u)是“整體”u=g(x)的函數(shù)，則有“整體法”求導(dǎo)公式［f(Δ)］′=f′(Δ)* Δ′.由此，我們利用“整體法”可將基本求導(dǎo)公式延拓，如 (Δn)′=n* Δn-1* Δ′，(aΔ)′=aΔ*lna* Δ′.同理，在一階微分形式不變性中，也可利用“整體法”得到微分公式dy=f′(Δ)dΔ(不論Δ是x還是x的函數(shù)等式都成立).

3 “整體法”在不定積分計(jì)算中的應(yīng)用

在求不定積分方法之第一類換元法中，有定理［2］:已知∫f(u)du=F(u)+C，u= φ(x)可導(dǎo)，則有換元公式∫f(φ(x))φ′(x)dx=f(φ(x))dφ(x)=F(φ(x))+C.我們將定理中的u=φ(x)理解為一個(gè)整體Δ，則有換元公式∫f(Δ)dΔ =F(Δ)+C，由此可將基本積分公式“整體化”為+C等.

4 小結(jié)

“整體法”并非是微積分運(yùn)算中的新方法，只是在求極限、求導(dǎo)數(shù)與微分、求不定積分運(yùn)算中，將其運(yùn)算方法的理論依據(jù)(即相關(guān)定理)用更直觀、更形象的方式來表達(dá)，并將其中用到的方法及基本求導(dǎo)公式、求積分公式進(jìn)行拓展.“整體法”這種更容易理解和接受的表現(xiàn)形式，能使我們對運(yùn)算方法的相關(guān)定理理解得更透徹，同時(shí)在微積分的計(jì)算中對這些運(yùn)算方法的使用更加靈活自如.

［1］鄒銳標(biāo)，姚平貴.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)出版社，2011.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.