“整體法”在微積分計算中的應用*

何少芳，鄒銳標

(湖南農業大學理學院，湖南 長沙410128)

在微積分的計算中，有函數求極限、求導數與微分及求不定積分等重要運算.其中，在函數求極限的方法中，應用兩個重要極限、等價無窮小替換、冪指函數的恒等式法求未定式極限時，利用“整體法”對以上方法進行拓展，用更直觀、更容易理解的形式體現，可使我們在求函數極限時更簡便、快捷;在求導數及微分的運算中，應用“整體法”將基本求導公式拓展，有利于我們對復合函數求導法及函數一階微分形式不變性的掌握;在求不定積分的運算中，利用“整體法”將基本積分公式延展，能使我們對求不定積分的第一類換元法理解得更深刻，從而更容易掌握求不定積分的第一類換元法.

1 “整體法”在函數求極限中的應用

1.1 利用兩個重要極限求函數極限

1.2 利用等價無窮小替換求函數極限

當x→0時，將常用的等價無窮小量中的x看成一個整體Δ，得到拓展后的常用等價無窮小，如當Δ→0時，有sinΔ等價于Δ，arc sinΔ等價于Δ，ln(1+Δ)等價于Δ，利用這些“整體化”后的等價無窮小量，使得求函數極限運算更方便.

1.3 “整體法”在冪指函數未定式求極限中的應用

在恒等式x=elnx中，利用“整體法”將等式中的x看成一個整體Δ，有恒等式Δ=elnΔ，從而冪指函數有恒等式［f(x)］g(x)=eg(x)lnf(x)，當冪指函數［f(x)］g(x)是 1∞，00，∞0三種未定式時，g(x)lnf(x)是0*∞ 型未定式，將其轉化為，或型未定式，則可考慮用洛必達法則求出函數的極限.

2 “整體法”在求導數及微分中的應用

在復合函數求導法中有定理［2］:如果u=g(x)在點x處可導，而y=f(u)在點u=g(x)可導，則復合函數y=f(g(x))在點 x 處可導，且求導數為 y′=f′(u)*g′(x).我們將定理中的u=g(x)看成一個整體，y=f(u)是“整體”u=g(x)的函數，則有“整體法”求導公式［f(Δ)］′=f′(Δ)* Δ′.由此，我們利用“整體法”可將基本求導公式延拓，如 (Δn)′=n* Δn-1* Δ′，(aΔ)′=aΔ*lna* Δ′.同理，在一階微分形式不變性中，也可利用“整體法”得到微分公式dy=f′(Δ)dΔ(不論Δ是x還是x的函數等式都成立).

3 “整體法”在不定積分計算中的應用

在求不定積分方法之第一類換元法中，有定理［2］:已知∫f(u)du=F(u)+C，u= φ(x)可導，則有換元公式∫f(φ(x))φ′(x)dx=f(φ(x))dφ(x)=F(φ(x))+C.我們將定理中的u=φ(x)理解為一個整體Δ，則有換元公式∫f(Δ)dΔ =F(Δ)+C，由此可將基本積分公式“整體化”為+C等.

4 小結

“整體法”并非是微積分運算中的新方法，只是在求極限、求導數與微分、求不定積分運算中，將其運算方法的理論依據(即相關定理)用更直觀、更形象的方式來表達，并將其中用到的方法及基本求導公式、求積分公式進行拓展.“整體法”這種更容易理解和接受的表現形式，能使我們對運算方法的相關定理理解得更透徹，同時在微積分的計算中對這些運算方法的使用更加靈活自如.

［1］鄒銳標，姚平貴.高等數學［M］.北京:中國農業出版社，2011.

［2］同濟大學數學系.高等數學(第六版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.