凸域上擬雙曲測地線直徑的Gehring-Hayman恒等式

錢偉茂,張益池

(1.湖州廣播電視大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院,浙江湖州 313000; 2.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程學(xué)院,浙江湖州 313000)

凸域上擬雙曲測地線直徑的Gehring-Hayman恒等式

錢偉茂1,張益池2

(1.湖州廣播電視大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院,浙江湖州 313000; 2.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程學(xué)院,浙江湖州 313000)

將平面Jordan域上關(guān)于雙曲測地線直徑的Gehring-Hayman不等式推廣到n維空間凸域上的擬雙曲測地線.利用M¨obius變換和擬雙曲度量證明了n維空間凸域上連接任意二點x和y的擬雙曲測地線的直徑等于x與y之間的Euclidean距離.所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了相關(guān)已有結(jié)果.

凸域;擬雙曲長度：擬雙曲距離;擬雙曲測地線;Gehring-Hayman不等式

1 引言

其中(1)式中的下確界是對D中全體連結(jié)x,y二點的可求長曲線γ所取,f(z)為D到單位圓B2(0,1)上的任一共形映射.稱(1)式中達(dá)到下確界的曲線γ為D中連結(jié)x與y二點的雙曲測地線.

1962年,文獻(xiàn)[2]得到:

定理1.1[2]設(shè)D是R2中的Jordan域,x,y∈D是任意二點,γ是D中連結(jié)x與y二點的雙曲測地線.若α是D中連結(jié)x與y二點的任意可求長曲線,則

其中4.5≤c1≤17.5是一絕對常數(shù).

稱不等式(2)為雙曲測地線長度的Gehring-Hayman不等式.

1998年,文獻(xiàn)[3]得到:

定理1.2[3]設(shè)D是R2中的Jordan域,x,y∈D是任意二點,γ是D中連結(jié)x與y二點的雙曲測地線.若α是D中連結(jié)x與y二點的任意可求長曲線,則

稱不等式(3)為雙曲測地線直徑的Gehring-Hayman不等式.

上述不等式(2)或(3)在平面擬共形映射[4-6]、共形幾何[7-10]、John圓幾何[11]、Gromov雙曲性[12]及調(diào)和測度[13-14]等理論中均有廣泛的應(yīng)用.

由于Riemann映射定理在高維空間的一般Jordan域上已不再成立,因此在高維空間的一般Jordan域上就不能類似于平面一樣來定義雙曲距離.為此Gehring和Palka在文獻(xiàn)[15]中定義了空間區(qū)域上的擬雙曲度量.其定義如下:

設(shè)D是Rn中的區(qū)域,x1,x2∈D,γ是D中連結(jié)x1與x2二點的任一可求長曲線,稱

為x1,x2在D中的擬雙曲距離,其中(5)中的下確界是對D中全體連結(jié)x1,x2二點的可求長曲線γ所取.稱(5)中達(dá)到下確界的可求長曲線β為D中連結(jié)x1與x2二點的擬雙曲測地線.

1999年文獻(xiàn)[16]中證明了Rn中的任意區(qū)域上連結(jié)任意二點的擬雙曲測地線存在且唯一.擬雙曲測地線和擬雙曲距離有著雙曲測地線和雙曲距離許多類似的幾何與分析性質(zhì).特別是擬雙曲測地線和擬雙曲測距離在高維擬共形映射[17-19]和John域[20-21]等理論中恰好發(fā)揮著雙曲測地線和雙曲距離在平面相應(yīng)理論研究中的作用.

1994年文獻(xiàn)[22]證明了當(dāng)n=2時,不等式(3)對單連通區(qū)域D上的擬雙曲測地線是成立的;當(dāng)n≥3時,若D可以擬共形映射到單位球,則不等式(3)對區(qū)域D上的擬雙曲測地線也是成立的.Pommerenke和Rohde在文獻(xiàn)[3]中猜測不等式(3)對Rn中單連通區(qū)域D上的擬雙曲測地線成立.本文的目的是證明當(dāng)D是Rn中的凸域時,上述Pommerenke和Rohde猜想成立,即證明下面凸域上擬雙曲測地線的Gehring-Hayman恒等式.

定理設(shè)D是Rn中的凸域,x,y是D中任意二點.若γ是D中連結(jié)x,y二點的擬雙曲測地線,則diam(γ)=|x-y|.

2 引理

為了定理證明過程中敘述的方便,在定理證明之前首先建立下列四則引理.

引理2.1[23]設(shè)D?Rn是一凸域,則對任意x,y∈D和0≤α,β≤1,α+β=1,恒有

3 定理的證明

參考文獻(xiàn)

[2]Gehring F W,Hayman W K.An Inequality in the theory of conformal mapping[J].J.Math.Pure Appl., 1962,41:353-361.

[3]Pommerenke Ch,Rohde S.The Gehring-Hayman inequality in conformal mapping[C]//Gehring F W, Duren P L.Quasiconformal Mapping and Analysis.New York:Springer Verlag,1998.

[4]Heinonen J.The diameter conjecture for quasiconformal maps is true in space[J].Proc.Amer.Math.Soc., 1995,123(6):1709-1718.

[5]Martio O,Nakki R.Boundary H¨older continuity and quasiconformal mappings[J].J.London Math.Soc., 1991,44(2):339-350.

[6]Jaenisch S.Length distortion of curves under conformal mappings[J].Michigan Math.J.,1968,15:121-128.

[7]Oyma K.Harmonic measure and conformal length[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1992,115(3):687-689.

[8]Fern′andez J L,Hamilton D H.Length of curves under conformal mappings[J].Comment.Math.Helv., 1987,62(1):122-134.

[9]Gehring F W,Hayman W K,Hinkkanen A.Analytic functions satisfying H¨older conditions on the boundary[J].J.Approx.Theory,1982,35(3):243-249.

[10]Kaufman R,Wu J M.Distances and the Hardy-Littlewood property[J].Complex Variables Theory Appl., 1984,4(1):1-5.

[11]Kim K.Harmonic measure and hyperbolic distance in John disks[J].Math.Scand.,1998,83(2):283-299.

[12]Balogh Z M,Buckley S M.Geometric characterizations of gromov hyperbolicity[J].Invent.Math.,2003, 153(2):261-301.

[13]Bishop C J,Jones P W.Harmonic measure and arclength[J].Ann.Math.,1990,132(3):511-547.

[14]Llorente J G.On the Gehring-Hayman property,the Privalov-Riesz theorems,and doubling measures[J], Michigan Math.J.,2004,52(3):553-571.

[15]Gehring F W,Palka B P.Quasiconformally homogeneous domains[J].J.Analyse Math.,1976,30:172-199.

[16]Gehring F W,Osgood B G.Uniform domains and the quasi-hyperbolic metric[J].J.Analyse Math., 1979,36:50-74.

[17]Herron D A,Koskela P.Conformal capacity and the quasihyperbolic metric[J].Indiana Univ.Math.J., 1996,45(2):333-359.

[18]Martin G J.Quasiconformal and bi-Lipshitz homeomorphisms uniform domains and the quasihyperbolic metric[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1985,92(1):169-191.

[19]Martin G J,Osgood B G.The quasihyperbolic metric and associated estimates on the hyperbolic metric [J].J Analyse Math.,1986,47:37-53.

[20]Herron D A.John domains and the quasihyperbolic metric[J].Complex Variables Theory Appl.,1999,39(4): 327-334.

[21]Gehring F W,Hag K,Martio O.Quasihyperbolic geodesics in John domains[J].Math.Scand.,1989,65(1): 75-92.

[22]Heinonen J,Nakki R.Quasiconformal distortion on arcs[J].J.Anal.Math.,1994,63:19-53.

The Gehring-Hayman identity for the diameter of quasihyperbolic geodesics in convex domain

Qian Weimao1,Zhang Yichi2
(1.School of Distance Education,Huzhou Broadcast and TV University,Huzhou313000,China;
2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Huzhou Vocational and Techincal College, Huzhou313000,China)

Generalize the Gehring-Hayman inequality for the diameter of the hyperbolic geodesics in the plane Jordan domain to the quasihyperbolic geodesics in the convex domain of n-dimensional space.Making use of the M¨obius transformation and the quasihyperbolic metric,we prove that the diameter of the quasihyperbolic geodesics with the endpoints x and y in the convex domain of n-dimensional space is equal to the Euclidean distance between x and y.The obtained result is a generalization and improvement of some known results.

convex domain,quasihyperbolic length,quasihyperbolic distance,quasihyperbolic geodesics, Gehring-Hayman inequality

O174.55

A

1008-5513(2013)03-0241-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.004

2012-08-13.

浙江省自然科學(xué)基金(LY13A010004);國家開放大學(xué)基金(Q1601E-Y);浙江省教育廳基金(Y201223519).

錢偉茂(1962-),副教授,研究方向:復(fù)分析.

2010 MSC:30F45