冪等余Quantale

趙增遜

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)課部,陜西渭南 714000)

冪等余Quantale

趙增遜

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)課部,陜西渭南 714000)

討論了冪等余Quantale與左純元、子余Quantale的一些相關(guān)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)冪等余Quantale的左純元構(gòu)成的集合是對應的子余Quantale;每個冪等余Quantale都可有一個核映射與子余Quantale保持對應關(guān)系;并且冪等余Quantale與核映射,左右純元,Frame等都有一定關(guān)系.

Quantale;子余Quantale;冪等余Quantale

1 引言

Quantale是由Mulvey在1986年研究非交換的C?-代數(shù)時首先引入的,其背景是給量子力學提供新的數(shù)學模型[1].在近20年中,Quantale的理論研究和應用研究得到了很大的發(fā)展,其思想和方法對數(shù)學、邏輯以及理論計算機科學的若干分支產(chǎn)生了較為深遠的影響.隨著文獻[2-3]等的出版,Quantale理論作為一個研究分支已經(jīng)逐漸成熟.文獻[4-7]討論了Quantale的一系列性質(zhì).

2 知識準備

定義2.1設(shè)Q為余Quantale.a∈Q,且a為左側(cè)元(右側(cè)元),若對任意的b∈Q,有a&b=a∨b(b&a=b∨a),則稱a為左純元(右純元).

定義2.2設(shè)Q為冪等余Quantale.若Q=lp(Q),則稱Q為左純余Quantale.由于左純余是雙側(cè)元,而由定義知冪等雙側(cè)元作為的余Quantale是Frame.

定義2.3設(shè)Q為余Quantale,a∈Q且a為左側(cè)元(右側(cè)元).若對任意的b∈Q,有b&a=b∨a(a&b=a∨b),則稱a為左擬純元(右擬純元).

定義2.4設(shè)Q為余Quantale,j為Q上的核映射.若對于任意的a∈Q,g(0&a)≥g(a)則稱g為左側(cè)余核映射.N(Q)表示Q上的所有余核映射之集,其構(gòu)成一個完備格.

令gl=sup{g∈N(Q)|g},則顯然jl為左側(cè)的余核映射.

引理2.1設(shè)P,Q為余Quantale,f:P→Q與g:Q→P是保序映射,并且g是f的左伴隨.若f為余Quantale滿同態(tài),則g保素元.

引理2.2設(shè)Q為余Quantale.若a,b為Q中的左(右)純元,則a&b仍為左(右)純元.

引理2.3設(shè)Q為余Quantale.g為Q上的余核映射,則下述條件等價:

(1)Qj是左側(cè)的子余Quantale;(2)g是左側(cè)的余核映射;(3)gl≥g;(4)Qgl?Qg.

3 主要結(jié)論

命題3.3設(shè)Q為冪等右側(cè)余Quantale.則對于任意s∈Q,-&s:Q→Q為核映射,并且相應的子余Quantale同構(gòu)于s→lQ.

證明首先證明對于任意s∈Q,-&s為核映射.對于任意a,b∈Q,

(1)不增:a&s≥a&0≥a;(2)保序:顯然;(3)冪等:由Q為冪等的容易證明;

(4)閉映射:由引理可知(a&s)&(b&s)=a&b&s&s=a&b&s≤a&b&s,所以-&s為Q的核映射.

下面再證明此核映射的子余Quantale同構(gòu)于s→lQ.

[1]Mulvey C J.On the quantisation of point[J].J.Pure Appl.Algebra,2001,159:231-295.

[2]Rosenthal K I.Quantales and Their Applications[M].London:Longman Scientific and Technical,1990.

[3]David K.Points of Quantales[M].Brno:Cerven,2002.

[4]Karazeris P.Gabriel topologies on coherent quantales[J].J.Pure Appl.Alg.,1998,127:177-192.

[5]Picado J.The quantale of Galois connections[J].Algebra Univers.,2004,52:527-540.

[6]Shmuely Z.The structure of Galois connections[J].Pacific J.Math.,1974,54:209-225.

[7]趙曄,王昌,宋軼文,等.冪等左側(cè)余Quantale的特征[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2011,27(3):334-338.

The indempotent coquantale

Zhao Zengxun
(Shaanxi Railway Institute,Weinan714000,China)

In this article,the related properties between coquantale and left pure unit are discussed,and some related properties of idempotent coquantale and subcoquantale are too.The left pure unit set of idemponent coquantale is corresponding subcoquantale.Every idempotent coquantale has one nuclear mapping to subcoquantale.Also the idempotent coquantale have some relations to nuclear mapping,left and right pure unit,and frame etc.

Quantale,subcoquantale,idempotent coquantale

O153.1

A

1008-5513(2013)03-0282-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.009

2013-01-15.

國家自然科學基金(111712717).

趙增遜(1981-),碩士,研究方向：模糊數(shù)學,代數(shù)學及代數(shù)學史.

2010 MSC:03E72