關于PFI代數的MP濾子

2013-07-07 03:58:50劉春輝

赤峰學院學報·自然科學版 2013年1期

關鍵詞：定義系統

劉春輝

（赤峰學院教務處，內蒙古赤峰 024000）

關于PFI代數的MP濾子

劉春輝

（赤峰學院教務處，內蒙古赤峰 024000）

在文[15]的基礎上,對Fuzzy蘊涵代數的濾子理論作進一步的研究,討論滿足條件(P)的Fuzzy蘊涵代數(簡稱PFI代數)中MP濾子相關性質.獲得了PFI代數中MP的若干等價刻畫;證明由非空集合生成的MP濾子的一個新的表示定理.

模糊邏輯；Fuzzy蘊涵代數；PFI代數；MP濾子；生成MP濾子

1 引言和預備

非經典數理邏輯[1]的一個重要的研究方向是對有關邏輯代數系統的研究.迄今為止,人們已基于不同的蘊涵算子提出了多種邏輯代數系統并詳細地研究了它們的性質[2-7].合適的代數方法在非經典邏輯問題處理中發揮著重要作用.文獻[8]中引入的Fuzzy蘊涵代數(簡稱:FI-代數)邏輯蘊涵連接詞的代數化,它揭示蘊涵算子的共同性質.非經典邏輯中眾多的邏輯代數系統,諸如MV-代數,BL-代數,格蘊涵代數, R0-代數以及剩余格代數等,都可以看成FI代數的特例,因而對FI代數的研究具有廣泛而基本的重要意義,近年來,人們對這一代數結構已做了大量細致的研究工作[9-12].

在對各種邏輯代數的研究中,濾子和理想是兩個重要的概念和工具,它們在反映代數系統自身特性,尤其是在對代數系統完備性的討論中發揮著重要作用.各種代數系統中濾子的性質及其應用已得到廣泛的研究[13-16].為了進一步揭示FI代數特性,在文[15]的基礎上,討論滿足條件(P)的FI代數(簡稱PFI代數)中MP濾子的性質,獲得了一些有意義的結果.

定義1.1[8]稱型代數（X，→,0)為Fuzzy蘊涵代數,簡稱FI代數,若?x,y,z∈X有

(I1)x→(y→z)=y→(x→z);

(I2)(x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(I3)x→y=1;

(I4)x→y=y→x=1?x=y;

(I5)0→x=1.其中1=0→0.

文獻[8],在FI代數中定義了一個偏序≤:x≤y?x→y=1.另外還定義了元素x的偽補x(x)=x→0.若(X,→,0)是FI代數,且?x∈X,xx(x)=x,則稱是正則FI代數.

定義1.2[10]稱FI代數)X,→,0)具有性質(P),若?x,y∈X, A(x,y)的最小元minA(x,y)存在,其中A(x,y)={z∈X|x≤y→z}.并稱具有性質(P)的FI代數為PFI代數.

為方便起見,記x⊙y=minA(x,y),顯然⊙定義了X上的一個適合交換律的二元運算.易知正則FI代數必為PFI代數,下面的例子說明PFI代數不必是正則FI代數,從而PFI代數是一類強于FI代數而又弱于正則FI代數的模糊代數結構.

例1.1設X={0,a,b,c,d,1},在X上定義二元運算→如表1所示,此時⊙的定義如表2:

表1 運算→的定義

表2 運算⊙的定義

則可以驗證(X,→,0)是一個PFI代數,但它顯然不是正則FI代數.

引理1.1[8,11]設(X,→,0)是一個FI代數.則?x,y,x∈X有

(1)x≤1且1→x=→

(2)如果x≤y,則z→x≤z→y且y→z≤x→z;

(3)x≤(x→y)→y;

(4)如果x≤y且y≤z,則x≤z.

(5)c(0)=1,c(1)=0;

(6)x≤cc(x),ccc(x)=c(x);

(7)如果x≤y,則c(y)≤c(x);

(8)(y→z)→((x→y)→(x→z))=1.

引理1.2[10]設(X,→,0)是一個PFI代數,則?x,y,z∈X有

(1)x≤y→x(x⊙y)且x⊙(x→y)≤y;

(2)(x→y)⊙(y→z)≤x→z;

(3)(x⊙y)→z=x→(y→z);

(4)x⊙y≤z?x≤b→c;

(5)x⊙1=x;

(6)a≤b?a⊙c≤b⊙c;

(7)(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z).

2 PFI代數的MP濾子

定義2.1[15]設(X,→,0)是一個FI代數,?≠F?X.如果?x,y∈X都有

(MF1)1∈F;

(MF2)x,x→y∈F?y∈F,

則稱F是X的MP濾子.

注2.1(1)設(X,→,0)是FI代數,則易見{1}和F都是X的MP濾子;

(2)設(X,→,0)是FI代數且F是X的MP濾子,則?x,y∈X,當x∈F且x≤y時必有y∈F,即F是一個上集;

(3)設(X,→,0)是PFI代數且F是X的MP濾子,則?x, y∈F?x⊙y∈F,即F對⊙是封閉的.事實上,設x,y∈F,任取z∈A(x,y),則x≤y→z,于是由x∈F和(2)知y→z∈F,再由y∈F,便得z∈F,由z的任意性以及x⊙y∈A(x,y)便得x⊙y∈F.

下面給出PFI代數中MP濾子的一些特征定理.

定理2.1(MP濾子的特征定理1)設(X→,0),是一個PFI代數且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F為上集且對⊙運算封閉.

證明“必要性”:由注2.1的(2)和(3)顯然.

“充分性”:?x,y∈X,設x∈F且x→y∈F,則由F對⊙封閉得x⊙(x→y)∈F.又

故x⊙(x→y)≤y,從而由F為上集得y∈F.所以(MF2)成立.再由F≠??X和F為上集又知1∈F,即(MF1)也成立.因此由定義2.1知F是X的MP濾子.

定理2.2(MP濾子的特征定理2)設(X→,0)是一個PFI代數且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F滿足(MF1)和

(MF3)?x,y,z∈X,如果x→y∈F且x⊙z∈F,則y⊙z∈F.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則(MF1)成立.現在設x→y∈F且x⊙z∈F,則由定理2.1知(x→y)x⊙z∈F.因為由引理1.2(1)知x⊙(x→y)≤y,故由引理1.2(6)及⊙滿足交換律可得(x→y)⊙x⊙z≤y⊙z,因此由F為上集便得y⊙z∈F,即(MF3)成立.

“充分性”:假設F滿足(MF1)和(MF3),則為證F是X的MP濾子,由定義2.1只需證F滿足(MF2)即可.事實上,設x∈F且x→y∈F,則由引理1.2(5)知x⊙1∈F且x→y∈F,因此由(MF3)和引理1.2(5)便得y=y⊙1∈F,因此(MF2)成立.

定理2.3(MP濾子的特征定理3)設(X,→,0)是一個PFI代數且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當?x,y∈F?↑(x⊙y)?F.其中↑(x⊙y)={z∈X|x⊙≤z}.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則由定理2.1知F為上集且F對⊙封閉.于是如果x,y∈F,則x⊙y∈F.現在任取z∈↑(x⊙y),則(x⊙y)≤z,于是由F為上集便得z∈F.由z的任意性得↑(x⊙y)?F.

“充分性”:假設F滿足?x,y∈F?↑(x⊙y)?F,則顯然x⊙y∈F,即F對⊙封閉.故由定理2.1知要證F是X的MP濾子,只需說明F為上集.事實上,?x,y∈X,設x∈F且x≤y,而由已知條件顯然1∈F,所以有x∈F且x→y=1∈F,從而↑(x⊙(x→y))?F,而由引理1.2(1)知x⊙(x→y)=(x→y)⊙x≤y,所以y∈↑(x⊙(x→y))?F,即F為上集.

定理2.4(MP濾子的特征定理4)設(X,→,0)是一個PFI代數且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅F滿足(MF1)和

(MF4)?x,y∈X,?k,l∈⊙+,若xk→(y→z)∈F且xl→y∈F,則xk+l→z∈F.其中x1=x,x2=x⊙x,xn+1=xn⊙x,n∈⊙+.

證明“必要性”:假設F是X的MP濾子,則(MF1)成立.?x,y,z∈X,?k,l∈⊙+,設xk→(y→z)∈F且xl→y∈F.因為引理1.2(1)和(6)有

(xl→y)⊙xk+l=(xl→y)⊙xk⊙xl=(xl→y)⊙xl⊙xk≤y⊙xk,

于是再由引理1.1(2)便得y⊙xk→z≤(xl→y)⊙xk+l→z,進而有

(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)=1,

因此利用引理1.2(3)得

(xk→(y→z))→((xl→)→(xk+l→z))=(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)

=1∈F,

所以由xk→(y→z)∈F和F是X的MP濾子得(xl→y)→(xk+l→z)∈F,xl→y∈F再由便得xk+l→z∈F,即(MF4)成立.

“充分性”:假設滿足(MF1)和(MF4),則為證F是X的MP濾子,由定義2.1只需證F滿足(MF2)即可.事實上,設x∈F且x→y∈F,則由引理1.1(1)知1→(x→y)=x→y∈F且1→x=x∈F,于是由(MF4)得11+1→y∈F.故y=1→y=1⊙1→y=12→y∈F,這說明滿足(MF2),從而F是X的MP濾子.

設(X,→,0)是PFI代數,一般情況下,偏序集(X,≤)不構成格,但當它構成∧-半格時有:

定理2.5(MP濾子的特征定理5)設(X,→,0)是一個PFI代數,(X,≤)構成∧-半格且?≠F?X,則F是X的MP濾子當且僅當F對⊙封閉且滿足

(MF5)?x,y∈X,如果x∧y∈F,則x∈F且y∈F.

證明“必要性”:設F是X的MP濾子,則由定理2.1知F對⊙封閉且F為上集.又因為(X,≤)構成∧-半格,所以?x, y∈X,x∧y都存在,故由F為上集知當x∧y∈F時必有x∈F且y∈F,因此必要性成立.

“充分性”:假設F對⊙封閉且滿足(MF5),則由定理2.1知為證F是X的MP濾子,只需證明F為上集即可.事實上,?x,y∈X,由(X,≤)構成∧-半格知x∧y存在,故如果x∈F且x≤y,則x∧y=x∈F,從而由(MF5)得y∈F,即F為上集.

利用體視顯微鏡或金相顯微鏡觀察分析剪切破壞后的焊接連接面的表面狀態，以評估焊接質量，分析強度值形成原因。