判斷向量組線性相關性的常用方法

梁玥

（甘肅農業大學 理學院，甘肅 蘭州 730070）

判斷向量組線性相關性的常用方法

梁玥

（甘肅農業大學 理學院，甘肅 蘭州 730070）

從向量組中各向量的分量是否具體給出的角度出發，歸納了判斷向量組線性相關性的幾種常用方法.

向量組；分量；線性相關；線性無關；判定方法

向量組的線性相關性在數學領域中有著非常重要的作用，它與行列式、矩陣、線性方程組的解、二次型、線性變換以及歐氏空間都有著重要的聯系.然而向量的線性相關與線性無關的判別是比較抽象和難理解的.實際上，向量組的線性相關與線性無關是相對的，我們只要掌握了線性相關的判別，那么線性無關的判別也就迎刃而解了.下面根據向量組中各向量的分量是否具體給出介紹向量組線性相關性的判別方法.

1 分量給出的向量組線性相關的判斷

1.1利用齊次線性方程組的解判斷

若α1，α2，…，αm為系數向量的齊次線性方程組有非零解，則向量組α1，α2，…，αm線性相關；若該齊次線性方程組只有零解，則向量組α1，α2，…，αm線性無關.

1.2利用矩陣的秩判斷

以α1，α2，…，αm作為列向量構成矩陣A=(α1，α2，…，αm)，對矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，由此求出矩陣A的秩R(A)：

(1)當R(A)

(2)當R(A)=m時，向量組α1，α2，…，αm線性無關.

1.3利用行列式的值判斷

若向量組α1，α2，…，αm的個數等于向量的維數，則以α1，α2，…，αm作為列向量構成的矩陣A=(α1，α2，…，αm)是一個方陣，而方陣可以取行列式：

(1)當|A|=0時，向量組α1，α2，…，αm線性相關；

(2)當|A|≠時，向量組α1，α2，…，αm線性無關.

解 以α1，α2，α3為系數向量的齊次線性方程組是

利用矩陣的初等行變換將方程組的系數矩陣A化為行階梯形矩陣

由行階梯形矩陣知，R(A)=2<3，即該齊次線性方程組有非零解，所以向量組α1，α2，α3線性相關.

解法1 以α1，α2，α3為列向量構成的矩陣為

A=(α1，α2，α3)

可見，當t=5時，R(A)=2<3，所以向量組α1，α2，α3線性相關.

解法2 向量組α1，α2，α3的個數和維數相等，都為3，由1.3節的方法有

可見當t=5時，|A|=0，所以向量組α1，α2，α3線性相關.

用1.1，1.2和1.3進行判斷的出發點不同，但實質是一樣的.1.1和1.2都是要利用矩陣的初等行變換將相應的系數矩陣化簡為行階梯形矩陣，從而求出向量組的秩即系數矩陣的秩，然后再作出判定.而1.3是根據克萊姆法則判別以向量組各向量作為系數向量的齊次線性方程組有無非零解，然后對向量組的線性相關性做出判定，所以可用1.3進行判定時也可用1.1和1.2進行判定.

2 分量未給出的向量組線性相關的判斷

2.1定義法

這是判斷向量組線性相關性的基本方法.

其定義是：給定向量組A:α1，α2，…，αm，如果存在不全為零的數k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=O，則稱向量組A是線性相關的.否則稱它是線性無關的，也就是說當且僅當k1，k2，…，km全部為零時才成立，則稱向量組A是線性無關的.

例3 設β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α4，β4=α4+α1，證明β1，β2，β3，β4線性相關.

證明 設有數k1，k2，k3，k4，使即

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=O亦即(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=O

(1)若向量組α1，α2，α3，α4線性相關，則由上式可知，k1+k4，k1+k2，k2+k3，k3+k4不全為零，故k1，k2，k3，k4不全為零（否則，k1+k4，k1+k2，k2+k3，k3+k4全為零)，所以向量組β1，β2，β3，β4線性相關.

(2)若向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則有

2.2用向量組的秩判斷

向量組的秩是指向量組中任一個極大無關組所含的向量個數.設向量組為A:α1，α2，…，αm，其秩記為R(α1，α2，…，αm)，由極大無關組的定義和秩的定義可得：若向量組的秩等于向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小于向量的個數，則該向量組是線性相關的.(例略)

2.3用線性相關性的常用定理判斷

定理1 向量組A:α1，α2，…，αm(m≥2)線性相關?向量組Aα1，α2，…，αm中至少有一個向量可以由其余的m-1個向量線性表示.

定理2 向量組A:α1，α2，…，αm線性無關，而向量組B: α1，α2，…，αm，β線性相關?β可由向量組A:α1，α2，…，αm線性表示且表達方式唯一.

定理3 若向量組A:α1，α2，…，αm有一部分向量組線性相關?向量組A:α1，α2，…，αm線性相關.與此等價的一個說法為：向量組A:α1，α2，…，αm線性無關?向量組A:α1，α2，…，αm的任一部分向量組線性無關.

例4 已知α1，α2，α3線性無關，α2，α3，α4線性相關，問：

(1)α4能否由α1，α2，α3線性表示？

(2)α1能否由α2，α3，α4線性表示？

解 (1)由α1，α2，α3線性無關?α2，α3線性無關，又由α2，α3，α4線性相關?α4能由α2，α3線性表示且表達式唯一，所以存在數k2,k3，使得，故α4能由α1，α2，α3線性表示.

(2)反證法.假設α1能由α2，α3，α4線性表示，則存在數又由(1)α4能由α2,α3線性表示，所以α1能由α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3線性相關，與已知矛盾，故α1不能由α2，α3，α4線性表示.

2.4用反證法

在有些題目中，直接證明結論有時候比較困難，而從結論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知定義、定理、公理相矛盾的結果，從而結論的反面不成立，則結論成立.

例5 設向量組α1，α2，…，αm中任一向量αi不是它前面i-1向量的線性組合，且αi≠0，證明向量組α1，α2，…，αm線性無關.

證明 (反證法)假設向量組α1，α2，…，αm線性相關，則存在不全為零的數k1，k2，…，km，使得：

由此可知km≠0，由上式可得

即αm可以由它前面m-1個向量線性表示，這與題設矛盾，因此km=0于是(1)式轉化為k1α1+k2α2+…+km-1αm-1=0.類似于上面的證明可得km-1=km-2=…=k2=0，(1)式轉第為k1α1=0，但α1≠0，所以k1=0這與k1，k2，…，km不全為零的假設相矛盾，因此向量組線性無關.

以上從向量組的分量是否具體給出兩個大的方面介紹了向量組線性相關性的判斷方法，由此可見，如果向量組的分量是具體給出的，則判斷向量組線性相關性是較為簡單的，總可用方程組的解，矩陣的秩和行列式的值的方法來判斷.如果向量組的分量沒有具體給出，則熟練理解和掌握向量組線性相關性的定義、定理等知識是解題的必要條件，要靈活運用向量組線性相關性的定義、定理等知識和技巧才有助于提高分析解決問題的能力.

〔1〕同濟大學數學教研室.線性代數[M].北京:高等教育出版社，2007.

〔2〕張禾瑞,郝新.高等代數[M].北京:人民教育出版社,1986.

O151.24

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