流體系統網絡變流阻系數解算方法

廖金軍，鄒學新，李寶仁

(1．華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢430074;2．中國鐵建重工集團有限公司，湖南長沙410100;3．第二炮兵工程大學士官學院教研部，山東青州262500)

流體系統網絡變流阻系數解算方法

廖金軍1，2，鄒學新3，李寶仁1

(1．華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢430074;2．中國鐵建重工集團有限公司，湖南長沙410100;3．第二炮兵工程大學士官學院教研部，山東青州262500)

現代計算方法和手段的進步，使得基于圖論的流體網絡解算方法研究不斷深入。針對流體網絡圖論解算算法，分解了擬牛頓法的解算過程，并結合實際流體網絡，首次提出了流體系統網絡變流阻系數的解算方法，分析了采用管路恒流阻系數和變流阻系數的擬牛頓法在實際流體網絡解算中的差異。計算結果表明：采用變流阻系數的擬牛頓法能夠提高當流量初始化值與迭代收斂值相差較大時流體系統網絡解算的精度，變流阻系數解算法為提高大型、復雜流體系統網絡解算精度提供了一種有效的方法。

流體系統網絡;圖論;擬牛頓法;變流阻系數

0 引言

隨著計算機技術的發展，網絡圖論在流體系統網絡中的應用已日益廣泛［1］。網絡圖論又稱網絡拓撲理論，它是通過網絡拓撲關系，并通過分析網絡各元素的空間和特性參數等，實現對網絡特性的多方位分析和衡量［2］。將流體系統網絡中的管段抽象成一條分支，分支與分支通過節點相連，將流體系統管網圖轉化成為圖論意義上網絡圖，而且對于一般的流體網絡中，各管道中流體流動具有方向性，如果定義網絡圖中分支的方向為其內部流體流動的方向，則此時網絡圖就是有向網絡圖［3］。網絡圖論方法作為網絡分析的主要手段和工具，在流體系統網絡水力特性分析中，結合矩陣計算技術，既能充分發揮圖論理論的優勢，使系統建模和仿真計算過程快捷、準確，同時擴展和豐富了流體系統分析的內容和手段［4］。

現有基于圖論建模和分析的流體系統網絡解算算法，通常以采用恒流阻系數的擬牛頓法或者哈代－克羅斯迭代算法為主，以上算法中忽略了流體系統網絡流量迭代中修正流量對解算結果的影響［5］，在管路雷諾數變化較大的流體系統網絡中，管路流阻系數將發生明顯的變化，其對系統網絡解算的影響不容忽視，特別是對于流體流態對系統分析結果影響較大的流體網絡。因此，基于以上分析，采用變流阻系數的迭代算法，在計算中實時更新任意迭代時步的流阻系數，以提高系統網絡解算的精度。

1 流體網絡解算原理

1.1 網絡節點流量守恒

從流體網絡節點流量守恒定律可知，流體系統網絡圖G=(V，E)，具有網絡節點數m=|V|，網絡分支數n=|E|，系統網絡可以列出m個節點流量守恒方程，且m個節點流量守恒方程可表示為［6］

式中：B=(bij)m×n為系統網絡G的關聯矩陣;Q=(q1，q2，q3，…，qn)為網絡分支流量矩陣，其元素排列次序與系統網絡關聯矩陣一致;QT為Q的轉置矩陣。

1.2 系統回路能量守恒

按照系統網絡回路矩陣C=(cij)l×m的分支順序排列，回路能量守恒方程可用回路阻力矩陣H=(h1，h2，h3，…，hn)和回路附加阻力矩陣 H'=(h'1，h'2，h'3，…，h'n)表示為

式(2)也可改寫為

式中：HT和H'T分別為H和H'的轉置矩陣;l為回路總數。

1.3 系統回路阻力平衡

流體系統網絡運行時，流體流動在管網中的壓降 (習慣上也稱阻力，能量損失、壓力損失等)由達西公式得：

式中：hi為各網絡分支ei∈C上的阻力壓降;ri為對應分支上的阻力值;qi為對應分支上的流量值;x為對應分支上的流態因子。流態因子取決于流體在對應分支中的流動狀態，當流動狀態為層流時，x取1;當流動狀態為紊流時，x取2;過渡狀態流時，x在1～2之間取值。

由于管路雷諾數對流阻系數影響較大，直接影響著系統網絡分支流阻值的計算。因此，從提高系統網絡解算精度出發，提出采用變阻力系數迭代法，在計算過程中動態更新系統網絡各分支管路中雷諾數的計算。

根據圖論理論，系統網絡圖G的基本關聯矩陣Bk和基本回路矩陣Ck的秩分別為rank(Bk)=m－1和rank(Ck)=n－m+1;根據流量守恒方程，如果定義系統流體網絡各分支流量為未知數，則通過系統網絡圖基本關聯矩陣可以構造出m－1個線性無關的n元一次方程組。同理，根據能量守恒方程，確定系統網絡各分支流阻值后，利用系統網絡圖基本回路矩陣可以構造出n－m+1個線性無關的n元二次非線性方程組，于是聯立流量守恒和能量守恒方程可得到(m－1)+(n－m+1)=n個n元線性無關的方程組：式中：bij和cij分別為流體系統網絡圖G的基本關聯矩陣Bk和基本回路矩陣Ck的元素;qj為系統網絡分支流量;fi為回路阻力平衡方程。f(ri，qj，Re)為回路各分支動態阻力矩陣，其是根據系統網絡管路的流態而得的分段函數

式中：r1i為流體系統網絡支路管路附件、彎頭、變徑管和多通接頭時的阻力系數矩陣元素;r2i為流體系統網絡支路管段阻力系數矩陣元素。

流體流經管路附件、變徑管、彎頭和多通接頭的阻力系數統一迭算為

式中：hak和qak分別為系統網絡第i支路上第k個閥門工作時，對應的壓降和流量;ξb為彎頭局部阻力系數;ξd為漸擴管局部阻力系數;ξt為漸縮管局部阻力系數;ξse為突擴管局部阻力系數;ξsc為突縮管局部阻力系數;ξc為多通接頭局部阻力系數。

將流體流經系統網絡支路直管的沿程阻力系數跌算為r2i，其表達式為

式中：li為第i支路中直管段的長度;di為第i支路管道通徑;Si為第i支路管道截面積。

2 流體網絡分析迭代步驟

1)回路能量守恒方程Taylor展開

按照系統網絡節點流量守恒定律，初始化系統網絡各分支流量，其矩陣表達式為

將系統網絡回路能量守恒方程組進行Taylor展開，能量守恒方程 fi(q1，q2，q3，…，qn－m+1)在第 k 次展開 (k=1，2，3，…)的表達式為

式(9)可用矩陣形式表示為：

2)修正余支流量矩陣

根據式(11)得余支流量修正矩陣ΔQ(k)L為則余支流量修正為

3)修正樹枝流量矩陣

根據圖論理論中基本關聯矩陣和基本回路矩陣之間的轉換關系，樹枝流量修正矩陣Q(k)T可表示為

4)迭代誤差判別

由于在式(9)中忽略了第k次迭代前的函數初始二階導數矩陣，因此存在舍入誤差。為保證系統網絡解算的計算精度，采用第k次迭代后余支流量修正矩陣和第k次迭代后回路阻力函數矩陣的行和范數作為迭代誤差的判別條件：

5)更新網絡流阻系數矩陣

經過迭代后，系統網絡余支和樹枝流量矩陣往往不能立即收斂，需要在修正流量矩陣的基礎上進行迭代。同時，由于經過修正的流量，其值發生改變，這將直接引起該時步流阻系數矩陣的變化，采用恒流阻系數法迭代，忽略其影響。因此，為了提高系統網絡解算精度，將該時步流阻系數矩陣進行迭代更新，以體現流量修正對其流阻系數的影響，流阻系數在k+1步迭代時的更新值為

3 計算實例

流體系統的工作原理和系統流阻系數分別如圖1和表1所示。按照給定參數，根據上述流體系統網絡解算原理和變流阻迭代算法，完成對流體系統網絡解算。

圖1 流體系統工作原理Fig.1 The principle of system work

表1 系統流阻系數表Tab.1 System flow resistance

4 結果對比

恒流阻迭代法以支路管段流阻系數初始值進行迭代，解算過程中流阻系數不發生變化，而變流阻迭代法通過支路管段流阻系數初始值進行初始迭代，在下一時步將管路流阻系數根據系統流量修正值進行更新計算，得到新的管路流阻系數并進行迭代。以下對系統分別采用恒流阻和變流阻迭代方法進行網絡解算，其計算結果如圖2～圖5所示。

采用恒流阻和變流阻系數迭代法解算，得到支路7離心泵流量分別為33.51 t/h和33.52 t/h(如圖2所示)，二者相差0.01 t/h。

圖2 支路7離心泵流量解算Fig.2 The flow calculation of centrifugal pump in branch 7

采用恒流阻和變流阻系數迭代法解算，得到支路8離心泵流量分別為31.43 t/h和31.45 t/h(如圖3所示)，二者相差0.02 t/h。

圖3 支路8離心泵流量解算Fig.3 The flow calculation of centrifugal pump in branch 8

采用恒流阻和變流阻系數迭代法解算，得到支路2流量分別為22.6 t/h和22.54 t/h(如圖4所示)，二者相差0.06 t/h。

圖4 支路2流量解算Fig.4 Flow calculation in branch 2

采用恒流阻和變流阻系數迭代法解算，得到支路3流量分別為42.34 t/h和42.43 t/h(如圖5所示)，二者相差0.09 t/h。

圖5 支路3流量解算Fig.5 Flow calculation in branch 3

從以上數據分析可以看出，系統流量修正對系統網絡流量解算結果有影響，而且由于流量修正矩陣的非一致性，因系統流量修正引起的系統網絡解算結果的變化由系統阻力矩陣決定。

5 結語

通過對系統網絡流量解算算法和迭代過程的分析，提出了變流阻系數的迭代算法，針對實際流體網絡系統，分別采用恒流阻系數和變流阻系數迭代方法進行系統網絡流量求解，從解算結果對比分析中可以發現，原有采用恒流阻系數的網絡流量迭代算法，存在忽略系統流量初始化對系統解算結果的影響，而系統固有阻力特性矩陣將決定其對系統解算結果的影響程度。

因此，為進一步提高流體系統網絡流量的解算精度，變流阻系數迭代算法將是有效的保證。

［1］盧開澄，盧華明．圖論及其應用［M］．北京：清華大學出版社，2005．

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Study on variable flow resistance method for analysis on fluid system network

LIAO Jin-jun1，2，ZOU Xue-xin3，LI Bao-ren1
(1．School of Mechanical Science and Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;2．China Railway Construction Heavy Industry Co．Ltd．，Changsha 410100，China;3．Officer College of The Second Artillery Engineering University，Qingzhou 262500，China)

With the development of modern calculation means，the research of fluid network numerical method based on graph-theory becoming more deep．In connection with the numerical method analyzing fluid network based on graph-theory，the process of quasi-Newton method is decomposed，then，integrating with a practical fluid system，the difference between the method of constant resistance and variable resistance used to compute the system is analyzed，and the calculation results shows that using the variable resistance method can prove the precision of calculation，when the system initial flow and the iterative convergence value is large different．The variable resistance method can also be used for a large and complex fluid system．

fluid system network;graph-theory;quasi-Newton method;variable flow resistance method

TH38;TK79

A

1672－7649(2013)04－0040－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2013.04.009

2011－05－20;

2013－03－01

廖金軍(1982－)，男，博士，工程師，研究方向為流體傳動與控制，電液比例、伺服控制和流體系統網絡特性等。