金融數(shù)學(xué)中兩個基于高等數(shù)學(xué)的證明

李倩，張宇敬

（河北金融學(xué)院信息管理與工程系，河北保定071051）

金融數(shù)學(xué)中兩個基于高等數(shù)學(xué)的證明

李倩，張宇敬

（河北金融學(xué)院信息管理與工程系，河北保定071051）

近幾年，許多院校開設(shè)了面向數(shù)學(xué)系本科生的《金融數(shù)學(xué)》課程.本文作者結(jié)合一線教學(xué)經(jīng)驗，就課程內(nèi)容闡述了自己的觀點，并與讀者分享了教學(xué)過程中Black-Scholes模型和跳擴(kuò)散模型中的數(shù)學(xué)推導(dǎo).

金融數(shù)學(xué)；課程內(nèi)容；Black-Scholes模型；高等數(shù)學(xué)證明

半個世紀(jì)以來，將量化分析引入金融學(xué)已經(jīng)成為一種趨勢.金融數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)、計算機(jī)、金融學(xué)的交叉學(xué)科受到業(yè)界和學(xué)界的重視.在此背景下河北金融學(xué)院信息管理與工程系為信息與計算科學(xué)專業(yè)大四的本科生開設(shè)了《金融數(shù)學(xué)》這門學(xué)科方向選修課.

為大四的本科生講授《金融數(shù)學(xué)》，既不能點到為止，提綱式教學(xué)，也不能面面俱到，令學(xué)生望而生畏.迄今為止，金融衍生品定價主要有兩種方法：偏微分方程方法和鞅定價方法.其中偏微分方程方法利用無套利原理構(gòu)造資產(chǎn)組合，并用伊藤引理消去隨機(jī)項，從而建立起相應(yīng)的偏微分方程.鞅定價方法的核心為以下原理：未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得到[1].

在制定教學(xué)大綱時，理論課分為兩大模塊：第一模塊以應(yīng)用隨機(jī)分析為主線，包括：概率論基礎(chǔ)、布朗運動、泊松過程、伊藤積分、伊藤過程、伊藤公式、一階線性隨機(jī)微分方程、幾何布朗運動、等價鞅測度變換；第二模塊以期權(quán)定價模型為主線，包括：無套利原理、二叉樹模型、Black-Scholes期權(quán)定價模型和跳-擴(kuò)散模型.理論課的兩大模塊是按照邏輯順序交差進(jìn)行的.實踐課主要講授隨機(jī)模擬——蒙特卡羅法.

由于本門課程面向的是本科生，因而在一些細(xì)節(jié)問題中，做了與傳統(tǒng)教材不一樣的處理.下面舉兩個例子：

例如，講完一階線性偏微分方程后，引入Black-Scholes模型.

已知股票價格服從幾何布朗運動.

根據(jù)一階線性隨機(jī)微分方程的解法[2]

對其求導(dǎo)：

歐式看漲期權(quán)在T時刻的價格為CT=max(ST-K,0)，由鞅定價原理，在0≤t

先計算第一個積分：

由S(0)=e-rtE(S(t))，可以得到E(S(0))=e-rtE(S(t))，取對數(shù)，即

由E(S(t))=S(0)eμt，得到E(S(t))=eμtE(S(0))，取對數(shù)，即

兩式比較，得μ=r

由正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)+Φ(-x)=1，原式化為

第二個積分：

令ln(ST)=y，原式化為

又比如，在求解跳-擴(kuò)散模型時，需要證明以下引理[3]：若(X,Y)：N(μ,∑)，其中

原書中用的是標(biāo)量計算，技巧性較強(qiáng)，學(xué)生不易接受，因此授課過程中采用矩陣計算.

坐標(biāo)變換：

相應(yīng)的Jaccobi行列式為

經(jīng)簡單計算：v~N(0,1),u~N(0,1)

特別地

這種處理方式利用了矩陣的計算，既復(fù)習(xí)了高等代數(shù)中的知識，又提高學(xué)生運用矢量運算的意識，一舉兩得.

結(jié)論

學(xué)生通過學(xué)習(xí)《金融數(shù)學(xué)》，不僅溫習(xí)了先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論和常微分方程，而且對隨機(jī)分析有了一定的理解，并對期權(quán)定價理論有了初步認(rèn)識.不僅“溫故”，而且“知新”.

〔1〕孫健.金融衍生品定價模型[M].北京:中國經(jīng)濟(jì)出版社，2008.

〔2〕Fima.K.Introduction to Stochastic Calculus w ith Applications[M].Imperial College Press 2008.

〔3〕奚李峰,樂安波，彭勃，等.金融數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011.

O241.8

A

1673-260X（2013）09-0004-03