劉國祥
(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古赤峰024000)
劉國祥
(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古赤峰024000)
用兩個自然數之比近似地代替一個無理數,或者用兩個有理數之比逼近于一個無理數,是數學學科一個古老的問題.人們已經得到許多有效的方法.本文討論構造遞推數列,使得通項之比逼近于無理數(N是非平方自然數).
斐波那契數列;遞推數列;佩爾方程
用兩個自然數之比近似地代替一個無理數,或者用兩個有理數之比逼近于一個無理數,是數學學科一個古老的問題.典型的例子是圓周率π的近似表示.人們已經得到許多有效的方法,如連分數等.本文討論構造遞推數列,使得同項之比逼近于無理數(.N是非平方自然數).
斐波那契數列由遞推格式定義:

它的前幾項分別為:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
它的通項公式為熟知的:

他有許多優美的性質,其中之一是:

對(3)進行適當地變形就有:

顯然bn∈N,并且有:


看一下這些數的規律,記分母的數列為an,它的項是1,2,5,12,29,70,……

則數列可以用遞推形式給出:

從(10)中消去bn,有:

設存在實數x,y,使得等比數列{an+1+x an}以y為公比,則:



于是有:

考慮到an+1-an=bn,


3.1 通項公式
考查(13)的另一組解:

應用上述同樣的方法得到與(16)類似的式子:

如果把上述討論的2變為其他的非平方自然數N,如3,5,6,7,8,10,11等.

3.2 遞推公式
用通項公式(20)計算an,bn比較困難,認真觀察(19)和(20)并且與(10)比較,不難發現可以用遞推公式給出:

顯然(10)是(21)的N=2的特例.(20)是(21)的顯式通項形式.
3.3 初值a1,b1的選取
在(21)中,取a1=b1=1當然簡單,但不是必要的.
如果取a1=s,b1=t,s,t∈N

顯然(21)是(24)在s=t=1時的特例.(23)是(24)的顯式通項形式.
3.4 與雙曲線的關系
從(20)中可以得到:


另外,從(26)明顯看出與佩爾方程的關系,現不詳細討論.
〔1〕M.克萊因.數學:確定性的喪失[M].長沙:湖南科技出版社,2001.
〔2〕卡爾文.C.克勞森.漫游數學王國[M].上海:上海教育出版社,2001.
〔3〕沈康身.歷史數學名題賞析[M].上海:上海教育出版社,2002.
O151
A
1673-260X(2013)03-0001-02