逼近于的遞推數列的構造

劉國祥

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024000）

劉國祥

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024000）

用兩個自然數之比近似地代替一個無理數，或者用兩個有理數之比逼近于一個無理數，是數學學科一個古老的問題.人們已經得到許多有效的方法.本文討論構造遞推數列，使得通項之比逼近于無理數（N是非平方自然數）.

斐波那契數列；遞推數列；佩爾方程

用兩個自然數之比近似地代替一個無理數，或者用兩個有理數之比逼近于一個無理數，是數學學科一個古老的問題.典型的例子是圓周率π的近似表示.人們已經得到許多有效的方法，如連分數等.本文討論構造遞推數列，使得同項之比逼近于無理數（.N是非平方自然數）.

1 用斐波那契數列逼近于

斐波那契數列由遞推格式定義：

它的前幾項分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89

它的通項公式為熟知的：

他有許多優美的性質，其中之一是：

對（3）進行適當地變形就有：

顯然bn∈N，并且有：

看一下這些數的規律，記分母的數列為an，它的項是1，2，5，12，29，70，……

則數列可以用遞推形式給出：

從（10）中消去bn，有：

設存在實數x,y，使得等比數列{an+1+x an}以y為公比，則：

于是有：

考慮到an+1-an=bn，

3.1 通項公式

考查（13）的另一組解：

應用上述同樣的方法得到與（16）類似的式子：

如果把上述討論的2變為其他的非平方自然數N,如3，5，6，7，8，10，11等.

3.2 遞推公式

用通項公式（20）計算an,bn比較困難，認真觀察（19）和（20）并且與（10）比較，不難發現可以用遞推公式給出：

顯然（10）是(21)的N=2的特例.（20）是（21）的顯式通項形式.

3.3 初值a1,b1的選取

在（21）中，取a1=b1=1當然簡單，但不是必要的.

如果取a1=s,b1=t,s,t∈N

顯然（21）是（24）在s=t=1時的特例.（23）是（24）的顯式通項形式.

3.4 與雙曲線的關系

從（20）中可以得到：

另外，從（26）明顯看出與佩爾方程的關系，現不詳細討論.

〔1〕M.克萊因.數學：確定性的喪失[M].長沙：湖南科技出版社，2001.

〔2〕卡爾文.C.克勞森.漫游數學王國[M].上海：上海教育出版社，2001.

〔3〕沈康身.歷史數學名題賞析[M].上海：上海教育出版社，2002.

O151

A

1673-260X（2013）03-0001-02