三角代數上中心化子的刻畫

馬 飛，張建華，李 莉，任剛練

1.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

2.咸陽師范學院 數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000

3.西安工程大學 理學院，西安 710048

三角代數上中心化子的刻畫

馬 飛1，2，張建華1，李 莉3，任剛練2

1.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

2.咸陽師范學院 數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000

3.西安工程大學 理學院，西安 710048

1 引言

設Α是一個環或代數，如果可加映射φ:Α→Α滿足對任意的a，b∈Α有φ(ab)=φ(a)b，那么稱φ是一個左中心化子；類似的可以定義右中心化子。如果φ既是左中心化子又是右中心化子，那么稱φ是中心化子。與中心化子密切相關的一類重要映射是中心化映射，若映射φ:Α→Α滿足對任意的a∈Α，有φ(a)a-aφ(a)∈Z(Α)（Z(Α)為Α的中心），則稱映射φ是中心化的；特別的，若φ(a)a=aφ(a)，則稱映射φ是可交換的。

關于具有滿足哪些條件的映射為中心化子的研究一直深受許多學者的關注，但是大多都要求環或代數具有素或半素性，如Bre?ar在文獻[1]中證明了若半素環R上的映射φ既是左Jordan中心化子，又是右Jordan中心化子，則存在λ∈C（R的擴展中心），使得φ(a)=λa對任意的a∈R都成立；Vukman在文獻[2]中對2-非擾自由半素環R上的可加映射φ證明了，如果對于任意的a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，那么φ是中心化子；Zalar在文獻[3]中證明了2-非撓的半素環上的任意的左（右）Jordan中心化子是左（右）中心化子；Benkovi?和Eremita在文獻[4]中證明了2-非撓的素環上的可加映射φ，如果滿足對任意的a∈R，n≥2都有φ(an)=φ(a)an-1，那么φ是左中心化子；Vukman在文獻[5]中討論了在標準算子代數Α上，若可加映射φ滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an（其中m，n為正整數），則存在數域F中的常數λ，使得對任意的a∈Α，有φ(a)=λa。Qi在文獻[6]中將條件推廣φ滿足φ(am+n+1)-amφ(a)an∈FI（其中I為單位算子，F為實或復數域）即可。張等在文獻[7]證明了在套代數上若可加映射φ滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an或(m+n)φ(ar+1)=mφ(a)ar+narφ(a)，則存在數域F中的常數λ，使得對任意的a∈Α，有φ(a)=λa。類似結果可見文獻[8-10]。

三角代數首先是在文獻[11]中引出，隨后被許多學者所研究（見文獻[8，11-15]）。設Α和B是作用在可交換環R上的代數，且分別含有單位元1Α和1B，M是忠實的含單位(Α，B)-雙模。M稱為忠實的Α-模是指如果a∈Α且aM=0，則有a=0。一個在通常矩陣算法意義下的R-代數：

稱為三角代數。有關三角代數最典型，也是最重要的模型是上（下）三角矩陣代數和套代數。

設Z(T)為T的中心，由文獻[11]中命題3可知：

顯然，三角代數T是含單位I的，且存在非平凡冪等元e1和e2，其中：

則由矩陣的運算可知，對于任意的1≤i≤j≤2，有Tij=eiTej。因而可以將三角代數T表示為：

這里，T11是T的子代數且同構于Α，T22是T的子代數且同構于B，T12是(T11，T22)-雙模且同構于雙模M。為了記述方便，用Tij來表示Α，M，B。

顯然，三角代數是一類非半素的算子代數，并且受中心化子和中心化映射及上述結論的啟發，自然想到在三角代數T上對于任意的a∈T，滿足：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)（其中m，n，r為正整數，Z(T)為T的中心）的可加映射φ的刻畫。

2 滿足條件 (m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)的映射

首先來討論當r=1時的情形。

設φ:T→T是可加映射。如果存在正整數m，n≥1，使得：

對所有的a∈T都成立。

引理2.1設φ是滿足式（1）的可加映射，則對任意a，b∈T，有

證明（1）對于任意的a，b∈T，在式（1）中用a+b代替a可知：

又因為φ是可加映射，所以：

比較上兩式可知（1）成立。

（2）在引理2.1中的（1）中取b=I易得（2）成立。

引理2.2設φ是滿足式（1）的可加映射，則對1≤i≤j≤2，有φ(Tij)?Tij。

證明因為ei=e2i，所以存在Zei∈Z(T)，使得：

對上式兩邊同時左乘和右乘ei，可得Zei=0。因而：

對式（2）分別左乘和右乘ei，得

因而有φ(ei)=eiφ(ei)=φ(ei)ei=eiφ(ei)ei∈Tii。

另一方面，由引理2.1（2）知，存在∈Z(T)，使得：

對式（3）兩邊分別左乘和右乘ei，得

上兩式相減，則有：

對式（6）兩邊分別左乘和右乘ei，整理可得eiφ(I)=φ(I)ei=eiφ(I)ei。因而Zei=0。再由式（3）可知φ(ei)=φ(I)ei=eiφ(I)。對于任意的a11∈T11，由引理 2.1（2）可知，存在∈Z(T)，使得：

對式（7）兩邊同時左乘和右乘e1，得

對式（7）兩邊同時左乘e1和右乘e2，得e1φ(a11)e2=0。

對式（7）兩邊同時左乘和右乘e2，得

由引理2.1（1），則存在∈Z(T)使得：

式（8）減式（7），得

對式（9）兩邊同時左乘和右乘e1可得=Za11。此時，再對式（9）兩邊同時左乘和右乘e2，可得e2φ(a11)e2=0。故φ(a11)∈T11。

類似可以證明φ(a22)∈T22。

對于任意的a12∈T12，由引理2.1（1）可知，存在∈Z(T)使得：

由φ(ei)=φ(I)ei=eiφ(I)及引理2.1（2）可知，存在∈Z(T)使得：

由式（10）及式（11）可得：

對上式兩邊左乘e1，且由e1φ(a12)e1=φ(a12)e1可知Z′a12=

因而有：

對上式兩邊同時左乘和右乘e1，可得e1φ(a12)e1=0。對式（10）兩邊同時左乘和右乘e1及結合式（11），因而有：

再對上式兩邊同時左乘和右乘e2，得e2φ(a12)e2=0。于是φ(a12)=e1φ(a12)e2∈T12。于是引理2.2得到了證明。

引理2.3設φ是滿足式（1）的可加映射，對于任意的aij，bij∈Tij(1≤i≤j≤2)，有

證明（1）對于任意的a11∈T11，b12∈T12，由引理2.1（1）及引理2.2可知存在∈Z(T)使得：

又由引理 2.2 可知φ(a11b12)，φ(a11)b12，a11φ(b12)∈T12，因此有=0。從而

利用類似的方法可得：

利用式（12）及引理2.2可知：

因此有：

從而φ(a11b12)=φ(a11)b12=a11φ(b12)。從而結論（1）成立。

（2）由式（14）及式（15）可知

利用式（14）可得：φ(a12b22)=φ(a12)b22=a12φ(b22)。從而結論（2）成立。

（3）由結論（1），對任意的s12∈T12，有

且φ(a11b11)s12=φ(a11b11s12)=a11φ(b11s12)=a11φ(b11)s12。

由引理2.3和引理2.1（1），則φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)。從而結論（3）成立。

（4）由結論（2），對任意的s12∈T12，有s12φ(a22b22)=φ(s12a22b22)=s12a22φ(b22)且

由引理2.3和引理2.1（2）可知，φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)。從而結論（4）成立。

定理2.1設T=Tri(Α，M，B)為三角代數，φ:T→T是一個可加映射。如果存在正整數m，n及對任意的a∈T都滿足式（1），則存在λ∈Z(T)，使得對任意a∈T，有φ(Α)=λΑ。

證明設a，b∈T，則a=a11+a12+a22，b=b11+b12+b22，其中aij，bij∈Tij。由引理2.2和引理2.3得：

特別地，對任意a∈T，有φ(a)=φ(I)a=aφ(I)。因而存在λ∈Z(T)，使得φ(I)=λ，從而對任意a∈T，有φ(a)=λa。

定理2.2設T=Tri(Α，M，B)為三角代數，φ:T→T是一個可加映射。如果存在正整數m，n，r，使得對于任意的a∈T滿足：

則存在λ∈Z(T)，使得對任意a∈T，有φ(a)=λa。

證明在式（16）中用a+tI代替a（t為任意正整數），且注意到φ(ta)=tφ(a)，則

在式（17）中依次取t=1，2，…，r，得到了一個以fi(a) (i=1，2，…，r)為變量的線性方程組：

此方程組的系數矩陣是范德蒙矩陣：

由式（19），則對任意a∈T，有：

在上式中用a2代替a，得：

將式（20）代入式（18），化簡得：

由定理2.1，則存在λ∈Z(T)，使得對任意a∈T，有φ(a)=λa。

通過定理2.2的證明過程，很容易得到下面的推論。

推論2.1設T=Tri(Α，M，B)為三角代數，φ:T→T是一個可加映射。則下面幾個條件等價。

（1）存在λ∈Z(T)，使得對任意a∈T，有φ(a)=λa。

（2）存在正整數m，n，r，使得對任意的a∈T，有：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)。

（3）對任意的正整數m，n，r和任意的a∈T，有：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)。

（4）φ:T→T是中心化子。

3 結論

本文主要研究了三角代數上滿足 (m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))在三角代數中心時的保持映射。有φ(a)=λa的固定形式，給出了三角代數上的保持映射的刻畫，具有一定的理論意義。

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[3]Zalar B.On centralizers of semiprime rings[J].Comment Math Univ Carolin，1991，32：609-614.

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MA Fei1，2,ZHANG Jianhua1,LI Li3,REN Ganglian2

1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
2.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang,Shaanxi 712000,China
3.School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China

Τhis paper supposesTis a triangular algebra,andφ:T→Tis an additive mapping.It proves that if there is some positive integer numberm，n，rsatisfying(m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)for alla∈T,then there exists someλ∈Z(T),such thatφ(a)=λafor alla∈T.

additive map;centralizers;triangular algebras

設T是一個三角代數，φ:T→T是一個可加映射。證明了如果存在正整數m，n，r，使得(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)對任意的a∈T成立，那么存在λ∈Z(T)，使得對任意的a∈T，有φ(a)=λa。

可加映射；中心化子；三角代數

A

O177.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0135

MA Fei,ZHANG Jianhua,LI Li,et al.Characterization of centralizers on triangular algebras.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：23-26.

高等學校博士學科點專項科研基金（No.20110202110002）；陜西省教育廳研究計劃資助項目（No.09JK803，No.2010JK890，No.11JK0469）；西安工程大學科研項目（No.BS1015）。

馬飛（1981—），男，在讀博士，講師，研究領域為算子代數與自由概率；張建華（1965—），男，教授，博導，研究領域為算子代數與自由概率；李莉（1982—），女，博士，講師，研究領域為算子理論與量子計算；任剛練（1970—），男，博士，副教授，研究領域為數論。E-mail：mafei6337@sina.com

2013-04-10

2013-05-28

1002-8331（2013）15-0023-04

◎理論研究、研發設計◎