外P-集合副集的τ-生成與τ-強生成

于秀清，董立華，張玉坤

德州學院 數學系，山東 德州 253023

外P-集合副集的τ-生成與τ-強生成

于秀清，董立華，張玉坤

德州學院 數學系，山東 德州 253023

P-集合是由內P-集合與外P-集合XF構成的集合對()。它是將動態特性引入有限非空普通集合X，對其進行改進得到的。設集合X={x1，x2，…，xm}，α= {α1，α2，…，αk}是X的屬性集合。若α外的某些屬性被遷入α內，α內的屬性增加，相應地，集合X內的某些元素就被遷出X，X里面的元素減少，X變成內P-集合另一方面，若α內的部分屬性被遷出α，α內的屬性減少，相應地，集合X外的某些元素就被遷入X，X里面的元素增加，X變成外P-集合XF。內P-集合與外P-集合XF是集合X的動態特性的具體表現。P-集合是一個研究動態問題的新的數學理論工具，近幾年得到廣大學者的關注與研究，在多個領域獲得了應用。文獻[1-4]給出了P-集合特性討論，文獻[5-12]給出了P-集合在信息系統、控制系統中的應用。

深入分析集合X變化到外P-集合XF的動態過程，容易發現：元素遷移f∈F對元素i=1，2，…，t，進行遷移的結果有三種：（1）yi仍在集合X外；（2）yi被完全遷入集合X；（3）yi被部分遷入集合X。外P-集合只考慮了前兩種結果，忽略了第三種結果，或者說，外P-集合是在假設第三種結果不會發生的前提下進行的定義。但在控制系統、信息系統中，確實存在元素被部分遷入集合的情況，而且這些被部分遷入的元素對系統本身的影響是不容忽視的，有時甚至是相當大的。例如，國內生產太陽能的企業構成集合X={x1，x2，…，xn}，α={α1，α2，…，αn′}是影響太陽能企業發展的因素構成的集合，或者，α是X的屬性集合。由于國內外大力提倡發展與利用清潔新能源，國家放寬了生產太陽能產品的政策，太陽能經濟得到快速發展，某些不景氣的其他企業轉行加入到太陽能企業的行列，還有一部分企業在保留部分原來產品生產的基礎上，進行太陽能產品的生產。這樣在進行太陽能市場分析時，就需要考慮三方面的情況：原有太陽能企業、新加入的太陽能企業與部分進行生產太陽能產品的企業。當部分進行生產太陽能產品的企業所占太陽能市場的份額很大的時候，必須要考慮其在太陽能產品生產中的影響，否則分析結果就會與實際情況偏差很大，進而作出錯誤的決策。基于此，本文給出外P-集合的副集、外P-集合副集τ-生成與外P-集合副集τ-強生成的概念與結構，從理論的角度討論了外P-集合副集、外P-集合副集τ-生成與τ-強生成之間的關系，得到外P-集合副集、外P-集合副集τ-生成與τ-強生成的性質定理，對P-集合理論進行了補充，擴展了P-集合的應用范圍。

為了更容易接受本文的研究結果，簡要介紹了外P-集合的概念與結構，關于外P-集合與P-集合的更多更詳細的討論與應用見文獻[1-12]。

1 P-集合的概念與結構

約定：U是有限元素論域，X?U是有限非空元素集合；V是屬性論域；，f∈F是元素遷移，={f1，f2，…，ft}是元素遷移族；card=cardinal number（基數），UNI=unidentification（不可辨識），IED=identification（可辨識）。

給定有限非空集合X={x1,x2,…,xq}?U,α={α1，α2，…，αk}?V是X的屬性集合，稱XF是X生成的外P-集合，簡稱XF是外P-集合，而且：

利用式（1）給出的結構，容易得到下面外P-集合XF與普通集合X之間的關系定理。

定理1.1（外P-集合XF與集合X關系定理）外P-集合XF與普通集合X滿足：

特別地，當F=F=?時，UNI(X，XF)。

2 外P-集合副集的τ-生成與τ-強生成

定義2.1設X={…，xn}?U，給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果f(y)∈X，稱元素y對于集合X是全遷入，f(y)的特征函數χf(y)滿足χf(y)=1。

給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果稱元素y對于集合X是零遷入，f(y)的特征函數χf(y)滿足χf(y)=0。

給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果稱元素y對于集合X是部分遷入，f(y)的特征函數χf(y)滿足0＜χf(y)＜1。這里，表示元素遷移f∈F把部分遷入集合X內。

定義2.2稱集合Α(XF)是外P-集合XF的副集（assistant set），簡稱Α(XF)是外副集，如果

稱是外P-集合副集的τ-生成（τ-generation of assistant set of outer P-set），簡稱外副集Α(XF)的τ-生成，如果稱Ατ˙(XF)是外P-集合副集的τ-強生成（τ-strong generation of assistant set of outer P-set），簡稱外副集Α(XF)的τ-強生成，如果

其中0＜τ＜1。

在定義2.1中，由于元素遷移f∈F的作用，產生了元素補充集合{x′|y∈U，f(y)=x′∈X，f∈F}與外副集Α(XF)={x′|y∈U，=。元素補充集合是由被完全遷入集合X的元素構成的集合，外副集是由被部分遷入集合X的元素構成的集合。外P-集合沒有考慮被部分遷入的元素，僅僅考慮了被全部遷入的元素。但在實際問題中被部分遷入的元素也會對問題的研究產生很大的影響。由于不同的實際問題要求的精確度不同，進而提出外副集的τ-生成與τ-強生成的概念，這樣可以根據實際情況選擇不同的參數τ。

由定義2.1與定義2.2可以直接得到命題2.1～2.5、定理2.1與定理2.2成立。

命題2.1 當F=時，對 ?τ∈(0，1)都有Ατ˙(XF)=Ατ(XF)=Α(XF)=XF=。

命題2.2對?τ∈(0，1)，Ατ(XF)=的充分必要條件是Α(XF)=。

命題2.3對?τ∈(0，1)，Ατ˙(XF)=的充分必要條件是Α(XF)=。

命題2.4對?τ∈(0，1)，Ατ˙(XF)=的充分必要條件是Ατ(XF)=。

定理2.1（外副集與其τ-生成、τ-強生成關系定理）設Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，則對?τ∈(0，1)，有

定理2.2（集合X與外副集關系定理）設Α(XF)是外P-集合XF的副集，則

推論2.1設Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，則對?τ∈(0，1)，有

推論2.2設Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強生成，則對?τ∈(0，1)，有

3 外副集的τ-生成與它的性質定理

定理3.1（外副集Α(XF)的τ-生成、τ-強生成關系定理）Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，對?τ1，τ2∈(0，1)，若τ1＜τ2，則

這里僅給出（1）的證明，（2）與（3）的證明類似，略。

證明對?x′∈、元素遷移f∈F，令滿足f(y)=x′，由式（9）知，f(y)=x′的特征函數χf(y)滿足τ2＜χf(y)＜1，因為τ1＜τ2，所以f(y)=x′的特征函數χf(y)滿足τ1≤χf(y)＜1，故x′∈，（1）成立。

推論3.1設分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，對?τ1，τ2，…，τt∈(0，1)，若τ1＜τ2＜…＜τt，則

推論3.2設分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，則(Ατ(XF)，?)、(Ατ˙(XF)，?)是全序集。

推論3.3設Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，I是有限指標集合，?i∈I，τi∈(0，1)有

定理3.2（外副集的生成定理）設Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，則

定理3.3（外副集的τ-生成不可辨識定理）設Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ1(XF)，Ατ2(XF))，則對?τ*∈[τ1，τ2]，都有：

定理3.4（外副集的τ-強生成不可辨識定理）設Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ˙1(XF)，，則對?τ*∈[τ1，τ2]，都有：

定理3.4的證明與定理3.3類似，略。

由以上分析得到定理3.5成立。

定理3.5（外副集τ-生成與τ-強生成不可辨識定理）設Ατ(XF)，Ατ˙(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足 UNI()，則對?τ*∈[τ1，τ2)，都有：

由定理3.2～3.5可以直接得到推論3.4～3.6。

推論3.4設Ατ(XF)，Ατ˙(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ˙1(XF)，Ατ˙2(XF))，則對?τ*∈(τ1，τ2)，都有：

推論3.5設Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強生成，若UNI(Ατ(XF)，Α(XF))，則對?τ*∈(0，τ)，都有：

推論3.6設Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成，若UNI(Ατ(XF)，Α(XF))，則對?τ*∈(0，τ]，都有：

推論3.7設Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足 IDE(Ατ1(XF)，Ατ2(XF))，則對?τ*∈(0，τ1)，都有：

4 討論

P-集合具有動態特性，是研究動態系統的一個有利的數學理論工具。但由于外P-集合是在假設集合中元素被全部遷入的前提下進行的研究，外P-集合在實踐中的應用受到了一定程度的限制。外P-集合的副集與外P-集合副集的τ-生成、τ-強生成的提出彌補了P-集合理論的不足，擴大了P-集合的應用領域。

[1]史開泉.P-集合[J].山東大學學報：理學版，2008，43（11）：75-84.

[2]于秀清.P-集合的動態特性[J].計算機工程與應用，2010，46（18）：45-48.

[3]Huang Shunliang，Wang Wei，Geng Dianyou.P-sets and its internal P-memory characteristics[J].An International Journal Advances in Systems Science and Applications，2010，10（2）：216-222.

[4]Huang Shunliang，Wei Wang，Geng Dianyou.P-Sets and its P-separation theorems[J].An International Journal Advances in System Science and Application，2010，10（2）：245-251.

[5]Lin Rong，Fan Chengxian.Packet sets and identification of inward-convergence information[J].An International Journal of Convergence Information Τechnology，2012，7（7）：157-164.

[6]張飛，陳萍，張麗.P-集合的P-分離與應用[J].山東大學學報：理學版，2010，45（3）：18-22.

[7]史開泉，張麗.外P-集合與數據外-恢復[J].山東大學學報：理學版，2009，44（4）：8-14.

[8]于秀清.P-集合與F-外嵌入信息辨識-發現[J].計算機科學，2010，38（1）：250-253.

[9]Zhang Guanyu，Li Enzhong.Information gene and its information knock-out/knock-in[J].An International Journal Advances in Systems Science and Applications，2010，10（2）：267-275.

[10]Liu Jiqin.P-probabilities and its application[J].An International Journal Advances in Systems Science and Applications，2010，10（2）：237-244.

[11]李豫穎.F-畸變數據的生成與修復[J].吉首大學學報：自然科學版，2010，31（3）：59-72.

[12]于秀清.迭代F-外嵌入信息生成及其遺傳發現-應用[J].系統工程與電子技術，2011，33（12）：2691-2695.

YU Xiuqing,DONG Lihua,ZHANG Yukun

Department of Mathematics Science,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China

P-sets（Packet sets）is a pair of sets composed of internal P-set（internal Packet set）and outer P-set（outer Packet set）, which has dynamic characteristics.Based on outer P-set,some concepts related to outer P-set are proposed,such as assistant set of outer P-set,τ-generation of assistant set of outer P-set,τ-strong generation of assistant set of outer P-set,and so on.Furthermore,the relationships among them are discussed.And their relation theorems,identified theorems,unidentified theorems and generation theorems of assistant set of outer P-set are obtained.Τhe theory of P-sets is supplemented.

outer P-set;assistant set of outer P-set;τ-generation of assistant set of outer P-set;τ-strong generation of assistant set of outer P-set;identification theorems

P-集合是由內P-集合與外P-集合構成的集合對，它具有動態特性。在外P-集合的基礎上，定義了外P-集合的副集Α(XF)、外P-集合副集τ-生成Ατ(XF)與外P-集合副集τ-強生成Ατ˙(XF)，討論了三者之間的關系，得到外P-集合副集τ-生成與外P-集合副集τ-強生成關系定理、辨識定理與外P-集合副集的生成定理。對P-集合理論進行了補充。

外P-集合；外P-集合的副集；外P-集合副集的τ-生成；外副集的τ-強生成；辨識定理

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1208-0030

YU Xiuqing,DONG Lihua,ZHANG Yukun.τ-generation andτ-strong generation of assistant set of outer P-set.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：41-43.

山東省高校科技計劃資助項目（No.J12LN92）；山東省自然科學基金（No.ZR2010AL019）；山東省科技發展計劃資助項目（No.2011GGA14074）。

于秀清（1968—），女，教授，研究領域為粗系統理論與應用，信息系統理論與應用。E-mail：sddzyxq@163.com

2012-08-02

2012-10-16

1002-8331（2013）15-0041-03