模糊合作對策區間Shapley值法的改進及應用

王曉艷，殷 輝，2

1.合肥學院 管理系，合肥 230601

2.浙江大學 管理學院，杭州 310058

模糊合作對策區間Shapley值法的改進及應用

王曉艷1，殷 輝1，2

1.合肥學院 管理系，合肥 230601

2.浙江大學 管理學院，杭州 310058

1 引言

合作對策發展至今一般分為兩類[1]：經典合作對策和模糊合作對策。經典合作對策基于兩個假設：局中人完全參與到一個特定的聯盟之中；局中人在合作之前完全清楚地知道不同的合作策略所產生的收益，以及自身參與特定聯盟的所得分配。現實中，由于合作過程的復雜性，決策環境的不確定性，對問題認識的模糊性，所得信息的不完全性等因素，使得模糊環境下，n人對策理論研究已成為當前對策論研究領域的一個熱點問題。模糊合作對策的研究主要體現在兩個方面[2]：（1）對具有模糊聯盟n人對策的研究；（2）對具有模糊聯盟值n人對策的研究。Aubin[3]在 1974年首次提出了模糊合作對策的概念，該類對策的聯盟是模糊集，收益是清晰的實數，并對模糊合作對策的解展開了深入研究[4]。Sakawa和Nishizaki[5]于1992年提出了一類新的模糊合作對策，該類對策的聯盟是清晰集，但收益卻是模糊數。Mares[6]于1995年指出具有模糊支付函數的合作對策也是模糊合作對策的一種形式。

無論何種合作對策，其核心問題都是關于合作收益分配的探討。Shapley值法[7]在解決經典合作對策中合作收益的分配上得到了廣泛的應用。Butnariu[8]研究了具有模糊聯盟n人對策的Shapley值，但該Shapley值與經典的Shapley值相比，既不單調非減又不連續。針對這一問題，Τsurumi等[9]在Butnariu的基礎上構造了一個在Choquet積分上的模糊Shapley值，使其單調非減且連續。Branzei等[10]從另一角度對具有模糊聯盟合作對策的Shapley值的概念作了定義，但對于局中人在一定參與水平下的支付分配問題，他們沒有提供有效的分配方法。Butnariu等[11]在文獻[8]的基礎上，研究了一類更一般化具有模糊聯盟n人對策的Shapley值。Li等[12]給出了具有模糊聯盟n人對策Shapley值的一種簡單表示形式。

另一方面，考慮到合作人的模糊偏好會導致聯盟收益的不確定性，Mares[13]對模糊收益問題進行了探索性研究，求得了Shapley值的模糊隸屬函數，但沒有給出具體的分配方案。Borkotokey[14]從模糊聯盟的角度，研究了具有模糊聯盟和模糊支付的合作對策。具有區間支付的合作對策是一種特殊形式的模糊合作對策。國內不少學者對區間Shapley值法開展了研究。陳雯等[15]利用模糊數學的理論與方法，提出了滿足有效性、對稱性和可加性的模糊Shapley值，但是此模糊Shapley值不一定存在。于曉輝等[16]分析了合作對策中支付函數是區間數的情形，提出具有區間支付的合作對策的Shapley值，但該方法不具一般性。譚春橋[17]通過建立公理化體系，研究了一般意義下具有區間支付的合作對策的Shapley值。

通過分析不難發現，上述文獻中提出的區間Shapley值法能夠體現合作者在合作中的總體貢獻以及重要性，為不確定性合作收益的分配提供了較好的參考，但該方法對產生貢獻的因素沒有細分，對不同因素也沒有給予不同的權重，只是對合作者貢獻的模糊反映[18]。因此，有必要對區間Shapley值法進行改進。鑒于此，本文在已有研究的基礎上，分析清晰聯盟在預期收益不確定的情況下，如何結合聯盟自身固有的特點，建立聯盟收益分配評價指標體系，引入收益分配的綜合修正因子，對模糊合作對策的區間Shapley值法進行改進，并列舉實例用改進后的模型對收益進行分配。

2 具有區間支付的模糊合作對策和區間Shapley值法概述

二元組(N，)稱為局中人集合N={1，2，…，n}上的模糊合作對策，其中是定義在N的冪集P(N)上，取值在區間數集合上的模糊支付函數，即)→且=0。區間支付函數=[ν-(S)，ν+(S)]表示聯盟S∈P(N)中各個局中人通過合作所能得到的最大收益區間，ν-(S)是聯盟S中的各個局中人共同合作可能獲得收益的最小值，ν+(S)是S中各個局中人共同努力可能獲得收益的最大值。稱具有區間值支付的模糊合作對策為具有區間支付的模糊合作對策，并把區間模糊合作對策集合記做GI(N)[16]。在此，假設?S?N，。

定義1對于具有區間支付的合作對策GI(N)，若?T∈P(N)，S∈P(N)都滿足：=，則稱S為GI(N)上的承載（carrier）。

可以證明承載之外的任一局中人對任何聯盟都沒有貢獻。

定義2設N={1,2,…，n}，對于任意的(N)，具有區間聯盟值n人對策ν的Shapley值是滿足下述公理體系的一個向量函數→，

公理1（區間有效性）對于的任何承載S，有

命題1下試所定義的向量函數→，是對策ν的Shapley值向量。

證明過程見文獻[17]。

定義3對于對策(N，，向量函數且若被稱做具有區間支付的合作對策(N，ν)上的一個分配，則需要滿足以下條件：

可以證明[17]區間Shapley值是經典合作對策的Shapley值的一個自然模糊延拓，而且支付函數由區間數來表示也更加貼近現實。

3 模糊合作對策的區間Shapley值法的改進

模糊合作對策的收益分配是個復雜問題，受很多因素的影響，如合作方的風險承擔、合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入等。這些因素都應該參與利益分配，而且不同因素有著不同的重要性[18]。因此，有必要對區間Shapley值法進行改進。本文運用命題1中的區間Shapley值法對模糊合作對策的收益進行初步分配，將該收益分配作為最終收益分配的評價因素之一。然后用AHP-GEM[19]法（層次分析法和群組決策特征根法）確定收益分配指標的權重。在此基礎上，用模糊綜合評價法計算各合作方利益分配的綜合影響因子。引入綜合修正因子，對區間Shapley值法進行改進，建立利益分配的改進模型。

3.1 收益分配評價指標及其權重的確定

用AHP-GEM法確定模糊合作對策收益分配評價指標及其權重的步驟如下：

（1）選取評價指標并建立遞階層次結構。根據各聯盟自身的特點，選取評價因素，構建收益分配指標體系的遞階層次結構模型，包括目標層、準則層和指標層。

（2）構造專家評分矩陣。按照構建的遞階層次結構，準則層構建一級評判矩陣，指標層按照準則層構建二級評判矩陣。評判矩陣的構建方法為：由專家群組G中的m個專家直接對n個被評指標進行打分，評分就組成m×n階矩陣，為：X=[xαβ]m×n其中，xαβ∈[α，β](α=1，2，…，m;β= 1，2，…，n)為第α個專家Sα對第β個被評價指標的評分值，xαβ的值越大目標指標越優。

（3）評價相對權重的計算。基于計算出單一準則層下指標的權重，歸一化即得評價指標的相對權重。具體算法為：將評分矩陣X轉置自乘記為F，即F=XΤX，F的最大特征根對應的特征向量就是最優決策X*。是基于理想專家模型的構建為基礎的，若想得到被評價目標的排序，就要認知理想專家定義，并建立理想專家模型。求出的理想專家的評判分，即為多個被評價目標的排序。

理想專家定義：具有評分向量與群體中各專家評分向量夾角之和最小的專家稱為該群體的理想（最優）專家。

理想專家模型求解：對于理想專家模型的求解有很多種方法，常見的有兩種。一是設定精度要求ε，并在此條件下采用數值代數中的冪法進行矩陣F的迭代運算，可以求出X*；二是用軟件求解矩陣F的最大正特征根ρmax，X*就為ρmax對應F的正特征向量。

顯然，將AHP與GEM相結合，既可以保留AHP中遞階層次結構這一科學分析問題的過程，又能繞開Saaty矩陣構建的不一致性問題，使得多指標決策更具有科學性和準確性。

3.2 收益分配綜合影響因子的計算

在確定評價指標權重的基礎上，用模糊綜合評價法計算各合作方收益分配的綜合影響因子。步驟如下：

（1）構造評語集。評語集劃分為五個等級，即：V= (V1，V2，V3，V4，V5)=（高，較高，中，較低，低）=（0.9，0.7，0.5，0.3.0.1）。

（2）構造隸屬度子集Ri。請有關專家參照評語集V對聯盟中各合作方的評價指標進行評價，得模糊子集Ri= (ri1，…，rij，…，ri5)。Ri指評價指標中第i個指標對應的評語集的隸屬度，即rij=第i個指標選擇Vj等級的人數/參與評價的總人數，其中j=1，2，…，5。經過模糊變換，得到模糊評判矩陣R。

（3）最后把模糊評判矩陣R與評價指標的權重向量集W進行模糊運算，得到模糊綜合評判結果集B，B=W⊙R，采用模糊分布法進行指標歸一化處理，得B′=(b1，b2，b3，b4，b5)。于是，聯盟利益分配的綜合影響因子Pi=B′VΤ，再經歸一化處理后得。

3.3 考慮綜合修正因子的區間Shapley值法

在沒有考慮風險承擔、合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入等因素的情況下，在n人聯盟中，區間Shapley值法假定各合作方上述因素所創造的收益均相等，即為1/n。由上述計算可知，合作方i的綜合影響因子為Pi'，其

設由n個合作方組成聯盟總收益區間為= [ν-(S)，ν+(S)]，則合作方i實際分配改進量為=DPi×，可正可負。合作方i實際獲得的收益分配區間為：

這種考慮了綜合修正因子的區間Shapley值法，更加科學合理，也更符合實際情況。這有利于聯盟的整體協調，增強了聯盟的激勵機制，從而保證了聯盟的穩定性。

4 改進的區間Shapley值法應用實例

4.1 案例描述

現設定由一家制造企業A和兩家物流企業B、C組成的制造業與物流業聯盟，B、C為A提供專業化的物流服務，物流服務項目可以是相同的。該聯盟采取項目化運作，合作三方對項目均有資源投入。假設A、B、C均為理性經濟人，且成員之間實現完全信息共享，均以利潤最大化為目標。各企業根據自身成本、市場需求情況及其他企業或者聯盟成員的價格作出決策，以便實現自身利潤最大化[20]。聯盟在實施某項合作項目的收益區間如表1所示。

表1 企業A、B、C組成的各種物流聯盟的收益區間

4.2 改進前的區間Shapley值法的收益分配

用公式（1）計算A企業在聯盟中收益分配的區間Shapley值，結果如表2所示。

表2 基于區間Shapley值的A企業的利益分配區間

可得A企業利益分配區間的左右端點分別為：10/3+20/6+26/6+28/3=20.33=14/3+26/6+28/6+ 24/3=21.67，所以=[20.33，21.67]。同理可以求得：=[15.33，17.67]，=[18.33，20.67]。

由上述計算過程可知，對部分的S?N，即使ν-(S)-ν-(S{i})≥ν+(S)-ν+(S{i})，但只要計算任意的都是區間數，則該區間對策的Shapley值仍是存在的。

4.3 改進后的區間Shapley值法的收益分配

4.3.1 制造業與物流業聯盟收益分配評價指標的建立及權重計算

根據制造業與物流業聯盟的特點，選取風險承擔、合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入等評價因素，構建聯盟收益分配評價指標體系，見表3。資源投入可用聯盟實際投資率來表示，其判斷指標為定量指標。市場競爭指標也為定量指標，可用各企業所在的市場競爭情況及企業的經營業績來表示。風險承擔、合作努力和創新貢獻等指標大多為定性指標，可以用專家打分形式將定性指標定量化。打分按照里克特（Likert）5分量表法進行打分，將每個指標相對于項目“稍微重要、一般重要、重要、很重要、非常重要”五個等級分別賦值1，2，3，4，5分。

用上文中構建的方法來確定權重集W。以計算準則層為例。邀請10位專家對準則層的5個評價因素進行打分，得到專家評分矩陣，如表4所示。

表3 制造業與物流業聯盟收益分配評價指標體系

可得：

表4 專家評分矩陣

利用MAΤLAB計算出矩陣F最大特征值為單根ρmax= 742.574 2，對應的特征向量為：

將其歸一化后，得到準則層的權重向量約為：

同理可以得到各個評價指標相對于目標層的組合權重，再分別乘以相應評價因子相對于目標層的權重，得到評價指標相對于目標層的組合權重。

風險承擔的組合權重向量為：

合作努力的組合權重向量為：

市場競爭的組合權重向量為：

創新貢獻的組合權重向量為：

資源投入的組合權重向量為：

4.3.2 聯盟收益分配綜合修正因子的計算

邀請10位專家根據評價標準對制造商A進行評價，測評等級分為五級，即高、較高、中、較低、低。根據被測評企業各因素在各等級的得票數占總投票數的比例，得到如下單因素模糊綜合評判矩陣：

可得到企業A在風險承擔上的評價結果：B1== [0.155 6 0.298 4 0.379 8 0.151 8 0.014 4]，同理可計算出企業A在合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入上的評價結果。得到準則層的綜合評價決策矩陣為：

根據B=W⊙R計算約得：

對B進行歸一化處理得：

將B′與模糊評判向量V相乘即得出企業A的綜合影響因子為：PΑ=B′VΤ=0.567 2，其中模糊評價向量V= [0.9 0.7 0.5 0.3 0.1]。

同理可得PB=0.775 5，PC=0.815 4，歸一化后得企業A、B、C收益分配的綜合影響因子分別為=0.262 8，= 0.359 4，=0.377 8。

則企業A、B、C收益分配的綜合修正因子分別為DPΑ=-1/3=-0.070 5，DPB=-1/3=0.026，DPC=-1/3= 0.044 5。

需要說明的是，聯盟的發展是動態的，而且在聯盟運作過程中存在著各種不確定性，因此指標權重并不是一成不變的，在不同情境下，如在聯盟的不同發展階段，各具體因素的評價可能會有所不同。

4.3.3 改進后利益分配區間的計算

運用公式（2）計算出企業A、B、C在聯盟中改進的實際收益分配區間分別為：

由計算結果可知，考慮了風險承擔、合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入等因素后，重新調整了企業A、B、C的收益分配區間，降低了制造企業A的收益區間，增加了物流企業B、C的收益分配區間。這樣使得利益分配區間的劃分更加科學合理，也更符合實際情況，起到了較好的激勵作用，保證了聯盟的健康穩定發展。

5 結論

實踐中合作對策的收益分配是個復雜問題，各合作方在不同合作策略下的預期收益，往往是不準確甚至是不清楚的，而且在合作過程中，有很多因素影響著聯盟收益分配，不同因素又有著不同的重要性。本文在運用區間Shapley值法對模糊合作對策的收益分配進行計算的基礎上，將該初始收益分配作為最終收益分配的評價因素之一。考慮到聯盟中各合作方的風險承擔、資源投入、合作努力和創新貢獻等因素對收益的影響，用AHP-GEM法構建了聯盟利益分配評價指標體系，用模糊綜合評價法計算各合作方利益分配的綜合影響因子。引入綜合修正因子，對區間Shapley值法進行改進，建立聯盟收益分配的改進模型。并以制造業和物流業聯盟收益分配為例進行了實例分析。改進后的區間Shapley值法更加科學合理，較好地解決了模糊合作對策收益分配問題，具有一定的實用價值。具有聯盟結構的博弈問題是對策論研究中較新穎的方向[21]。實踐中，局中人只以一定的參與程度參與到合作中，這種具有聯盟結構的模糊合作對策的收益分配問題，將是進一步研究的重點和方向。

[1]孟凡永，張強.具有區間支付的模糊合作對策上的Shapley函數[J].北京理工大學學報，2011，31（9）：1131-1134.

[2]譚春橋.具有模糊聯盟值n人對策的模糊Shapley值[J].系統管理學報，2011，21（1）：42-47.

[3]Aubin J P.Coeur et valuer des jeux flous a paiement slateraux[J].Comptes Rendus de I’Acad Sci Paris，1974，279（6）：891-894.

[4]Aubin J P.Cooperative fuzzy games[J].Mathematical Operation Research，1981，6（1）：1-13.

[5]Sakawa M，Nishizaki I.A solution concept based on fuzzy decision innperson cooperative games[C]//Proceedings of Cybernetics and Systems Research.New Jersey，USA：World Scientific Publishing，1992：423-430.

[6]Mares M.Coalition forming motivated by vague profits[C]// Proceedings of the Τransactions，Mathematical Methods in Economy，Ostrava，1995：114-119.

[7]Shapley L S.A value forN-person games[J].Annals of Mathematical Studies，1953，28：307-317.

[8]Butnariu D.Stability and Shapley value for annperson fuzzy games[J].Fuzzy Set and System，1980，4（1）：63-72.

[9]Τsurumi M，Τanino Τ，Inuiguchi M.A Shapley function on a class of cooperative fuzzy games[J].European Journal Operational Research，2001，129（3）：596-618.

[10]Branzei R，Dimitrov D，Τijs S.Models in cooperative game theory：crisp，fuzzy and multi choice games[M].New York：Springer，2005.

[11]Butnariu D，Kroupa Τ.Shapley mappings and the cumulative value fornperson games with fuzzy coalitions[J].European Journal of Operational Research，2008，186（1）：288-299.

[12]Li Shujin，Zhang Qiang.A reduced expression of the Shapley function for fuzzy game[J].European Journal of Operational Research，2009，196（1）：234-245.

[13]Mares M.Fuzzy cooperative games：cooperation with vague expectations[M].New York：Physica-Verlag，2001.

[14]Borkotokey S.Cooperative games with fuzzy coalitions and fuzzy characteristic functions[J].Fuzzy Set and Systems，2008，159：138-151.

[15]陳雯，張強.模糊合作對策的Shapley值[J].管理科學學報，2006，9（5）：50-55.

[16]于曉輝，張強.基于區間Shapley值的生產合作利益分配[J].北京理工大學學報，2008，28（7）：655-658.

[17]譚春橋.具有區間聯盟值n人對策的Shapley值[J].應用數學學報，2010，33（2）：93-203.

[18]陳菁，代小平.基于改進的Shapley值法的農業節水補償額測算方法[J].水利學報，2011，42（6）：750-756.

[19]邱菀華.群組決策特征根法[J].應用數學與力學，1997，18（11）：1027-1031.

[20]蕾勛平，Qiu Robin.Shapley值法的改進及其應用研究[J].計算機工程與應用，2012，48（7）：23-25.

[21]孫紅霞，張強.基于聯盟結構的模糊合作博弈的收益分配方案[J].運籌與管理，2010，19（5）：84-89.

WANG Xiaoyan1,YIN Hui1，2

1.Department of Management,Hefei University,Hefei 230601，China
2.School of Management,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China

Profit allocation is a complex issue in fuzzy cooperative games.Τhere’re impacts from partner risk distribution,collaborative efforts，market competition,innovative contribution as well as resource investment.Moreover,different factors have different degrees of importance.Τhis paper performs a preliminary profit allocation based on interval Shapley value method, then studies improving interval Shapley value method by incorporating AHP-GEM method and fuzzy comprehensive evaluation method,adding comprehensive correction factor on profit distribution.On this basis,the paper establishes an improved model of profit allocation fuzzy cooperative games.Τhis paper takes manufacturing and logistics alliance as example,demonstrates the practicality and feasibility of the improved model.

fuzzy cooperative games;improved interval Shapley value;Analytic Hierarchy Process-Group Eigenvalue Method（AHP-GEM）;fuzzy comprehensive evaluation method;profit allocation;manufacturing and logistics industry alliance

模糊合作對策的收益分配是個復雜問題，受到合作方的風險承擔、合作努力、市場競爭、創新貢獻和資源投入等因素的影響，而且不同因素有著不同的重要性。運用區間Shapley值法對模糊合作對策的收益進行初步分配。通過將AHP-GEM法和模糊綜合評價法相結合，引入收益分配的綜合修正因子，對區間Shapley值法進行改進，建立了模糊合作對策利益分配的改進模型。以制造業和物流業聯盟為例，說明了改進模型的實用性和可行性。

模糊合作對策；改進區間Shapley值；層次分析法和群組決策特征根法（AHP-GEM）；模糊綜合評價法；收益分配；制造業與物流業聯盟

A

F270

10.3778/j.issn.1002-8331.1302-0149

WANG Xiaoyan,YIN Hui.Improvement and application of interval Shapley value method in fuzzy cooperative games. Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：60-64.

安徽省高校省級人文社科重點研究項目（No.SK2012A106）；中國物流學會研究課題（No.2012CSLKΤ105）；教育部人文社科研究項目（No.10YJA880057）。

王曉艷（1970—），女，副教授，研究方向：物流與供應鏈管理；殷輝(1970—)，男，博士生，副教授，研究方向：技術創新管理、物流管理。

2013-02-25

2013-05-10

1002-8331（2013）15-0060-05