基于格林函數的圖像增強算法

席志紅，趙藍飛，邢代玉

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱 150001

基于格林函數的圖像增強算法

席志紅，趙藍飛，邢代玉

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱 150001

1 引言

隨著對于圖像處理技術的深入研究，數字圖像越來越廣泛地應用于各個領域。絕大多數的圖像都存在圖像質量不高，主觀效果不佳等缺陷，這些缺陷極大地約束了后續的圖像處理算法的效果。為了解決該問題，應用最為廣泛的是圖像增強技術。較優秀的圖像增強算法能夠突出圖像的局部或整體特性，改善圖像的質量，增強圖像的視覺效果。

圖像增強算法有很多，這些算法都能夠在一定程度上改善圖像的主觀視覺效果，但這些算法同樣存在一定的缺陷，例如直方圖均衡化方法[1]能夠有效地提高圖像的整體對比度，但是圖像局部區域內的對比度下降，該方法易造成灰度級的過度合并導致增強圖像丟失部分原始圖像的細節，增強圖像的質量有所下降。Retinex是一種關于人類視覺的光亮度和色彩感知的模型，該模型被廣泛地應用于圖像增強領域[2]。雖然Retinex模型采用分層式的結構，能夠有效地提高圖像的對比度，但是增強圖像存在嚴重的光暈現象[3]，導致高對比度的圖像邊緣的細節被覆蓋。非線性灰度拉伸法[4]對于對比度的提高有較明顯的效果，但是該方法未考慮人眼的主觀視覺效果，并且灰度級的合并造成圖像信息熵的減小，增強圖像的視覺效果較差。

針對以上算法的缺陷，本文提出了一種基于格林函數的圖像增強算法。由于Retinex模型分離出的細節層包括了圖像的細節信息，光照層包括了圖像的對比度信息[5]，所以為了盡可能地保持圖像的細節，在保持細節層不變的前提下，單獨對光照層進行圖像增強。由于格林公式是基于平面區域，還需要已知區域的狄利克雷邊界條件[6]，電像法求解格林函數的前提條件是具有規則、對稱的區域[7]，所以首先采用“二次分塊”將原始圖像分割為多個圓形區域，通過灰度映射得到各圓形區域的邊界像素的灰度值。由于梯度域包含了原始圖像的部分信息，為了保證增強圖像與原始圖像具有較高的相似度，在保持梯度域信息一致的前提下，將求解光照區域內像素的亮度值轉化為求解相應的泊松方程。采用電像法得到各光照區域的格林函數，根據以求得的狄利克雷邊界條件以及平面區域的第二格林公式得到泊松方程的解，即光照區域內各像素的增強亮度值。由于曲線積分的復雜度較高，不利于實時處理，提出一種邊界采樣方法，有效地降低了格林函數的復雜度。最后將增強后的亮度層與細節層相乘得到增強圖像。實驗證明，該算法能夠在提高對比度的同時，有效地保持原始圖像的細節信息，增強圖像的主觀視覺效果較高。

2 Retinex模型與泊松方程

2.1 Retinex模型

根據Retinex理論，圖像由反射層與光照層構成，Retinex模型可表示為：

式中R、I、S分別代表細節層、光照層和原始圖像。其中細節層包含了原始圖像的細節信息，光照層決定了圖像的對比度以及動態范圍。Retinex理論核心的部分是得到光照層I，很多學者在Retinex模型的基礎上提出了一些光照估計算法。其中應用范圍最廣的是單尺度SSR（Single Scale Retinex）算法[8]。SSR算法通過高斯函數與圖像進行卷積估計光照圖像，表達式如下：

式中σ是環繞函數的尺度，λ是歸一化常數。SSR算法雖然能夠估計光照變化較緩慢區域內的亮度信息，但是光照變化較劇烈的圖像邊緣，SSR算法易造成光暈[9]。

2.2 基于梯度域的泊松方程

算法原理如下：令梯度圖像是F，根據梯度算子的性質，光照層I和F滿足如下關系：

式中?是梯度算子。假設增強后的光照層表示為，根據梯度的一致性則可以表示為：

對于1維數據，直接對式（5）的兩邊進行積分就能夠得到對于2維數據，由于方程（5）無解[10]，所以無法直接積分得到增強后的光照圖像。Fattal等人[10]采用式（6）的形式：

間接得到式（5）的解。令P，根據變分法原理，式（6）滿足歐拉-拉格朗日方程。

將P帶入式（7）得到如式（8）的泊松方程：

式中D是拉普拉斯算子，div是散度算子，滿足如下關系：

3 本文算法

3.1 算法原理

光暈的存在是由于算法單純地考慮像素間的空間關系，忽略了像素間的灰度關系所造成的光照圖像的邊緣附近產生較嚴重的灰度突變。由于雙邊濾波在考察像素位置關系的基礎上綜合了像素的灰度變化信息，所以雙邊濾波能夠有效地抑制光暈。雙邊濾波與SSR算法唯一的不同之處在于對卷積核的選取，雙邊濾波的卷積核如下：

式中分別是空域以及灰度域的尺度。

由于雙邊濾波器的形狀是由像素的灰度以及位置信息綜合決定的，所以時間復雜度是O(r2)遠大于SSR的O(r)，其中r是卷積窗尺寸。本文采用文獻[11]提出的快速雙邊濾波算法估計光照圖像。該算法通過快速中值濾波以及多列同步的并行算法減小了雙邊濾波算法的冗余信息，將算法的復雜度降低為O(lbr)。

為了保證增強圖像與原始圖像在梯度域上保持一致，將求解增強后的光照圖像轉化為求解如式（8）的泊松方程。根據2.2節所述，在原始圖像光照層的梯度圖像已知的情況下，只要求得如式（4）的泊松方程的解，得到增強后的光照圖像I，再將I替換為式（1）的原始光照圖像I就能得到保持細節的增強圖像。

3.2 格林公式求解泊松方程

解泊松方程的方法有很多，例如格林公式法、快速傅里葉變換法、中心差分法、多重網格法[12]等。本文采用基于狄利克雷邊界條件的平面第二類格林公式法求解式（8）的泊松方程，其中狄利克雷邊界條件能夠控制平面區域整體的亮度情況，也就是說只要將亮度較低或曝光度較高的區域的邊界像素的亮度值映射到適于人眼分辨的亮度值，再根據格林公式就能夠得到增強的光照圖像。

假設ω是平面閉區域，?ω是區域邊界，邊界條件ω*已知，r是ω內任意一點，則式（9）滿足狄利克雷邊界條件，表達式如下：

根據平面第二格林公式，式（11）的解可以表示為：式中n0是?ω的外法線方向，r0是平面區域ω內點源電荷的位置，G(r，r0)是格林函數滿足點源函數性以及邊界的齊次性，表達式如下：

式中和div?F(r)已知，只有格林函數G未知，因此只要構造出滿足點源函數性以及邊界齊次性的格林函數就能夠得到式（12）的解。

3.3 電像法構造格林函數

常用的格林函數的構造方法是電像法，該方法能夠得到規則、對稱區域的格林函數。假設一個平面圓形區域ω，該區域內部的介電常數ε=1，ω內任一點放置一個電量為q的標準正點電荷，邊界?ω由m個不重復的點組成且滿足關系?ω∈{b1，b2，…，bm}，?bi∈R2。據電像法原理，點電荷在任意邊界點處形成的感應電荷的等效電荷q′在圓心與q點的延長線上，且位于圓外。圖1為點電荷、邊界點以及等效電荷示意圖。

圖1 電荷、邊界點以及等效電荷示意圖

圖1中c是圓心，r0是點電荷，r1是等效電荷，bi點是任意的邊界點并且滿足關系：

又因為∠r0cbi=∠bicr1，推出Dr0cbi相似于Dbicr1，得到以下關系：

式中R是圓的半徑。根據電磁場理論，格林函數G(r，r0)描述了點電荷r0在r的電勢，對于無界空間中任意一點的格林函數可以表示為：

對于圖1的圓形區域，區域內一點r的電勢由r0在無界空間中產生的電勢與邊界等效電荷產生的電勢疊加而成，此時G(r，r0)可以表示為：

由于格林函數具有邊界齊次性，即任意邊界點bi處的電勢為0，所以任意邊界bi的格林函數恒等于0，表達式如下：

整理式（14）、（15）并將結果帶入式（18）得到：

將式（19）帶入式（17）得到圓形區域格林函數的表達式：

將式（20）帶入式（12），得到泊松方程的解，即增強后的光照圖像。

3.4 邊界采樣

根據式（12），求解區域內部像素的灰度值等價于對整個區域的邊界求格林函數的第二類曲線積分，該算法的復雜度是O(mn)，其中m是邊界點的個數，n是區域內的像素總數。此時算法的復雜度較高，不利于實時性處理。這里通過邊界等間隔采樣的方法，降低算法的復雜度。

算法原理如下：首先對于邊界?Ω進行間距為d的等間距采樣，得到的邊界點集可以表示為其中區域內任意一點xi到采樣后邊界點bc歐氏距離是由式（12）可知，當點電荷與邊界點距離較小時，該邊界點對于曲線積分的“貢獻”較大，反之亦然。根據這個結論，設置一個衡量距離的閾值λ，當閾值滿足以下條件時：

說明采樣后的邊界點與xi的距離較大，對于曲線積分的貢獻較小，此時附近的采樣前的邊界點對于曲線積分的影響可以直接用代替；否則邊界點與xi的距離較小，需要進一步增加附近的邊界點的采樣密度。圖2是區域內一個任意位置的點電荷以及對應的邊界采樣得到的點集。

圖2 邊界采樣原理

從圖2可以看出，距離該點越近，邊界采樣得到的有效的邊界點越多，反之亦然。所以當滿足式（21）時，有效的邊界像素減少，所以復雜度較低。

3.5 自適應亮度映射

根據式（12），只要得到格林公式作用的平面區域的狄利克雷邊界條件，就能夠得到區域的內像素的灰度值，所以邊界像素的灰度值控制該平面區域內像素的整體亮度情況。雖然顯示器能夠顯示較為廣闊的亮度范圍，但是人眼對于不同亮度值的敏感程度是不相同的。例如隨著亮度的降低，人眼分辨細節以及局部對比度的能力下降，造成圖像質量下降，強光對人眼的刺激性較強，導致圖像細節被高光所淹沒。

綜上所述，對于較暗的平面區域，需要適當提高邊界像素的亮度值，對于較亮的區域，需要適當降低邊界像素的亮度值，將邊界條件帶入到格林公式中，得到泊松方程的解，即從整體上保證人眼的視覺效果。本文采用文獻[13]提出的分段式自適應亮度值，將邊界像素的亮度值映射到適于人眼觀察的亮度值。該算法采用如表1所示的分段映射。

表1 分段自適應亮度映射 (cd·m-2)

表中L?是亮度值，單位是坎德拉(cd/m2)。由于灰度圖像采用灰度值衡量像素的亮度信息，所以無法直接采用表1的分段自適應亮度映射方法。首先需要將灰度值轉化為相應的亮度值，轉換方法如下：假設Lmin、Lmax分別是顯示器的最小與最大亮度值，像素的灰度范圍是0～255，則像素的灰度轉換到亮度的公式如下：

式中I是通過快速雙邊濾波得到的光照圖像，L是對應的亮度圖像。得到亮度圖像L后，將L帶入表1得到各像素自適應的亮度值。最后還需通過式（21）將亮度值轉化為灰度值，得到對應的灰度圖像。

3.6 算法步驟

根據前文所述，電像法首先需要將圖像分割為一組對稱的平面閉區域，再根據區域的狄利克雷邊界條件，求得泊松方程的解。由于電像法只適用于規則、對稱的區域，這里采用“二次分塊”的方法將圖像劃為多個規則的圓形子塊，通過電像法獲得每個子塊對應的泊松方程的解，最后合并各個子塊的解得到增強圖像。算法具體步驟如下：

步驟1通過快速雙邊濾波將光照層與細節層分開。

步驟2按照原始圖像尺寸將光照圖像劃分為多個相切的圓形區域，如圖3所示。

圖3 初次分塊

步驟3對全部邊界點進行亮度分段映射，得到所有區域的第一類邊界條件。

步驟4抽出一個區域，在區域內任取一個點放置電量為q的點電荷，對該區域進行間隔為d的邊界采樣算法，根據式（20）解得該區域的格林函數。

步驟5將格林函數帶入式（12）求出區域內各像素的灰度值，并將已經解出的像素做標記。

步驟6重復步驟4～5，直到遍歷完全部分割出的圓形區域。

步驟7采用二次分塊將剩余的像素劃入各個子塊，如圖4所示，對于超出圖像邊界的子塊，采用復制邊界的方法對原始圖像進行擴展。

圖4 二次分塊

步驟8對于二次分塊出來的區域，在該區域內的未標記像素中任選一點用來放置點電荷，對該區域進行間隔為d的邊界采樣算法，根據式（20）解得區域的格林函數。

步驟9將格林函數帶入式（12）解得未標記像素的灰度值。

步驟10重復步驟8～9直到遍歷完全部二次分塊的區域。

步驟11將增強后的光照圖像帶入Retinex模型得到增強圖像。

由于第一次分塊解得的像素灰度值已經完全涵蓋了二次分塊得到的區域邊界條件，所以二次分塊后，并沒用采用如步驟3的亮度分段映射得到狄利克雷邊界條件。

4 實驗結果與分析

4.1 主觀視覺效果

圖5 原始圖像

本文采用的硬件平臺是Pentium Dual-Core 2.70 GHz處理器，2.00 GB內存，軟件仿真環境是Microsoft Visual Studio 2010。采用色深24 bit/pixel的位圖文件作為輸入和輸出。圖5是原始圖像，圖6、7是各算法得到的增強圖像，其中本文算法采用的參數是：采樣間隔d=4，圓形區域半徑R=8，距離閾值λ=2，SSR算法的空域尺度σ2=80，非線性灰度拉伸的校正系數是2.0。

圖6 cameraman的增強圖像

圖7 Lena的增強圖像

從圖6、7可以看出，幾種增強算法都在一定程度上提高了圖像的整體對比度，增強圖像的主觀效果有一定的差異。其中直方圖均衡化方法圖像造成灰度級的過度合并導致增強圖像丟失部分原始圖像的細節，造成圖像的質量下降。SSR算法存在嚴重的光暈現象，導致高對比度的圖像邊緣的細節被覆蓋。非線性灰度拉伸法未考慮人眼的主觀視覺效果，并且灰度級的合并造成圖像信息熵的減小，增強圖像的視覺效果較差。本文算法得到的增強圖像不但提高了圖像的整體對比度，增強圖像的細節較豐富，人眼視覺效果較高。圖8是不同的采樣間隔對應的增強圖像。

由圖8可以看出不同的采樣間隔得到的增強圖像的效果有差異。采樣間隔太大導致采樣后的邊界點無法重建區域內像素的灰度值，并且根據內奎斯特采樣定律，采樣頻率過小易造成頻譜的重疊。

4.2 評價指標

由于文獻[14]提出并證明了在無參考圖像條件下衡量圖像清晰度的方法（CSFNRS）滿足評價指標的準確性、單調性、一致性，所以本文采用該評價方法衡量各算法對應的增強圖像的質量。當CSFNRS越大時，表明增強圖像越清晰，圖像質量越高。各算法對應的評價系數如表2、3所示。

圖8 cameraman的增強圖像

表2 cameraman的評價指標

表3 Lena的圖像評價指標

表中信息熵（entropy）描述了圖像包含的信息量的大小[15]，方差（Standard Deviation，SD）描述了圖像的整體對比度[16]。從表2、3可以看出，相比于其他算法，本文算法得到增強圖像所包含的信息量，清晰度以及對比度都比較高，與圖6和圖7的增強圖像的主觀效果保持一致。

采用文獻[17]提出的基于梯度的結構相似度的評價指標（GSSIM）。GSSIM利用人眼對于梯度信息較為敏感的特性，計算出參考圖像與增強圖像的梯度域信息的差異。如果GSSIM越小，說明增強圖像在結構和細節方面與原始圖像保持一致。增強圖像與原始圖像的形似度評價指標如表4所示。

表4中，PSNR是圖像的峰值信噪比[18]，單位是dB。PSNR反映了增強圖像與原始圖像的相似度，PSNR越小時，說明增強圖像在灰度信息方面與原始圖像較為相似。從表4可以看出，本文算法對應的GSSIM和PSNR是最小的，說明本文算法能夠有效地保持原始圖像的結構、梯度信息等信息。

表4 圖像的相似度指標

圖9是在不同參數條件下的峰值信噪比。

圖9 不同參數對應的峰值信噪比

從圖9可以看出在區域半徑R相同的條件下，隨著采樣間隔的增加，PSNR的值越來越小，其原因是隨著間隔的變大，曲線積分可供參考的邊界點越來越少，導致積分結果無法精確地得到泊松方程的解。但是隨著采樣間隔的增加，算法的復雜度越來越大，表5是不同參數對應的算法復雜度。

表5 不同參數下的算法復雜度 dB

表5中，算法復雜度的單位是dB。經過大量實驗，得到R=8，d=4時，增強圖像的視覺效果較好，并且算法的復雜度較低。

5 結束語

為了解決傳統的圖像增強算法的缺陷，本文提出了一種圖像增強算法。算法將求解增強圖像轉化為求解梯度域內的泊松方程，通過電像法求解格林函數，通過邊界采樣方法降低算法復雜度，通過灰度映射得到狄利克雷邊界條件，通過格林函數求解泊松方程，得到最終的增強圖像。實驗證明該算法能夠有效地提高對比度，增強圖像具有較豐富的細節和較高的清晰度。

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XI Zhihong,ZHAO Lanfei,XING Daiyu

College of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

As the traditional image enhancement is suffered from uncomfortable details and visual effect,this paper proposes a new algorithm.Τhe details are ensured by using Retinex model.Τhe consistency in gradient domain between original image and restoration is guaranteed by solving the Poission equation.It adopts the adaptive luminance method to obtain the Dirichlet boundary condition.Τo reduce the complexity,boundary sampling method is executed.By making comparison with restorations, it shows that this algorithm effectively improves contrast,meanwhile the restorations represent excellent effect of sense.

image enhancement;Retinex;Poission equation;Green’s function;gradient domain;method of images;Dirichlet boundary condition

由于傳統的圖像增強算法得到的增強圖像存在細節的缺失，主觀效果較差等缺陷，提出了一種圖像增強算法。通過Retinex模型保證了增強圖像具有較突出的細節特性；通過求解泊松方程滿足了增強圖像與原始圖像在梯度域的一致性；采用自適應亮度映射得到適于顯示的邊界條件；對區域的邊界進行采樣降低算法的復雜度。實驗對比了幾種圖像增強算法得到的增強圖像以及相關的評價系數，驗證了該算法能夠有效地提高圖像的對比度，增強圖像的主觀視覺效果較高。關鍵詞：圖像增強；Retinex；泊松方程；格林函數；梯度域；電像法；狄利克雷邊界條件

A

ΤP391.41

10.3778/j.issn.1002-8331.1303-0146

XI Zhihong,ZHAO Lanfei,XING Daiyu.Image enhancement algorithm based on Green function.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：204-209.

國家自然科學基金（No.60875025）。

席志紅（1965—），女，博士，教授，博導，研究領域為數字圖像處理，嵌入式系統設計，模式識別等；趙藍飛（1985—），男，博士研究生，研究領域為數字圖像設計，嵌入式系統設計；邢代玉（1988—），女，碩士研究生，研究領域為計算機圖形學，信息處理等。E-mail：zlf82563144@163.com

2013-03-12

2013-05-09

1002-8331（2013）15-0204-06

◎信號處理◎