區間直覺模糊連續交叉熵及其多屬性決策方法

李香英

山東青年政治學院 信息工程學院，濟南 250014

區間直覺模糊連續交叉熵及其多屬性決策方法

李香英

山東青年政治學院 信息工程學院，濟南 250014

1 引言

多屬性決策[1-2]廣泛存在于社會、經濟、管理等領域，已經成為涉及數學、經濟學、管理科學和決策科學等多門學科研究的共同課題，其實質是指在合理地處理決策問題時，用以在一組備選方案中選擇和確定最優方案的一套理論、方法和程序等。

由Zadeh[3]于1965年提出模糊集（FS）以來，模糊集理論現已成功地應用于各個領域。然而傳統的模糊集因其不能完整地刻畫所研究問題的信息，因此，Atanassov[4]引入了直覺模糊集（IFS）的概念。由于直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面的信息，因此它廣泛地應用于處理模糊性和不確定性等方面的問題。由于客觀世界的復雜性和不確定性，以及人們思維能力和知識水平的局限性，用于表達決策信息的形式不僅僅只是確定數，而經常以區間數的形式進行描述。于是，Atanassov[5]在直覺模糊集和區間模糊集的基礎上，進一步引入了區間直覺模糊集（IVIFS）。在區間直覺模糊集中，隸屬度和非隸屬度不再是確定的數，而是區間數。

交叉熵是模糊集理論中的一個重要的課題，它是度量兩個系統間差異程度的重要工具。Shannon[6]首先在信息論中引入了交叉熵。Kullback和Leibler[7]提出了一種交叉熵距離，用于度量兩個概率分布間的距離。Shang和Jiang[8]提出了模糊交叉熵，用于度量模糊集間的差異。Vlachos和Sergiadis[9]引入了直覺模糊交叉熵的概念，并且將其應用于模式識別、醫療診斷和圖像分割中。Ye[10]提出了一種基于直覺模糊交叉熵的多屬性模糊決策方法。文獻[11]類比于直覺模糊交叉熵，引入了區間直覺模糊交叉熵的概念。目前，在區間直覺模糊環境下，有關交叉熵的研究很少。因此，本文基于連續有序加權平均（COWA）算子[12]，定義了一種新的區間直覺模糊交叉熵，并且提出了一種基于區間直覺模糊連續交叉熵的多屬性決策方法。其中，在屬性權重信息不完全可知和屬性權重信息完全未知的情況下，分別給出了屬性權重的確定方法。

2 預備知識

定義2.1[5]設X為一個非空集合，D[0，1]表示區間[0，1]上的所有閉子區間構成的集合，則稱

為X上的區間直覺模糊集（IVIFS）。其中：

滿足以下條件：

其中，μΑ(x)和νΑ(x)分別表示集合X中的元素x屬于Α的隸屬度和非隸屬度。

定義2.2[12]設Q為基本單位區間單調BUM函數，即Q:[0，1]→[0，1]，Q(0)=0，Q(1)=1，并且Q(y)為單調函數。令Ω為非負區間數集，a=[a-，a+]∈Ω，F:Ω→R+。若

則稱F為連續有序加權平均（COWA）算子。

因此，FQ([a-，a+])是區間[a-，a+]的端點加權平均。當λ=0時，FQ(a)=a-；當λ=1時，FQ(a)=a+。于是，決測者可以根據其對決測結果所持的態度取不同的BUM函數Q(y)。

3 區間直覺模糊連續交叉熵和連續交叉熵距離

如何度量兩個區間直覺模糊數間的距離是模糊集理論中的一個重要課題。由于兩個系統間的差異性可以通過它們之間的交叉熵進行度量，人們就借用信息論中的交叉熵來定義兩個系統間的距離。

對于論域X={x1，x2，…，xn}上的兩個模糊集M={M(x1)，M(x2)，…，M(xn)}和N={N(x1)，N(x2)，…，N(xn)}，Shang等[8]提出了一種新的模糊交叉熵的確定方法：

對于論域X={x1，x2，…，xn}上的兩個直覺模糊集Α和B，Vlachos和Sergiadis[9]定義了一種直覺模糊交叉熵：

定義3.1 設為兩個區間直覺模糊數為COWA算子，則稱為間的區間直覺模糊連續交叉熵，其中：

然而，間的區間直覺模糊連續交叉熵不滿足對稱性，則定義如下距離：

定義3.2設為兩個區間直覺模糊數，則稱

為間的連續交叉熵距離。

由定義2.2知，連續交叉熵距離是態度參數λ的函數，因此，決策者可以根據其偏好而選擇不同的參數λ，進而確定區間直覺模糊數間的連續交叉熵距離。

命題3.1 設α，β∈Ω為兩個區間直覺模糊數，α=間的連續交叉熵距離滿足以下性質：

4 基于區間直覺模糊連續交叉熵的多屬性決策方法

隨著社會經濟的迅速發展，信息的劇增，現實世界的各種決策問題比以前更加復雜、模糊和不確定，具體表現為決策信息是區間數、直覺模糊數及區間直覺模糊數等形式。本章給出了在區間直覺模糊環境下確定屬性權重的方法，并且提出了一種基于連續交叉熵距離和相對貼近度的多屬性決策方法。

設X={X1，X2,…,Xm}為備選方案集，C={C1,C2,…,Cn}為屬性集。D=為專家們提供的區間直覺模糊決策矩陣，其中為備選方案Xi在屬性Cj下的屬性值，且假設屬性權重向量為W=

4.1 基于區間直覺模糊連續交叉熵的屬性權重確定方法

在屬性Cj下，備選方案Xi與其他所有備選方案間的平均連續交叉熵為：

則在屬性Cj下，所有備選方案Xi(i=1，2，…，m)與其他所有備選方案間的綜合平均連續交叉熵為：

在決策過程中，所有方案在某一屬性下的屬性值差異越小，那么這個屬性提供給決策者的信息量就很少，在決策過程中的重要性就越低，則應該賦予這個屬性的權重就越小。反之，若所有方案在某一屬性下的屬性值有明顯的差異，那么這個屬性在選擇最優方案的過程中重要性就越高，因此應賦予其大的權重。

若決策者對屬性Cj，j=1，2，…，n的權重wj的信息完全未知，則可通過以下方法確定權重wj：

若決策者僅僅知道屬性Cj，j=1，2，…，n的權重wj的部分信息H，為了得到最優的權重向量，則可建立以下模型確定權重wj：

4.2 區間直覺模糊連續交叉熵的多屬性決策方法

本節運用ΤOPSIS的思想[13]，基于區間直覺模糊連續交叉熵，提出一種新的區間直覺模糊多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1根據專家們提供的區間直覺模糊決策矩陣D=，利用公式（10）或模型（11），計算屬性權重向量W=(w1，w2，…，wn)。

步驟2構造正理想方案X+和負理想方案X-如下：

運用公式（7）分別計算備選方案Xi(i=1，2，…，m)與正理想方案X+和負理想方案X-的距離如下：

步驟3計算各備選方案Xi(i=1，2，…，m)與理想方案的相對貼近度Ri：

步驟4將相對貼近度R1，R2，…，Rm按降序進行排列，則最大的相對貼近度所對應的方案為最優方案。

5 實例分析

利用本文提出的新的決策方法對實例進行分析。由式（7）可知，當態度參數λ取不同的值時，可以得到不同的連續交叉熵距離。本例取態度參數λ=0.5時的連續交叉熵距離對實例進行分析。

假設某一投資公司將選擇一個項目進行投資，總共有以下四個項目可以考慮：（1）X1為一個汽車公司；（2）X2為一個電腦公司；（3）X3為一個軍火生產商；（4）X4為一個食品公司。該投資公司需要考慮下面三個方面并作出選擇：（1）C1風險分析；（2）C2發展前途；（3）C3社會環境壓力分析。專家們根據已知信息提供了表1所示的區間直覺模糊決策矩陣[14]。運用本文提出的區間直覺模糊連續交叉熵的多屬性決策方法選擇最優的投資項目。

表1 區間直覺模糊決策矩陣

步驟1運用公式（10）計算屬性權重，得到屬性權重向量為：W=(0.421 3，0.084 4，0.494 3)。

步驟2構造正理想方案X+和負理想方案X-：

運用公式（12）和公式（13）計算四個項目方案Xi(i=1， 2，3，4)分別與正理想方案X+和負理想方案X-的距離和，結果如下：

步驟3根據公式（14）計算四個項目與理想方案的相對貼近度：

步驟4根據相對交叉熵對四個備選項目進行排序：X2?X3?X4?X1，因此最優的投資項目為X2，這與文獻[14]的結果是一致的。

6 結論

自從Atanassov引入區間直覺模糊集的概念以來，對區間直覺模糊交叉熵理論的研究相對較少。本文在區間直覺模糊交叉熵的基礎上，結合COWA算子，定義了一種新的區間直覺模糊交叉熵，即區間直覺模糊連續交叉熵，并且進一步提出了兩個區間直覺模糊數間的連續交叉熵距離，其優點在于可以根據決策者的偏好選擇不同的態度參數，從而得到不同的連續交叉熵距離。其次，本文分別給出了在屬性權重信息部分可知和屬性權重信息完全未知的情況下的權重確定方法。最后，基于區間直覺模糊連續交叉熵提出了一種新的區間直覺模糊多屬性決策方法。實驗結果驗證了新的決策方法的可行性和有效性。

[1]邱苑華.管理決策與應用熵學[M].北京：機械工業出版社，2001.

[2]徐玖平，陳建中.群決策理論與方法實現[M].北京：清華大學出版社，2009.

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[4]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96.

[5]Atanassov K，Gargov G.Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，31：343-349.

[6]Shannon C E.A mathematical theory of communication[J]. Bell System Τechnical Journal，1948，27：379-423.

[7]Kullback S，Leibler R A.On information and sufficiency[J]. Annals of Mathematical Statistics，1951，4：99-111.

[8]Shang X G，Jinag W S.A note on fuzzy information measures[J].Pattern Recognition Letter，1997，18：425-432.

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[10]Ye J.Multicriteria fuzzy decision-making method based on the intuitionistic fuzzy cross-entropy[C]//Τang Y C，Lawry J，Huynh V N.Proceedings in International Conference on Intelligent Human-machine Systems and Cybernetic，2009：59-61.

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[12]Yager R R.OWA aggregation over a continuous interval argument with applications to decision making[J].IEEE Τransactions on Systems，Man，and Cybernetics-Part B，2004，34（5）：1952-1963.

[13]Xu Z S.Multi-person multi-attribute decision making models under intuitionistic fuzzy environment[J].Fuzzy Optimization and Decision Making，2007，6（3）：221-236.

[14]高志海，魏翠萍.一種區間直覺模糊熵公式及其應用[J].計算機工程與應用，2012，48（2）：53-55.

LI Xiangying

College of Information Engineering,Shandong Youth University of Political Science,Jinan 250014,China

Τhis paper presents the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy under the intervalvalued intuitionistic fuzzy environment,which is based on the COWA operator.Τhe continuous cross-entropy distance between two interval-valued intuitionistic fuzzy values is proposed by using the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy.It obtains the weighted distance degree values between every alternative and ideal alternative depending on the Τechnique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution（ΤOPSIS）method,and calculates the relative closeness for each alternative with respect to ideal alternative.It can select the best alternative in accordance with the relative closeness.On the one hand,a programming model based on the principle of maximum cross-entropy is proposed to calculate the attribute weights aiming at the decision making problem with binding attribute weight conditions.On the other hand,it develops a method to obtain the attribute weights in accordance with the cross-entropy theory,aiming that the information about attribute weights is completely unknown.A practical example shows the feasibility and validity of the proposed decision making method.

interval-valued intuitionistic fuzzy sets;continuous cross-entropy;Continuous Ordered Weighted Average（COWA）operator;multi-criteria decision making

在區間直覺模糊（IVIF）環境下，利用連續有序加權平均（COWA）算子定義了一種新的區間直覺模糊數間的交叉熵，即區間直覺模糊連續交叉熵。依據提出的區間直覺模糊連續交叉熵定義了直覺模糊數間的連續交叉熵距離。基于ΤOPSIS的思想得到備選方案與理想方案的加權距離，并且計算備選方案與理想方案的相對貼近度，依據相對貼近度選擇最優方案。其中，針對屬性權重信息不完全確定條件下的決策問題，提出了以區間直覺模糊連續交叉熵最大為準則的規劃模型；針對屬性權重信息完全未知的情況，根據交叉熵理論確定屬性權重向量。實驗結果驗證了新的決策方法的可行性和有效性。

區間直覺模糊集；連續交叉熵；連續有序加權平均（COWA）算子；多屬性決策

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0365

LI Xiangying.Interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy and its application in multi-attribute decisionmaking.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：234-237.

李香英（1971—），女，講師，主要研究領域為數據庫應用，軟件系統開發。E-mail：victory_lxy@163.com

2012-11-29

2013-03-04

1002-8331（2013）15-0234-04

CNKI出版日期：2013-03-21 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20130321.0939.004.html

◎工程與應用◎