數學的開放性問題

蘇尼來

（赤峰學院，內蒙古赤峰024000）

數學的開放性問題

蘇尼來

（赤峰學院，內蒙古赤峰024000）

本文就如何轉變觀念，形成開放意識，以及在解決開放性問題中的條件開放性、結論開放性、方法開放性等問題時如何正確靈活的運用數學思想提出了一些看法.

開放性；思想方法；靈活；開放意識；創新精神；創造能力

1977年，日本國立研究所數學教育學者小組以島田茂為首的學者在《算術數學課的開放式問題——改善教學的新方案》報告文集中首先提出“數學開放題”這個名詞，并提出了“數學開放教學方法”，在不斷的研究和探索中，開放題已進入日本的數學課本，并已占一定的比例.開放題作為研究“問題解決”熱潮中的產物，在美國中小學數學教學中已被普遍地使用.美國加利福尼亞州教育部于1989年專門指出了開放性問題的五大功能，其中談到開放性問題的模式是數學課堂教學的基本成份.80年代以來，數學開放題被介紹到中國，90年代出現在教材中并進行教學中的試驗，近年來已逐漸成為我國數學教學改革的一個熱點.《新課標》中明確指出高中數學在數學應用和聯系實際方面需大力加強，教師應創設適當的“問題情境”，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.“以問題為中心，以學生為中心”是新課程倡導的核心理念.然而，當前受考試文化的影響有些人對開放題的認識還存在著一定的誤區，認為開放題在單一的技能訓練、知識學習上費時費力，效率較低，在教學中易受課時的制約，在課堂上常常出現學生的思維在低層次上重復，不易進行深入的研究，因此不太重視開放性題目的教學，還是以死記硬背代替參與，以機械方法代替智力活動，大大抹殺了學生的創新能力.作者認為在開放題教學中如果能正確運用數學思想方法，讓學生以知識的主動發現者的身份出現，在研究過程中通過綜合運用、重組以學的知識，有助于培養學生的優化意識，可以在解題能力、擴大知識面等方面得到提高.

近年來，數學開放題作為一個具有時代特色的數學教育改革亮點，已日益引起我國教育階的注意，逐漸成為數學教學改革的一個熱點，也已成為高考命題的一個新方向.開放題有利于學生根據自己的認知結構對問題作出解釋，實現對知識的主動建構，獲得認知結構的改造和重組.由于數學開放題強調了學生解題的過程，體現了學生在教學活動中的真正主體地位，從而極大地提高了學生的學習積極性，是克服“灌輸式”教學傾向的解藥.其解法靈活且具有一定的探究性，開放性問題立意于培養和考查學生的思維品質和創造性分析問題和解決問題的能力，即綜合考查學生的數學素質，是一種考查學生歸納推理能力、直覺思維能力和創新意識的題型.其內容可涉及數學的各個方面，無法套用一個統一的解題模式，因此，在求解開放性問題時，正確運用數學思想方法來突破難點就顯得格外重要.

1 轉變觀念，形成開放意識

學習的目的是為了使自然人過渡到社會人，使社會人更好地服務于社會.由于社會時刻在發生著變化，因此，一個良好的社會人必需具備適應社會變化的能力.用現成的方法解決現成的問題僅僅是學習的第一步，學習的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案.我國教育部基礎教育司明確指出：“課程是一個歷史范疇，課程目標、課程結構、課程內容都將隨著時代的發展而變革.”“教科書”應體現科學性、基礎性和開放性.因此首先必須改變那種被動的、封閉的教學意識.

當技術的發展已使社會數學化，數學的應用已滲透到開放社會的各個方面的時候，數學不能僅僅理解為一門演繹科學，數學還有其更重要的一面，即它是一門非邏輯的、生動的、有豐富創造力的科學.開放題的引入順應開放化社會的需求，促進了數學教育的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養學生的創新精神和實踐能力.

2 解開放性問題的方法指導

開放性問題是指給出了問題的條件，但未給出問題的結論，或問題的結論不確定，而需要解答者探求問題的結論這樣一種形式的題目.與條件完備、結論明確、答案唯一的封閉性問題相比，開放問題的入口寬、解法活、形式新.

2.1 條件開放性問題

傳統的答題模式多數是條件與結論對應的定式訓練，解題時不必考慮條件的由來.然而現實生活中人們得到的信息對于某個具體問題而言絕大多數是不確定的，還可能有一些是未知的，必須善于從大量信息中篩選出有用的信息.

條件開放性問題是指問題的結論明確，而條件不明確或不足，且需要完備使結論成立的充分條件.解這類問題，一般是模仿分析法，將題設和結論視為已知條件，倒退分析，執果索因，導出所需的條件.

例1已知二次函數f(x)的首項系數為負數，對于任意實數x，都有

f(2-x)=f(2+x).

試問：當f(1-2x2)與f(1+2x-x2)滿足什么條件時，才有-2＜x＜0？

解由于結論是關于x的不等式，故猜想f(1-2x2)與f (1+2x-x2)應滿足不等關系.

由f(x)的二次項系數為負數及f(2-x)=f(2+x)知，拋物線的開口向下且關于直線x=2對稱，于是f(x)在(-∞,2]上單調遞增，在[2,+∞)上單調遞減.

又1-2x2≤1，1+2x-x2=2-(x-1)2≤2，故需討論1-2x2與1+2x-x2的大小.

因為(1-2x-x2)-(1-2x2)=x(x+2)，

所以，當x(x+2)＜0，即-2＜x＜0時，1-2x2＞1+2x-x2.

故當f(1-2x2)＞f(1+2x-x2)時，才有-2＜x＜0.

解答條件開放性問題的一般思路是：把產生結論的條件一一分析列出，分別加以探究，也可用分析法尋找條件.由目標“-2＜x＜0”導出f(1-2x2)與f(1+2x-x2)所滿足的是不等關系，這一猜想是解答本題的突破口，想到利用函數單調性是關鍵.

例2設函數f(x)=sin2x，若f(x+1)是偶函數，則t的一個可能值是_____.

解因為f(x+t)=sin2(x+t)=sin(2x+2t)且f(x+t)是偶函數.

所以f(x+t)=f(-x+t)

即sin(2x+2t)=sin(-2x+2t).

由此可得2x+2t=-2x+2t+2kπ

或2x+2t=π-(-2x+2t)+2kπ(k∈Z)

在“執果索因”的過程中，要學會正確使用連接有關步驟的關鍵詞，如：“欲證”，“只需證”，“即證”.還要考慮推理過程的可逆性，不要將充分條件當做必要條件.

2.2 結論開放性問題

結論開放性問題是指結論不確定、不唯一，或需要通過類比、引申、推廣，或需要通過特例歸納.解決這類問題的策略是：先探索結論而后去論證結論.在探索過程中常可先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結論，再就一般情形去認證結論.這類問題主要有存在性問題、歸納性問題和討論性問題.

2.2.1 存在性問題

存在性問題在數學命題中以適合某種性質的結論“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出現.“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質的對象.對于這類問題無論用什么方法，只要找到一個即可.“不存在”一般需要推理論證，常用反證法.“是否存在”結論有兩種可能：若存在，則需要找出來；若不存在，需要說明理由.解答這類問題，一般先承認結論，變結論為條件，然后或有特例歸納，或由演繹推理說明合理性.

例3設等比數列{an}的公比為q，前n項和為sn，是否存在常數c，使數列{sn+c}也成等比數列？若存在，求出常數c；若不存在，請說明理由.

解存在性問題一般是從假設存在入手，逐步深化解題的進程.

設存在常數c，使數列{sn+c}成等比數列.

因為(sn+c)(sn+1+c)=(sn+1+c)2

所以sn·sn+2-s2n+1=c(2sn+1-sn-sn+2)

（i）當q=1時，sn=na1代入上式得

a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[a(n+1)-n-(n+2)]得a12=0

但a1≠0，于是不存在常數c，使{sn+c}成等比數列.（ii）當q≠1時代入上式得

等比數列n項求和公式中公比的分類，極易疏忽公比q=1的情形，且不要忽視.

存在性問題的解題思路是先假定“存在”，若經推證無矛盾，則“存在”成立，若推出矛盾，則結論為“不存在”.分析法或反證法是解這類題常采用的證明方法.

2.2.2 歸納性問題

歸納性問題是指對于只給出問題對象的一些特殊關系，需要解題者探求一般規律的一類問題.解決這類問題常常從最簡單、最特殊的情況出發，推測結論的各種可能性，或者找到一般規律，然后加以證明.若有參數，可以先用待定系數法確定參數，再加以論證.若命題與自然數有關，可以具體考慮前幾個自然數的情況，通過比較、觀察、歸納、猜想得出結論，再用數學歸納法證明.

（2）在仔細觀察、分析和探究的基礎上，由（1）題可猜測出怎樣的一般結論？并證明你的猜測.

②設n=k(k≥1，k∈N*)時命題（a）成立，即

當n=k+1時，因為

即當n=k+1時，命題（a）仍成立.

綜合①、②可知，命題（a）對于一切正整數n都成立，所以猜測是正確的.

在解決有關自然數n的命題P(n)時，先求出P(1),P(2), P (3)等幾個特殊情況，從中探究一般性規律，并猜測一般情況下的結論，再用數學歸納法（或其他方法）加以證明，這是歸納猜測型問題中常用的方法.

2.2.3 討論性問題

討論性問題，應全面考察問題的各個方面，做到既不遺漏也不重復.

例5已知a∈R，試確定方程|z-1|-|z+1|=2a在復數平面上所表示的點集.

解根據復數的幾何意義，|z-1|-|z+1|表示復數z的對應點與點A(1,0)及B(-1,0)兩點距離之差.考慮到|AB|=|1-(-1)|=2.

①當0＜a＜1時，點集表示以A(1,0)、B(-1,0)為焦點，實軸長為2a的雙曲線在y軸左側的一支；

②當-1＜a＜0時，點集表示以A(1,0)、B(-1,0)為焦點，實軸長為2a的雙曲線在y軸右側的一支；

③當a=1時，點集表示射線y=0(x≤-1)；

④當a=-1時，點集表示射線y=0(x≥1)；

⑤當a=0時，由|z-1|=|z+1|，點集是線段AB的垂直平分線，即y軸；

⑥當a＞1或a＜-1時，由2|a|＞2，點集為空集.

正確的分類是解決這類題的關鍵，分類的原則是不重復不遺漏，只有按照同一個標準去分類，才能做到不重復不遺漏.另外還要考慮到分類對所研究問題結論的影響，當一次分類不能達到目的時，還要考慮進行多次分類.

2.3 方法開放性問題

方法開放性問題是開放性問題中最重要的，這是體現數學本質的東西，也是思維訓練的主干道.沒有固定的解題模式，通常運用觀察、類比、聯想、模擬等方法在條件和結論之間創造某種超常規的途徑和方法探求解題思路，成功后再給出嚴格的論證.例6已知函數，那么

本題的關鍵在于在陌生的問題情境中能自主探索，提取相關信息，獲得規律，從而解決問題.

例7設函數f(x)的定義域是R，對任意x，y∈R有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且存在，試問f(x)是不是周期函數？如果是，找出它的一個周期；如果不是，說明理由.

分析：注意到所給條件中的結構特征，聯想到三角函數中的一個等式：

函數，它的一個周期是2c.

下面給出證明：

所以2c是f(x)的一個周期.

無論解決哪種開放性問題，都要采用“挖掘隱含條件”、“活用數形結合”、“等價交換命題”等常用手段來啟迪思路.

開放題教學的作用：一是激發學生學習興趣，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性.二是引導學生多思考、多探索，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，真正實現學生主動參與.三是解答時不但要綜合運用、重組已學的知識，而且時常需考慮解決問題的策略，能夠在解題能力，擴大知識面等多方面得到提高.

數學開放題不應該排斥傳統教學，它是傳統教學的一種補充.解決問題時我們應具有開放的意識.遇到一類問題應該首先考慮它屬于什么類型，應該運用什么方法.如果運用常規方法有困難或行不通，我們可以換一個角度，從不同的思維方式對問題進行探索，這樣才有利于高層次思維的發展.正確運用數學思想、靈活應用解題技巧，還要特別注重解題后的自我反饋和自我小結，發現習題中潛在的知識信息，去聯想、歸納、類比，以尋找知識間的聯系，鞏固和發展教學思想方法和處理技巧，培養獨立思維與創造思維能力，在實踐中逐步摸索經驗，才能真正有效地體現數學開放題的教育價值，調動學生的積極性和主動性，深切領會數學的實質，形成正確的數學觀念和數學意識，進一步掌握數學的靈魂——思想方法，使數學才能得到最大限度的發揮，為今后的學習以及用數學的思想方法、思維方式來解決實際問題做準備.

〔1〕吳長江.高中數學開放性問題.上海大學出版社，2002. 56-70.

〔2〕戴再平.數學開放題.中學數學教學參考，1993（12）：112—117．

〔3〕沈翔.數學新題研究.華東師范大學出版社，2003.76-81．

〔4〕張同語.淺探數學開放題的教學.教學縱橫，2002.41-42．

〔5〕趙迎春.數學開放性教學的探究與實踐.中學數學研究，2004（4）：8-11．

G633.6

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1673-260X（2013）07-0009-03