意外生成 精彩探究——一堂拓展訓練課上的意外探究

☉江蘇省蘇州市吳縣中學 吳海燕

在我們平時的教學中，常會遇到這樣的情形，原本一堂風平浪靜的課，卻由于學生的一個提問改變了教師的預設，將我們的課堂教學引向未知的方向.其實，當我們教師面對此種情形時，如能從尊重學生的需要出發，順勢將生成進行到底，往往會收到意想不到的教學效果.筆者就曾有過多次這樣的體驗，現將一次體驗介紹給大家，并談談一些認識，供同仁們賞析.

一、課例展示

這本是為部分高一優秀學生所上的一堂拓展訓練課，課題為《函數奇偶性與單調性應用》，首先筆者與學生們一起回憶了函數奇偶性與單調性的有關概念，接下來出示了下面一道題：

（出示該題，意在提醒學生：涉及函數奇偶性的問題，必須先考慮函數定義域.沒想到，題目一出現，就立即引起了“轟動”，答案k=1的聲音占了主流.）

這是一道隱蔽性極強的題目，大多數學生認為該函數的定義域是R，從而誤入歧途.解鈴還須系鈴人，筆者請一位答錯的同學來回答一下他是怎樣得到該結果的.

生 1：因為函數f（x）是奇函數，所以f（0）=0，由此得k=1.

師：你這樣解，思維嚴謹嗎？

生1：我認為這方法很巧，沒覺得有不嚴謹的地方.

（教室里面發出笑聲，有一位學生立即站起來反駁.）

生2：題目說f（x）在定義域上為奇函數，又沒說0一定在其定義域內，所以不能利用f（0）=0這一結論.

生1：有道理，老師我明白了.

師：同學們，你們認為生2的回答對嗎？如何正確解答這道題呢？

（絕大部分同學都表示了贊同，這時一位女生站了起來.）

生 3：利用f（-1）=-f（1）得k=±1，然后再分別檢驗對其定義域中的所有x是否滿足f（-x）=-f（x）.

師：很好，生3的解法體現了特殊到一般的數學思想.還有別的方法嗎？

生4：我利用的是奇函數的定義.由于對于定義域中的任一個x值，總有f（-x）=-f（x），通過方程思想對比系數后可得k2=1，從而得到k=±1，我認為這樣做比較嚴謹.

師：是啊，生4的解法也是該題的另一種正確解法，這道題給我們兩個啟示：（1）函數奇偶性的問題一定要先考慮定義域；（2）奇函數在x=0處有意義才有f（0）=0.從生4的解答中我們還得到一個很有用的技巧：對于等式恒成立問題，可以對比等式兩端系數得到方程來解未知數.

（錯誤往往是正確的先導，是我們最好的老師，錯誤和挫折可以使我們變得聰明起來——今天的錯誤就是明天的教訓.）

生5：老師，你說這個函數是奇函數，那這個函數應當有對稱中心，這個函數的對稱中心是什么呢？

（按照原來的設計，學生已經認識了錯誤的根源，掌握了正確的解法，這個問題可以告一個段落了，況且在這一個沒有太多生成空間的問題上過度停留，勢必影響我的教學計劃，但當我看到生5充滿期待的眼神，我心中立刻改變了主意.）

師：你要找對稱中心干什么呢？對本題的解答有幫助嗎？

生5：老師，找到對稱中心，讓這個對稱中心是原點，不就能確定k了嗎？

（生5的回答讓我感到很振奮，決定及時抓住這個機遇，引導學生作進一步探究.）

師：思路不錯，那我們掌握的知識中與對稱中心有關的結論有哪些呢？

生 6：函數f（x）的圖象關于點（m，n）成中心對稱等價于f（x）+f（2m-x）=2n對一切定義域中的x值恒成立.

師：好，這么說，這應當是一個等式的恒成立問題，剛才我們總結了這類問題的一般解法，那應該是能解決的.

解：顯然，k≠0，設其對稱中心為（m，n），則對定義域中的每一個x值，均有

f（x）+f（2m-x）=2n成立.接下來如何求解呢？

師：上式對于定義域內的所有x恒成立，怎么處理呢？

生8：通過對比等式兩端系數得到等式，求出m，n的值，由上式得

（生5答完后發出得意的笑聲，有學生質疑這樣做太繁瑣.）

師：作為一道填空題，這樣來做確實有點繁瑣，但是，通過這個問題的解決，我們不僅得出了一類函數的對稱中心，而且利用所掌握的知識對未知問題進行了積極的探索.

（正當我欲轉入下一個題目時，金子般閃光的聲音又響了起來.）

（這幫學生太厲害了，我的興趣又提了上來.）

師：你們能找到這類函數圖象的對稱中心嗎？

（短暫的緊張運算后，一個同學站了起來.）

生10：函數圖象的對稱中心為

同學們和我都沉醉在探究帶給我們的美好享受中，此時時間已過半，我不敢耽擱，準備繼續往下講解例題.

師：至此我們已經探究出這兩類一般函數的對稱中心.同學們還有什么想法嗎？

（不經意的一問，又惹來了“麻煩”.）

生12：老師，對于第二個函數的對稱中心也可以這樣做：

化未知為已知，我和其他同學都被征服了，大家報以熱烈的掌聲！看到同學們熱情如此高漲，我決定放棄原來的教學計劃.

師：生12借助原函數與反函數圖象間的關系，利用化歸的思想求得對稱中心，說說看，你是怎么想到求反函數的？

生12：這兩類函數的對稱中心橫、縱坐標交換之后除了相差一個負號，形式基本相同，所以我聯想到了反函數，老師，不知道我說的對不對.

（生12顯得很興奮，但又很靦腆.）

師：你真是個機靈鬼，這位同學觀察很仔細，我們今后要向他學習.

……

一節課就這樣不知不覺地過去了，同學們似乎意猶未盡，研究的熱情異常高漲，課后他們根據課堂的研究思路，進行了變題與編題競賽，收獲頗豐.下面是學生的部分成果：

學生的探究活動不僅在課內，還延伸到了課外.而筆者既有驚喜，也有遺憾.

驚喜的是，每個學生都有著探究的熱情、探究的欲望和創造的潛能，他們不僅能發現問題，提出問題，而且還能很好地解決問題.

遺憾的是，與長期形成的“規范”的課堂教學相比，心里有一種浪費了時間的感覺.教學未能按計劃實施，偏離了預定的教學目標，余下例題的講解任務，看來要待到下一節課再去補償了.

二、教學感悟

教了十余年的書，怎樣才能使我們的數學課上得更精彩？更高效？筆者陷入了深深的思考之中.

1.捕捉生成問題，形成教學生長點

新課程標準指出：學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐等學習數學的方式.數學探究是新課程的重要理念.如今的數學課堂，學生還是在教師的預設下進行探究，其實還是教師牽著學生的鼻子走，是一種“偽探究”.真正的課堂探究歸根結底是以學生是否參與，怎樣參與，參與多少來決定的.研究表明，學生對于他們自己提出的即時性問題比較感興趣.面對這些問題，他們樂于探究、勇于探究，這樣的探究才是真正的探究.

教育家蘇霍姆林斯基曾說：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中作出相應的變動.”因此，數學教學中，教師要有捕捉生成問題的意識，對學生暴露出的錯誤、即興的提問、獨特的見解，教師并不是一味地壓制，而是及時地分析、判斷并有效地加以利用，使之成為高效課堂的教學生長點.如生5、生12的想法雖在教學預設之外，卻彰顯了學生思維個性和深邃的洞察力，如果教師不及時捕捉和利用生成問題，就可能錯失一次難得的探究機會，它們也會相繼被扼殺在思維的搖籃里.反之，教師如果能順水推舟，讓學生充分地發表意見，和學生一起展開思考、探究，那么學生的思考熱情和探究欲望會不斷高漲，創造火花就會不斷迸發，最終導出兩類一般函數對稱中心的勝利果實.

2.站在學科高度，對待動態生成

課堂教學中，教學活動有時會偏離原來的教學設計，出現“意外”，面對這種“意外”生成，我們不應回避或忙著為自己的下一個環節奔波，我們應當正視和利用這種“生成資源”，尊重學生的需要，從整個高中數學的角度看待這個問題，而不能拘泥于本節課的教學設計，只要是能發展學生思維的，提高學生能力的，鍛煉學生意志的，就是值得探究的.如本節課對兩類一般函數對稱中心的探索，一方面符合高考的需要——考察等式恒成立問題，另一方面也通過探索過程使學生對解決這一類問題的方法留下了深刻的影響，對師生來說是“雙贏”.筆者以為，螺旋式的、往復遞進的學習過程對學生持久掌握知識會有著明顯的作用，很多時候“有效教學”不是針對某節課而言的，而應該把它放在整個高中數學教學體系中，從而客觀評價它是否對提高高中教學質量真正“有效”.當然，教師應能判斷出學生課堂的生成性問題，是否有價值，并不是學生的任何問題都應在課堂上解決的.否則，個別學生不具共性的問題，在課堂解決，既浪費了其他學生的寶貴時間，也有悖于“有效教學”的要求.

3.開展研究學習，提高探究能力

數學研究性學習是學生數學學習的一個有機組成部分，它強調學習的過程，強調對知識技能的應用，強調學生親自參與與探索性實踐并獲得感悟，強調學生的全員參與，即強調學生的主體性.在這一過程中，生生之間、師生之間的相互交流，促使學生不斷反思自己的認知，我的理解是什么？我是怎么理解的？我的思路有哪些值得改進的地方？從而自己去發現錯誤，感受新知，并將其內化為自己的解題經驗，最終提高自己在“陌生”情境中的探究能力.如生1見到奇函數就想到f（0）=0的想法，在生2的幫助下立即醒悟過來：那就是奇函數要用f（0）=0必須注意適用范圍；生12敏銳的觀察能力和別出心裁的求解方法對全班學生都起到了很好的示范——要善于從不同角度解決和探究問題.試想，在這樣一種研究和討論的氛圍下，學生一定會在不斷地動腦和不斷地解決問題的過程中提高分析問題和解決問題的能力，最終促成學生群體創新能力的提高.也只有這樣，我們的學生才能在高考中立于不敗之地.

1.何智.一堂“偏離”教學目標的高三復習課［J］.中學數學學教學參考（上旬），2009（8）.

2.邵賢虎.意料之外，情理之中［J］.中學數學（上），2010（8）.