高中數學探究式教學的實踐與思考

☉江蘇省海州高級中學 徐進勇

隨著我國新的課程課標改革的推行實施，課堂教學發生了根本的變化，已初步構建了以學生為主體、以教師為主導、以學生自主探究為主線的探究式教學模式.筆者依托自己的課堂教學實踐，對高中數學課堂的探究式教學進行了積極探索，也有了一些心得.為拋磚引玉，特作總結以供商榷.

一、探究式教學

探究式教學是一種積極的學習過程，主要指的是學生在學科領域或現實生活的情境中，通過發現問題、調查研究、動手操作、搜集和處理信息，表達與交流等探究性活動，獲取知識、技能、情感態度和體驗的一種學習方式和學習過程.探究是“求索知識或信息，特別是求真的活動；是搜尋、研究調查、檢驗的活動；是提問和質疑的活動”.［1］探究學習十分尊重學生的需要并特別關注學生的內心世界——學生有探究、獲得新的體驗、獲得認可和欣賞以及承擔責任的需要等.與其他學習方式相比較，探究學習表現出更多的開放性、問題性、實踐性和學生參與性特征，而且學習過程中學生間的相互合作、學習結果的自主建構等方面也與其他學習方式有明顯不同.研究者普遍認為，經歷探究過程、獲得理智和情感體驗、積累知識和方法是探究學習所關注的三個目標.在觀念上注重平等、開放、民主；在過程中強調自主、體驗、個性；在形式上表象生動、多樣、有趣；在目標上追求現代、務實、多元.探究學習也關注結果——強調通過探究去建構知識、掌握解決問題的方法、獲得指揮能力的發展，但它更關注探究的過程——強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗，注重提高學生的探究能力和轉變學生的學習方式.［2］

二、探究式教學內容的特征

并不是所有的教學內容都適合探究式教學，適合探究式教學的內容應具有以下某些特征：

1.問題性：學生在學習某一新的理論知識時，由于固有的知識和認知結構的存在，對相應的理論知識會進行不完整的簡單推理和延伸，從而得出了與所學理論知識相悖的錯誤結論.于是便產生了舊有知識和認知結構與新知識之間的矛盾.在這種矛盾面前，學生既有解決矛盾的沖動，又存在著準確全面地解釋這種矛盾的困難，這時，教師可以將此問題呈現出來并將問題矛盾激化，讓學生通過查閱資料、互相交流、小組合作等方式進一步探討和研究，以證實或證明自己的觀點.

2.實踐性：探究式教學是以學生的實踐為主體開展教學過程的，它強調學生的感知、操作實踐活動，通過質疑、提問、反思、推廣，初步經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，從而親身體驗數學探究的激情和愉悅.

3.綜合性：新一輪數學課程改革增設數學探究、數學建模、數學文化課程，它們是高中數學課程的重要內容.雖然沒有單獨設置，但在實際實施中“滲透在每個模塊或專題中”.這些課程的實施實際上是讓學生圍繞某個數學問題或實際問題通過對學科間、學科內知識的整合、結合、融合，達到學生對知識的融會貫通和多角度、多層次地思考問題.

4.社會性：探究式教學多以真實的或虛擬的“生活化”材料或學生感興趣的社會現象等為載體創設教學中的情境.這樣既能喚起學生原有認知結構中的知識和生活體驗，提高他們學習的主動性、積極性和趣味性，又能通過熟悉的情境自覺地發現問題，并充滿激情地投入到探究中去，充分體驗到數學的應用價值.

三、探究式教學的策略

教師職業的兩端，分別連著過去與未來.過去那端，是前人留下的浩如煙海、郁如鄧林般的文明成果；未來那端，則是尚未啟蒙、有待教化的年輕生命.將過去的文明傳遞給未來的希望，考量著教師的能力和智慧.

（一）創設問題引領的數學探究

“探究”，包含了“探”與“究”兩層意思，其中的“探”是“探索”、“探尋”，其要義是“提出問題”；“究”是“研究”、“深究”，其要義是“解決問題”.王克亮老師在《中學數學教學參考》2011年1-2期《問題串的設計與運用》一文中闡述：“問題導學”是指教師在課堂教學中以問題為載體，通過啟發、引導學生解決問題，從而達到以學生“學習”為根本目的的教學方法和策略.亞里士多德說：“思維是從疑問和驚奇開始的.”蘇格拉底則說：“問題是接生婆，它能幫助新思維誕生.”可見，課堂教學中，教師應努力在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數學解決問題的“關節點”上，在數學知識之間聯系的“聯結點”上，靠近學生思維的“最近發展區”，提出恰當的問題，并鼓勵學生積極思考，大膽質疑.

（二）變式拓展引發的數學探究

變式是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化.對已有的問題進行改造、拓寬，不僅能開闊學生的解題思路，激發學生學習的興趣，而且改造的過程，展現了數學思維，培養了師生的情感.

案例1：蘇教版數學必修4三角恒等變換第115頁，有這樣的一個習題：

如圖1，在半徑為R、圓心角為60°的扇形弧AB上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M，N在OB上，求這個矩形的面積的最大值及相應的∠AOP的值.

圖1

圖2

探究1：改變截法，如圖2.

探究2：改變扇形圓心角的大小，如圖3～8.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

探究3：由平面圖聯想到立體圖.

如圖9，半球O的半徑為R，它的內接長方體ABCDA1B1C1D1的一個面ABCD在半球O的底面上，求長方體所有棱長之和的最大值.

解：設∠A1OA=α，∠ABD=β，則A1A=Rsinα，BD=2Rcosα.

圖9

以上問題層層遞進，環環相扣，一步步引導學生進行自主探究，獨立思考.通過變式訓練，加深了學生對三角函數的應用性認識，提高了學生三角變換的能力.因此，教學中，教師要積極準備、創設問題材料，讓學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、反思構建等過程，通過類比、聯想、知識遷移，實現從知識與技能向過程與方法過渡，體現數學知識的形成、發展、完善的建構歷程.

（三）批判反思啟發的數學探究

批判反思有助于改造和提升教師和學生的教與學的經驗，經驗+反思=成長.只有經過反思，使原始的經驗不斷地處于被審視、被修正、被強化、被否定等思維加工中，去粗存精，去偽存真，這樣經驗才會得到提煉、得到升華，從而成為一種開放性的系統和理性的力量.因此，在探究式教學中，師生要共同做到在探索中發現新知，在反思中總結升華，形成“探索——反思——創新”的學習模式，以擴充、完善自己的知識結構和認知結構，最終實現自我創新.

（四）現代教育技術支持的數學探究

隨著時代的發展，現代教育技術應用于中小學教學已成為教育發展的必然趨勢.新課標下的數學教材提倡在處理某些內容時，鼓勵學生使用現代技術手段處理繁雜的計算、解決實際問題，同時，應用現代技術于教學能促使數學知識的發生發展過程與結果的教育得到更好的結合，使數學興趣、情感與數學的理性思維教育得到有機的融合，為探究式學習提供了有力的技術保障.

案例2：蘇教版選修1-1第44頁：

如圖10，將一張長方形紙片ABCD的一只角斜折，使D點總是落在對邊AB上，然后展開紙片，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把線l段畫出來）.這樣繼續下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？為什么？

探究1：改變紙片的形狀進行再折疊.

1.如圖11，準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來）.這樣繼續下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？為什么？

2.如圖12，如果在圓外任取一定點F，觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？為什么？

圖10

圖11

圖12

顯然，通過折疊很難觀察出折痕圍成輪廓所形成的圖形，而通過幾何畫板可畫出下列三個圖形如圖13～15：

圖13

圖14

圖15

圖16

這時再通過對圖形的觀察，就很容易得到曲線的類型，若繼續探尋動點滿足的條件，就能理性的證明出為什么是這種曲線，強化了學生對圓錐曲線定義的理解.

探究2：改變問題探究的內容.

如圖 16，一張長方形紙片ABCD，若AB=8，BC=4，將矩形紙片的A角折起，使點A落在線段CD的A′上，求所有折痕EF的中點P的軌跡方程.

學生容易根據折疊的軸對稱特性，通過建立平面直角坐標系，得到點P的軌跡方程為：

若利用幾何畫板模擬，拖動A′從D到C，發現E，F一開始在線段AD，BC上（如圖17），然后在AD，AB上（如圖18），最后在DC，AB上（如圖 19）.

圖17

圖18

圖19

拖動點A′同時，通過幾何畫板“顯示”菜單的“追蹤”功能追蹤P點（注意：根據交點的三種不同情況分別追蹤），發現其軌跡是一個由兩條線段和一條曲線段所圍成的封閉曲線.如圖20～22.

圖20

圖21

圖22

最終得到所求的軌跡方程為：

至此，問題得以解決.學生在操作過程中，思考問題的全面性得到了提高.

（五）探究性課題學習下的數學探究

《普通高中數學課程標準（實驗）》中說：“高中階段至少各應安排一次較為完善的數學探究、數學建模活動”.數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習、研究問題本質的過程.這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明.“探究性課題學習下的數學探究”是指教師依托學生的探究性課題學習的研究成果，形成一個完整的數學問題回到課堂，成為全體學生的學習過程.整個過程可分為“教師課堂創設情景—學生課外準備提出課題—師生共同討論分析課題可行性—學生課外查找資料進行自主探究（小組探究）—評估總結—完成結題報告—部分優秀成果回歸課堂”.新課程之所以提倡積極主動的探究學習方式，目的是為了豐富、改進學生的學習方式，發揮學生的主動性.在教師指導下的自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學、寫專題總結報告等，能夠使學生切身感受“做數學”的樂趣，提高學生的數學素養.

四、探究式教學的模式

對適合探究的教學內容可采用如圖23所示課堂教學模式：

圖23

創設問題情境：課堂應從創設適合揭示本課主題的故事化、生活化、活動化或問題化等教學情景為開始引出課題，以此激發學生的求知欲，明確本節課要完成的內容.

學生自主探究：在教師問題的引領下，學生通過相關素材自主學習，嘗試知識建構，初步達成預設目標，并提出自主學習中的疑難問題.

學習小組合作探究：學生在課堂學習小組中提出自主學習出現的疑難問題，共同研討，互相解釋，交流初步的研究成果，解決學習小組能解決的問題，提出小組產生的共同問題.

教師組織交流展示：教師選擇具有探究價值的質疑問題或學習小組產生的問題，在班級層面組織學生進行互動探究.教師要為互動探究提供材料支撐和方法指導，要注意面向全體學生，注重因材施教，分層指導，尊重學生人格，鼓勵大膽質疑，體現民主、平等、和諧的課堂教學氛圍.同時，還要引導學生學會傾聽，學會評判，學會接受.

學生矯正反思：學生根據合作性、啟發性的交流、展示，反思自己探究過程中出現障礙的原因，收集反饋信息，完成針對性的矯正習題.

問題發散，手段開放：對初始問題進行多角度、多層次開發，變式拓展延伸，并采取靈活多樣的教學手段，多渠道的引領學生開放性的探究.

歸納總結：師生共同總結探究過程，明確探究結論，形成解決問題的思想方法.

在探究式課堂教學中，把數學教學活動作為一個整體來思考，突出了教與學共同活動的重要性，強調了師生雙主體發揮的意義，揭示數學教學不僅有數學知識的傳授，也有情感的交流和思想的感染.在探究式教學中，師生通過對話、相互交流與溝通，呈現生命的差異性和豐富性，相互理解、相互感悟、共同創造、共享意義.課堂上充滿著智力的刺激，迸發著思想的火花，激蕩著情感的喜悅，創造著無窮的生機和活力.

五、探究式教學的分析

1.課堂教學要突出效率，而科學探究是一個長期的、堅難的、反復的探索過程.如果要在一節課的時間里經歷整個過程，反而探而不究，或者探究比較膚淺，流于形式，學生能力得不到真正的提高.因此并不是所有內容都適用探究式教學.

2.探究活動中有很多教師預想不到的問題出現，課堂的不可控性遠大于傳統課堂.

3.探究式教學不是萬能模式或方法，在實際教學中應采取不同的策略和方法處置，不能拘泥于形式，應與傳統教學相結合，才能相得益彰.

4.在探究體驗過程中，教師要擺正自己的位置，把自身角色定位于學生的合作者、鼓勵者、引導者.從特殊到一般，從直觀到嚴謹，有助于學生把所接觸的知識逐步上升到理性的過程.

5.要讓學生在體驗的建構中生成真正屬于自己的智能.智能的發展不是外力強加的，也不是通過教師的片面教授傳遞獲得的，它絕對離不開學生的個體體驗.在探究教學過程中之所以強調體驗，是因其思考獲得的信息能成為今后解決類似問題的經驗.而這種體驗的建構只有在學生自主學習的基礎上獲得才是最牢靠的，才有可能成為終身必備的基本素質.

雖然探究式教學中的“探究”有時不夠全面、深刻，甚至有時是粗略與不成熟的，但學生從探究過程中所獲得解決問題的能力以及獲得的滿足和成就感卻是無法替代的.正如孔子所說的：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”

1.葉立軍，方均斌，林永偉，著.現代數學教學論［M］.杭州：浙江大學出版社，2006.

2.徐彥輝.數學探究的教育價值——論數學探究教學的學科底蘊［J］.學科教育，2002（8）.