一組特殊組合數引起發現的五個數學結論

☉湖北省潛江市江漢油田高級中學 舒云水

先介紹筆者在文［1］給出的兩個結論：

得出上面兩個結論后，筆者感到意猶未盡，繼續探究，得出了許多二項式系數的值，其中有幾個特殊數引起了筆者的好奇與注意，它們是：

由上面二項式系數可以構成下面五組等差數列：

第2、3、4、5組等差數列背后是否像第1組一樣背后隱藏著一般的規律呢？提出4個問題：

經探究發現上面4個問題都有無數組解，可以求出通解.得到下面4個結論：

化簡整理得n=3k+2.

化簡整理得n2-3（k+1）n+k2+2=0，

因為3（k+1）與5k2+18k+17的奇偶性相同，當5k2+18k+17為完全平方數時，n為正整數，滿足要求.

設5k2+18k+17=y2（k∈N*，y∈N*），變形得：

令5k+9=x，上面方程變為：

方程①為類pell方程，根據文［2］知方程①的正整數解為

下面給出筆者求出的前十組解：

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同樣，可以得到結論5，6.

證：設m=2t，t∈N，t≥2，

感謝同事吳有明、陳雷兩位老師對本文研究的幫助！

2.趙玉博，郝保國.pell方程遞歸解的冪型因子性質及其在不定方程中的應用.首屆（2008.12.24）丘成桐中學生數學獎銅獎論文.