用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾個(gè)技巧

☉湖北省武漢市新洲一中 李 俊

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，是高考的?？碱}型，尤其是證明函數(shù)背景下的不等式.筆者在教學(xué)中有一點(diǎn)心得體會(huì)，下面通過(guò)例題展示一下用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧，供讀者參考.

一、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0.

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）.

于是函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值f（0）=0.

因此，當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，所以ln（x+1）≤x.

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.

故函數(shù)g（x）在x=0處取得最小值g（0）=0.

當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）≥g（0）=0，

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)證明不等式最基本方法就是將不等式的一邊移到另一邊，然后令這個(gè)式子為一個(gè)函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，然后證明函數(shù)的最值大于（或小于）0.

二、利用已知函數(shù)的最值進(jìn)行證明

例2 （Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值.

（Ⅱ）設(shè)ak，bk（k=1，2，3，…，n）均為正數(shù)，證明：

（2）若b1+b2+…+bn=1，則

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0.

f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù).

故函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0.

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1.

因?yàn)閍k，bk均為正數(shù)，從而有l(wèi)nak≤ak-1，得

三、做商構(gòu)造函數(shù)證明

四、取對(duì)數(shù)后構(gòu)造函數(shù)證明

例4a，b∈R且b＞a＞e，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

證明：ab＞ba.

證明：原不等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可知

因?yàn)閤＞e時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：將待證不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為合理的輔助函數(shù).

五、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，則當(dāng)x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0；

當(dāng)x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0.

故f（x）在（a-1，1）上單調(diào)遞減，在（0，a-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）上單調(diào)遞減，在（0，1）和（a-1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以原不等式成立.

六、換元法后作差構(gòu)造函數(shù)證明

故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)待證不等式比較復(fù)雜時(shí)，可以通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為較熟悉或比較簡(jiǎn)單的不等式.

七、利用兩個(gè)函數(shù)的最值證明

例7 函數(shù)f（x）=-x-ln（-x），x∈［-e，0）.

所以當(dāng)-e≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，

所以f（x）極小值為f（-1）=1，即f（x）在區(qū)間［-e，0）上的最小值為1，所以f（x）＞1.

當(dāng)-e≤x＜0時(shí)，h′（x）≤0，故h（x）在[-e，0]上單調(diào)遞減.

故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：分別轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)h（x）max＜f（x）min進(jìn)行證明.

近幾年來(lái)，高考中對(duì)函數(shù)背景下不等式的考查要求比較高，學(xué)生得分情況不容樂(lè)觀.通過(guò)上述幾道例題，掌握不等式證明的幾個(gè)常見(jiàn)技巧，不僅能保證解題的正確性，還能有效地降低試題難度，縮短解題時(shí)間.