新課標理念下“概念教學”——關于《直線的傾斜角與斜率》的教學過程設計

☉湖北省武漢市第二中學 鄭曉玲

《直線的傾斜角與斜率》是解析幾何的第一節課，教學目標要求學生落實基礎知識，形成基本技能，滲透數學思想，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的教學精神.在此筆者精心設計的教學過程如下：

一、創設問題情境，導入新課

開頭語：前面學習了立體幾何初步，立體幾何初步是研究空間幾何體中點、線、面之間的位置關系.接下來我們學習解析幾何初步，首先要指出的是“解析幾何是用代數的方法研究幾何問題”.怎樣逐步實現這一目標，請看以下幾個問題：

①建立在代數與幾何中的橋梁是什么？——坐標系.

②直角坐標平面上的點的代數形式是什么？——坐標，點的坐標與有序實數對之間是一一對應的.

③坐標平面上的幾何圖形能否用代數形式表示？最簡單的平面圖形——直線應該怎樣表示？

④直角坐標平面內的直線l，它的位置應該由哪些條件確定呢？過一點能確定嗎？過兩點能確定嗎？過一點并且規定方向能確定嗎？

⑤如果直線過一已知點，這些直線的方向各不相同，如何確定這些不同方向的差別呢？

通過對以上問題的分析，導出“確定直線不同方向的問題”，我們需要學習刻劃直線不同方向的兩個重要的幾何量：“直線的傾斜角與斜率”，導出課題.

反思：根據學生已有的知識與經驗，在學生思維發展的最近區域提出問題，根據數學發展需要，引導學生用數學的眼光認識、研究問題，這樣既有利于調動學生思維的積極性，又能顯現數學的自然、平和.

二、概念形成的過程

（一）直線傾斜角的形成過程

確定方向需要找一個統一的參照方向，如指南針以向北方向為基準，在這里我們如何選取？通過對上述問題的分析，結合圖形，學生選擇了以x軸為基準，因為這些不同的直線與x軸之間形成了不同的角，直線與x軸相交形成四個角，哪一個角是直線的傾斜角？

學生甲：應該是直線與x軸形成的銳角，因為銳角方便計算.置疑：有兩個銳角，是指哪一個？

學生乙：不同意同學甲的說法，應該以x軸正向為角的始邊，因為標準統一，方便比較.置疑：這兩個角中的哪一個？仍不確定.

學生丙：認同學生乙的說法，但認為角的終邊應該是直線向上的方向，類比向量的夾角的定義并指出：根據角的定義，確定角的頂點（直線與x軸的交點），確定角的兩邊（x軸的正方向，直線向上的方向）.

教師總結：同學們經過討論，最終所說這個唯一確定的角我們叫做直線的傾斜角.

由學生合作交流，讓學生進一步用精練的數學語言概括直線傾斜角的定義：當直線與x軸相交時，以x軸為基準，x軸的正向與直線向上的方向所形成的角α叫做直線的傾斜角.

思考1：對以上歸納得出的“直線傾斜角”的定義是否還有異議？

根據教學實際情況，指出這里所說的角應該是指x軸正方繞著直線與x軸的交點旋轉到直線向上的方向所形成的“最小正角”.

思考2：按以上所述，直角坐標平面上每一條直線是否都有一個確定的傾斜角，引出直線與x軸平行或重合情形下的補充定義，使學生認識到數學上的每一個重要的概念的嚴謹性與完備性.

（二）直線斜率的形成過程

給出了直線的傾斜角后，傾斜角能刻畫直線的傾斜程度，但由于表示這個傾斜程度的量是一個角，每一次需要度量角的大小才能知道傾斜程度，使用起來不方便，于是需要找到一個更好刻劃傾斜程度的量——引入“斜率”概念的必要性.

在“斜率”概念的形成之前，創設了問題情境：

問題2：上樓梯，有的樓梯走起來非常吃力，有的樓梯不那么吃力，這是為什么？

問題3：汽車上坡時，有的坡比較容易上，有的坡需要加大馬力才能上去，這又是為什么？

三、合作探究，深化概念

1.根據以上所研究的成果，你還能得出哪些有趣味的結論？

畫圖引導學生分析：由圖1知直線傾斜角α的范圍為0°≤α＜180°

圖1

圖2

圖3

α=90°時，直線l與x軸垂直；

α=0°時，直線l平行于x軸或重合于x軸；

由圖2知：平行的直線（l1∥l2）→傾斜角相等；

由圖3知：垂直的直線（l1⊥l2），設l1的傾斜角為α1，l2的傾斜角為α2，則α2=α1+90°（此處為后面的學習打下基礎）.

2.直線的傾斜角與斜率的關系.

結合正切函數y=tanx（0°≤x＜180°）的圖像，揭示它們之間的關系.

圖形 傾斜角的大小k的值及變化情況y O x α=0° k=0 y α x O 0°＜α＜90° k∈（0，+∞）↑y O α x α=90° 不存在y O α x 90°＜α＜180° k∈（-∞，0）↑

四、斜率公式的推導

教師啟發導入：

（1）從直線斜率定義可知，當直線傾斜角α為銳角時，其正切值可表示為兩直角邊的比，一邊平形于y軸，可以用兩點縱坐標差表示，一邊平行于x軸，可以用兩點橫坐標之差表示.

（2）直線可由兩點確定，兩點確定直線的位置，從而確定了直線的傾斜角和斜率.于是我們可以思考：能否利用直線上兩點坐標來表示直線的斜率？

①提出探索性問題“已知直線上兩點坐標，如何計算直線的斜率？”

②公式推導.

學生推導：要求斜率k，必須構建直角三角形，其推導過程如下：設P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）是直線l上的兩點，過P1（P2）作y軸的垂線，過P2（P1）作x軸的垂線，使之交于點Q，從而產生Rt△P1QP2（如圖4，5或圖6，7）.

圖4

圖5

圖6

圖7

歸納：①當x1=x2時，上式不成立；

②當y1=y2時，上式仍然成立；

③公式與P1，P2的順序無關；

④“縱比橫，差同序”.

五、概念的鞏固與應用

1.典例剖析.

例1 平面上三點A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB、BC、CA的斜率，并指出傾斜角是銳角還是鈍角.

例2 已知三點A（a，2），B（5，1），C（-4，2a），若三點共線，求a的值.

例3 經過P（0，-1）作直線l，若l與連接A（1，-2），B（2，1）的線段總有公共點，求直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍.

2.課堂練習（略）.

1.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上旬），2010（3，4，5）.

2.吳光耀，何豪明.中學數學核心概念教學設計之基本模式［J］.中學數學教學參考（上旬），2011（5）.