不同版本“周期函數”定義的比較與思考

☉安徽省樅陽縣會宮中學 朱賢良

“周期性”是研究函數時重點考查的性質之一，利用函數的周期性使我們對函數圖像與其他性質的認識更加簡潔、有效.近日閱讀文［1］時，對其中提出的問題進行了深入的思考，現整理成文.

一、問題呈現

摘錄文［1］提出的問題如下：

問題 函數g（x）=sinx（x≥0）是不是周期函數？

對于函數周期性的概念，人教A版必修4第34頁是這樣寫的：

“對于函數f（x），如果存在一個非零實數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零實數T叫做這個函數的周期.

周期函數的周期不止一個，例如2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π，…都是正弦函數的周期.事實上，任何一個常數2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期.

如果在周期函數f（x）的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f（x）的最小正周期.例如，正弦函數的最小正周期是2π.

觀點1：由周期性的定義，存在一個非零常數2π，使得當x取定義域內的每一個值時，都有g（x+2π）=g（x），因此，函數g（x）是周期函數.

觀點2：若g（x）是周期函數，2π是周期，那么任何一個常數2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函數g（x）的周期.但是當x取定義域內的每一個值時，x-2π未必在定義域內，因而不滿足周期函數的定義，故函數g（x）不是周期函數.

兩種觀點，孰對孰錯？

應該說，文［1］中提出的這個問題表明對課本的研讀還是比較細致的，能從閱讀課本中提出問題，這比解決一個問題更可貴！

二、依據教材與教師教學用書辨析兩種觀點

觀點2中認為，“若g（x）是周期函數，2π是周期，那么任何一個常數2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，即-2π也是函數g（x）的周期.”這是沒有依據的，因為教材中只是說2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π…，包括2kπ（k∈Z且k≠0），都是正弦函數的周期，這并不意味著“若T是一個函數的周期，則kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期”，最起碼教材上的定義沒有這樣說明.也就是說，從教材的角度看，觀點2的推理過程犯了以偏概全的錯誤.

這是否意味著觀點1是正確的？從教材中給出的周期函數的定義出發，由演繹推理得出結論，無懈可擊！

筆者翻閱了配套的教師教學用書，書中指出：“在引導學生學習周期性概念時，可以強調以下幾點……②周期函數的周期不唯一.例如2kπ（k∈Z且k≠0）都是正弦函數的周期.這點可以從周期函數的圖像上得到反映，也可以從代數上證明：設T是函數f（x）的周期，那么對于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函數f（x）的周期……”按照這種說法，觀點2正確，觀點1中的演繹推理頓失大前提.

到底“周期函數”應該如何定義？

三、不同版本的“周期函數”定義

教材與教師教學用書中對“周期函數”的不同描述著實讓人費解，其分歧的根源在于對“周而復始”現象的不同理解.根據教材中的定義，如果T＞0，函數圖像只需向y軸右側無限延伸（可以不連續）、“周而復始”，這是周期函數；如果T＜0，函數圖像只需向y軸左側無限延伸（可以不連續）、“周而復始”，這也是周期函數.比如函數y=sinx（x≥0）、y=sinx（x＜0）與y=sinx都是周期函數，但三者存在明顯的區別：函數y=sinx（x≥0）圖像只能向x→+∞一側“周而復始”，而不能向x→-∞一側“周而復始”，周期為正數；函數y=sinx（x＜0）恰恰相反，其圖像只能向x→-∞一側“周而復始”，周期為負數；函數y=sinx的圖像可以向x→+∞與x→-∞這兩側“周而復始”.而根據教師教學用書的描述，“設T是函數f（x）的周期，那么對于任意的k∈Z且k≠0，kT也是函數f（x）的周期”，這表明周期函數圖像必須能夠向x→+∞與x→-∞雙側“周而復始”，只向單側“周而復始”的函數不是周期函數.

哪種“周而復始”更準確？哪個“周期函數”定義更合理？

筆者隨即查找了相關文獻，人民教育出版社的教材從上個世紀八九十年代的甲版本教材、九十年代中后期的代數課本，到2003年出版的全日制普通高級中學教科書（即大綱版教材），直至普通高中課程標準實驗教科書A版數學4（即新課標教材），其說法大同小異.筆者又查看了江蘇教育出版社、北京師范大學出版社這兩個版本的教材，盡管“周期函數”定義的引入時間與人教版教材有出入，但其內容并無實質差異，不一一摘錄（讀者可查看本文參考文獻中相關著作）.這不僅讓筆者大為不解，為什么人教版教材與教師教學用書不一致，但眾多版本的中學教材說法幾乎都一致……

筆者又努力從幾種比較權威的大學數學分析教材（文［9］、［10］）中去尋找答案，卻發現兩者對“周期函數”的定義與前述的教師教學用書說法一致，僅摘錄文［9］的定義如下：

設函數f（x）定義在數集A.若?l>0，?x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），則稱f（x）是周期函數，l稱為函數f（x）的一個周期.

“若l是函數f（x）的周期，則2l也是它的周期.事實上，f（x+2l）=f（x+l+l）=f（x+l）=f（x）=f（x-l）=f（x-l-l）=f（xl）.不難用歸納法證明，若l是函數f（x）的周期，則nl（n是正整數）也是它的周期……描繪周期函數的圖像，只要在一個周期內描出函數的圖像，然后將此圖像以一個周期為單位向左、右平移，就得到了整個周期函數的圖像.”

很明顯，與中學教材中定義相比，大學教材“周期函數”的定義不僅要求f（x+T）=f（x），還要求f（x-T）=f（x），這就保證了周期函數的圖像必須向x→+∞和x→-∞這兩側都“周而復始”.

順便指出，當函數的定義域為實數集R時，中學教材與大學教材中對“周期函數”的定義是統一的.

四、雙側“周而復始”的“周期函數”定義的合理簡化

仔細思考上述雙側“周而復始”的“周期函數”的定義，不難發現其中“l>0”與“f（x±l）=f（x）”稍嫌重復：既然f（x±l）=f（x），何須要l>0！頗有代表性的同濟版《高等數學》（文［11］）與湖南教育出版社新課標數學教材（文［12］）對“周期函數”的定義更為簡潔，兩者異曲同工，摘錄如下（分別記為同濟版與湘教版），以饗讀者：

同濟版：設函數f（x）定義在數集D，如果存在一個正數l，使得對于任一x∈D，有x±l∈D且f（x+l）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，l為函數f（x）的周期.

湘教版：一般地，對于函數y=f（x），如果存在非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，x±T都有定義，并且f（x±T）=f（x），則這個函數y=f（x）稱為周期函數，T稱為這個函數的一個周期.

如果T是函數y=f（x）的周期，則由f（x）=f（x+T）=f（（x+T）+T）=f（x+2T）知道2T也是它的周期，同理可知T的所有非零整數倍都是y=f（x）的周期.

筆者以為，湘教版的“周期函數”定義更容易為中學生所理解.

五、對“周期函數”定義的一點思考

筆者以為，作為中學兩本重要的數學教學用書，不應該對同一概念出現不同的說法，這只是人為地給中學數學教學增添煩惱.由此，筆者認為應該統一兩種不同的定義：不妨稱單側“周而復始”的函數具有弱周期性，稱雙側“周而復始”的函數具有強周期性.

正是：本來和諧事，何故亂平添.

1.郝明泉.爭鳴·問題223［J］.數學通訊（教師刊），2013（3）.

2.人民教育出版社，等.普通高中課程標準實驗教科書A版數學4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.人民教育出版社，等.普通高中課程標準實驗教科書A版數學4（必修）教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.單墫，主編.普通高中課程標準實驗教科書數學4（必修）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

5.北京師范大學出版社.普通高中課程標準實驗教科書數學4（必修）［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

6.人民教育出版社中學數學室.全日制普通高級中學教科書數學第一冊 （下）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

7.人民教育出版社中學數學室.高級中學課本代數上冊（必修）［M］.北京：人民教育出版社，1995.

8.人民教育出版社中小學數學編輯室.高級中學課本（試用）代數第一冊（甲種本）［M］.北京：人民教育出版社，1983.

9.劉玉璉，等.數學分析講義（第五版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2008.

10.華東師范大學數學系.數學分析 （第三版上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

11.同濟大學數學系.高等數學（第六版上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

12.張景中，主編.普通高中課程標準實驗教科書（必修）數學第二冊［M］.長沙：湖南教育出版社，2005.